网站建设维护管理办法,顺企网怎么样,软件介绍网站模板,常见的简单的设计云平台本章重点 二叉树的链式存储二叉树链式结构的实现二叉树的遍历二叉树的节点个数以及高度二叉树的创建和销毁二叉树的优先遍历和广度优先遍历二叉树基础oj练习 1.二叉树的链式存储 二叉树的链式存储结构是指#xff0c;用链表来表示一棵二叉树#xff0c;即用链来指示元素的逻辑…本章重点 二叉树的链式存储二叉树链式结构的实现二叉树的遍历二叉树的节点个数以及高度二叉树的创建和销毁二叉树的优先遍历和广度优先遍历二叉树基础oj练习 1.二叉树的链式存储 二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链当前我们学习中一般都是二叉链后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。 typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子BTDataType data; // 当前节点值域
};// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* parent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子BTDataType data; // 当前节点值域
};
2.二叉树链式结构的实现 这里我们就不讲解二叉树链式结构的增删查改因为二叉树链式结构的增删查改没有意义其链式二叉树形式复杂数据增删查改消耗较大。 在学习二叉树的基本操作前需先要创建一棵二叉树然后才能学习其相关的基本操作。由于现在对二叉树结构掌握还不够深入为了降低学习成本此处手动快速创建一棵简单的二叉树快速进入二叉树操作学习等二叉树结构了解的差不多时我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。 下面我们根据上图手动去构建一个二叉树链式的结构。
#include stdio.h
#include stdlib.htypedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;
}BTNode;BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node NULL){perror(malloc fail);exit(-1);}node-data x;node-left node-right NULL;return node;
}int main()
{//手动构建二叉树BTNode* node1 BuyNode(1);BTNode* node2 BuyNode(2);BTNode* node3 BuyNode(3);BTNode* node4 BuyNode(4);BTNode* node5 BuyNode(5);BTNode* node6 BuyNode(6);node1-left node2;node1-right node4;node2-left node3;node4-left node5;node4-right node6;return 0;
}
3.二叉树的遍历
3.1前序、中序以及后序遍历 学习二叉树结构最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则依次对二叉 树中的节点进行相应的操作并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一也是二叉树上进行其它运算的基础。 按照规则二叉树的遍历有前序/中序/后序的递归结构遍历 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前依次访问跟 左子树 右子树。中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中间依次访问左子树 跟 右子树。后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后依次访问左子树 右子树 跟。 根据上面的图得出 由于被访问的结点必是某子树的根所以N(Node、L(Left subtree和R(Right subtree又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 再看二叉树基本操作前再回顾下二叉树的概念二叉树是 空树非空根节点根节点的左子树、根节点的右子树组成的。 前序遍历结果1 2 3 NULL NULL NULL 4 5 NULL NULL 6 NULL NULL 中序遍历结果 NULL 3 NULL 2 NULL 1 NULL 5 NULL 4 NULL 6 NULL 后序遍历结果 NULL NULL 3 NULL 2 NULL NULL 5 NULL NULL 6 4 1 从概念中可以看出二叉树定义是递归式的因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);3.1.1、二叉树前序遍历void PreOrder(BTNode * root);
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root NULL){printf(NULL);return;}printf(%d , root-data);PreOrder(root-left);PreOrder(root-right);
}
运行结果 递归图
3.1.2、二叉树中序遍历void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{if (root NULL){printf(NULL);return;}InOrder(root-left);printf(%d , root-data);InOrder(root-right);
}
运行结果
3.1.3、二叉树后序遍历void PostOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root NULL){printf(NULL);return;}PostOrder(root-left);PostOrder(root-right);printf(%d , root-data);
}
运行结果 3.2层序遍历 层序遍历除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发首先访问第一层的树根节点然后从左到右访问第2层 上的节点接着是第三层的节点以此类推自上而下自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。 我们该如何层序遍历一颗树呢这里我们还能用递归嘛不行层序遍历没有先访问左子树和右子树的关系层序遍历是一层一层访问的递归的思想不符合层序遍历这里我们可以使用队列先把根节点入队列然后当根节点出队列的时候再把根节点的左右孩子入队列特点是上一层带下一层由于队列是先进先出的特点刚好符合层序遍历。
