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多元函数的定义域
定义域根据函数的变量数不同,有不同的形式 一元函数 y f ( x ) yf(x) yf(x),定义域可以是数集二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y),定义域可以是一平面区域,是平面点集三元函数 v f ( x , y , z ) vf(x,y,z) vf(x,y,z),定义域是一块空…多元函数奇偶性
多元函数的定义域
定义域根据函数的变量数不同,有不同的形式 一元函数 y f ( x ) yf(x) yf(x),定义域可以是数集二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y),定义域可以是一平面区域,是平面点集三元函数 v f ( x , y , z ) vf(x,y,z) vf(x,y,z),定义域是一块空间区域,是空间点集… n n n圆函数,定义域为 n n n维点集
自然定义域
根据仅根据表达式本身是否有意义来判定定义域 比如分式中分母不为0偶次根式内不可为负数对数函数的真数为正数
特定定义域
根据实际需要或者认为规定的的区域,比如给定积分区域(积分限) n n n元函数 y y y是一个 n n n元函数,记为 y f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x i , ⋯ , x n ) yf(x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n) yf(x1,x2,⋯,xi,⋯,xn) 其中 x i x_i xi表示函数 f f f的第 i i i个自变量
奇偶性
一般讨论的是关于某个自变量 x i x_i xi的奇偶性设 n n n元函数 y f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x i , ⋯ , x n ) yf(x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n) yf(x1,x2,⋯,xi,⋯,xn), f f f是关于 x i x_i xi的偶函数,则 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , − x i ‾ , ⋯ , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{-x_i}\normalsize,\cdots,x_n) f(x1,x2,⋯,−xi,⋯,xn) f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x i ‾ , ⋯ , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{x_i}\normalsize,\cdots,x_n) f(x1,x2,⋯,xi,⋯,xn)若 f f f是关于 x i x_i xi的奇函数 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , − x i ‾ , ⋯ , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{-x_i}\normalsize,\cdots,x_n) f(x1,x2,⋯,−xi,⋯,xn) − f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x i ‾ , ⋯ , x n ) \large-\normalsize f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{x_i}\normalsize,\cdots,x_n) −f(x1,x2,⋯,xi,⋯,xn)
一元函数 y f ( x ) yf(x) yf(x) 若 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数: f ( − x ) f ( x ) f(-x)f(x) f(−x)f(x)关于 x 0 x0 x0( y y y轴)对称若 f ( x ) f(x) f(x)维奇函数: f ( − x ) − f ( x ) f(-x)-f(x) f(−x)−f(x),关于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)(原点)对称
二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y) 以分量 x x x为例 奇函数: f ( − x , y ) − f ( x , y ) f(-x,y)-f(x,y) f(−x,y)−f(x,y),函数关于点 ( 0 , y , 0 ) (0,y,0) (0,y,0)对称 设 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)上的点, z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y),而 f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y) − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y) − z -z −z则 Q ( − x , y , − z ) Q(-x,y,-z) Q(−x,y,−z)也位于 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)上 P , Q P,Q P,Q两点的位置关系? 方法1: 显然两个点有相同的 y y y轴坐标,从而它们必然同时位于平面 y y yy yy上并且两个点有互为相反数的 x , y x,y x,y轴坐标, P P P位于平面 x x , z z xx,zz xx,zz两平面交线上,而 Q Q Q位于 x − x , y − y x-x,y-y x−x,y−y两平面的交线上,这两条交线关于原点(或 y y y轴)对称,分别和平面 y y yy yy所截,得到 P , Q P,Q P,Q两点因此 P , Q P,Q P,Q两点关于 ( 0 , y , 0 ) (0,y,0) (0,y,0)对称 方法2: 由两点间坐标公式, ( − x x 2 , y y 2 , z − z 2 ) (\frac{-xx}{2},\frac{yy}{2},\frac{z-z}{2}) (2−xx,2yy,2z−z) ( 0 , y , 0 ) (0,y,0) (0,y,0),可知 P , Q P,Q P,Q两点关于 M ( 0 , y , 0 ) M(0,y,0) M(0,y,0)对称 M M M点位于直线 x 0 , z 0 x0,z0 x0,z0上(即 y y y轴上)因此 P , Q P,Q P,Q两点关于 ( 0 , y , 0 ) (0,y,0) (0,y,0)对称 因此,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的图形关于 y y y轴对称 偶函数: f ( − x , y ) f ( x , y ) f(-x,y)f(x,y) f(−x,y)f(x,y),函数关于平面 x 0 x0 x0对称 设 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)上的点, z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y),而 f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y) f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) z z z则 Q ( − x , y , z ) Q(-x,y,z) Q(−x,y,z)也位于 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)上由中点坐标公式: P , Q P,Q P,Q的中点为 ( 0 , y , z ) (0,y,z) (0,y,z),该点属于平面 x 0 x0 x0 P , Q P,Q P,Q两点关于 x 0 x0 x0(即坐标面 y O z yOz yOz面)对称因此函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的图形关于 x 0 x0 x0面对称 分量 y y y类似地讨论
小结
在一元函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)中,偶函数是关于直线 ( x 0 ) (x0) (x0)对称,而奇函数关于点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0),即 x 0 , y 0 x0,y0 x0,y0对称 点表示为 ( x , y ) (x,y) (x,y) 在二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)中,偶函数是关于面对称,而奇函数关于直线对称 点表示为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)以自变量 x x x为例,关于 x x x的偶函数图形关于 x 0 x0 x0面对称,奇函数图形关于 x 0 , z 0 x0,z0 x0,z0,即 y y y轴而对于自变量 y y y,关于 y y y的偶函数图形关于 y 0 y0 y0面对称,奇函数图形关于 y 0 , z 0 y0,z0 y0,z0,即 y y y轴 也就是说,对称中心都上升了一个维度,从点到线,从线到面本质上都是两点关于它们的中点对称,分析中点的特点来判断对称中心是什么
结论分析和记忆
对于一元奇(偶)函数为,自变量轴为 x x x轴自变量 x x x沿着从原点(或正区间内第一点有定义的 x 0 x_0 x0处)开始,分析曲线变化 若 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数, x x x向 x x x轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相反若 f ( x ) f(x) f(x)是偶函数, x x x向 x x x轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称) 对于二元奇(偶)函数,自变量设为 x , y x,y x,y,分析曲面的变化情况 若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是关于 x x x的奇函数, x x x向 x x x轴正方向进行的变换情况与负方向的变化情况相反若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是关于 x x x偶函数, x x x向 x x x轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)
推广
更一般的 对于 n n n元函数 w f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) wf(x_1,x_2,\cdots,x_n) wf(x1,x2,⋯,xn),视为 n 1 n1 n1维空间,将写维点的形式: ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , w ) (x_1,x_2,\cdots,x_n,w) (x1,x2,⋯,xn,w)若 f f f关于自变量 x i x_i xi为奇函数(以 i 1 i1 i1为例),那么 P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , w ) P(x_1,x_2,\cdots,x_n,w) P(x1,x2,⋯,xn,w), Q ( − x 1 , x 2 , ⋯ , x n , − w ) Q(-x_1,x_2,\cdots,x_n,-w) Q(−x1,x2,⋯,xn,−w),其对称中心点为 M ( 0 , x 2 , ⋯ , x n , 0 ) M(0,x_2,\cdots,x_n,0) M(0,x2,⋯,xn,0),对称中心为超平面 x 1 0 , w 0 x_10,w0 x10,w0;(即令第 i i i维自变量取0和最后意味取 0 0 0)若 f f f关于自变量 x i x_i xi为偶函数(以 i 1 i1 i1为例),那么 P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , w ) P(x_1,x_2,\cdots,x_n,w) P(x1,x2,⋯,xn,w), Q ( − x 1 , x 2 , ⋯ , x n , w ) Q(-x_1,x_2,\cdots,x_n,w) Q(−x1,x2,⋯,xn,w),其对称中心点为 M ( 0 , x 2 , ⋯ , x n , w ) M(0,x_2,\cdots,x_n,w) M(0,x2,⋯,xn,w),对称中心为超平面 x 1 0 x_10 x10当 i ≠ 1 i\neq{1} i1时,情形类似
应用和实例
例 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) y x 2 y{x^2} yx2,假设 f f f的定义域(区域)是关于 x , y x,y x,y轴对称的区域(比如其自然定义域下) 那么显然, f f f关于 y y y是奇函数;图形关于 x x x轴对称同时 f f f是关于 x x x的偶函数,图形关于 x 0 x0 x0平面对称
二元绝对值不等式确定的区域 ∬ D ( ∣ x ∣ y e x 2 ) d σ \iint\limits_{D}({|x|ye^{x^2}})\mathrm{d}\sigma D∬(∣x∣yex2)dσ, ( D : ∣ x ∣ ∣ y ∣ 1 ) (D:|x||y|1) (D:∣x∣∣y∣1) 二元一次绝对值方程对应的草图 对于 g ( x , y ) ∣ x ∣ ∣ y ∣ 1 g(x,y)|x||y|1 g(x,y)∣x∣∣y∣1,前去绝对值 ∣ x ∣ x |x|x ∣x∣x, ( x ⩾ 0 ) (x\geqslant{0}) (x⩾0); ∣ x ∣ − x |x|-x ∣x∣−x, ( x 0 ) (x0) (x0) ∣ y ∣ y |y|y ∣y∣y, ( y ⩾ 0 ) (y\geqslant{0}) (y⩾0), ∣ y ∣ − y |y|-y ∣y∣−y, ( y 0 ) (y0) (y0) 得到四个二元一次方程:在平面直角坐标系 x O y xOy xOy中对应于4条直线段 1 { − x − y , x 0 , y 0 − x y x 0 , y ⩾ 0 x − y , x ⩾ 0 , y 0 x y , x ⩾ 0 , y ⩾ 0 1\begin{cases} -x-y,x0,y0 \\-xy x0,y\geqslant 0 \\x-y,x\geqslant 0,y0 \\xy,x\geqslant 0,y\geqslant 0 \end{cases} 1⎩ ⎨ ⎧−x−y,−xyx−y,xy,x0,y0x0,y⩾0x⩾0,y0x⩾0,y⩾0 四条直线段所在直线分别转换为斜截式: y − x − 1 y-x-1 y−x−1; y x 1 yx1 yx1; y − x − 1 y-x-1 y−x−1; y 1 − x y1-x y1−x 将他们分别绘制,得到一个边长为1的正方形(菱形)