这里需要注意一个问题我们存储队列的数据是链式树中的data嘛这样并不行我们如果存放值进去就找不到左右孩子的值了所以我们需要存储结构体但是二叉树结构体所占空间大因此我们传入二叉树结构体的地址进去。
//Queue.h中需要修改QDataType
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;#include stdio.h
#include stdlib.h
#include assert.h
#include stdbool.htypedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;
}BTNode;#include Queue.h// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(q);if(root ! NULL)QueuePush(q, root);while (!QueueEmpty(q)){BTNode* front QueueFront(q);printf(%d , front-data);if(front-left)QueuePush(q, front-left);if (front-right)QueuePush(q, front-right);QueuePop(q);}QueueDestroy(q);
}
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node NULL){perror(malloc fail);exit(-1);}node-data x;node-left node-right NULL;return node;
}
int main()
{//手动构建二叉树BTNode* node1 BuyNode(1);BTNode* node2 BuyNode(2);BTNode* node3 BuyNode(3);BTNode* node4 BuyNode(4);BTNode* node5 BuyNode(5);BTNode* node6 BuyNode(6);node1-left node2;node1-right node4;node2-left node3;node4-left node5;node4-right node6;LevelOrder(node1);return 0;
} 运行结果 4.二叉树的节点个数以及高度
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
4.1二叉树节点个数int BinaryTreeSize(BTNode* root); 求二叉树节点的个数我们最容易想到的就是遍历二叉树然后遇到一个不为NULL的节点就加但是我们本章主要是使用递归的思想所有都采用递归的思想去解题。
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{int size 0;if (root NULL)return 0;elsesize;BinaryTreeSize(root-left);BinaryTreeSize(root-right);
} 我们首先看看上面的写法有什么错误很明显上面犯了一个很严重的错误返回局部变量的值我们知道函数内创建的局部变量在函数释放时候其空间会被销毁那么上面的size就会得到一个随机值。
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{static int size 0;//静态变量生命周期边长if (root NULL)return 0;elsesize;BinaryTreeSize(root-left);BinaryTreeSize(root-right);return size;
}
再看看上面的代码我们将size用static修饰那么此时size就会存放在静态区此时size生命周期就会变长但是在函数内部我们有一个给size初始化为0的语句这样会不会在每次函数调用的时候都会初始化为0呢不会局部的静态变量初始化只会被执行一次。我们调试发现当再次进入函数时给size初始化为0的语句直接被跳过了。 运行结果 我们可以看到结果求出来了也确实是正确的但是我们可以发现静态变量的size生命周期是和程序的生命周期相同的如果我们后面再次调用函数size会从上一次的基础上加上去比如我们再调用一次函数结果是 所以我们上面的函数是一次性的只能使用一次不方便不过也有方法解决我们此时就不用静态变量了我们将size设置为全局变量然后在每次调用的时候手动将size的值赋值为0但是这样不够优雅下面我们来介绍一下递归方法。
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root NULL){return 0;}return BinaryTreeSize(root-left) BinaryTreeSize(root-right) 1;
}
递归图 这样结果就出来啦 4.2二叉树叶子节点个数int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root NULL)return 0;if (root-left NULL root-right NULL)return 1;BinaryTreeSize(root-left) BinaryTreeSize(root-right);
}
递归图 4.3二叉树第k层节点个数int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k 0);if (root NULL)return 0; if (k 1)return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root-left, k - 1) BinaryTreeLevelKSize(root-right, k - 1);
} 递归图 4.4二叉树查找值为x的节点BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x); 我们首先拿到这个题目就可以确定我们是从根节点开始查找然后再左子树右子树查找很明显的前序遍历因此我们可以按照前序遍历的思路查找该值。、
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root NULL)return NULL;if (root-data x)return root;BinaryTreeFind(root-left, x);BinaryTreeFind(root-right, x);
} 我们看看上面的代码有问题嘛很明显画个递归图就可以观察到问题。 很明显我们找到值相等的节点但是返回值并不是直接返回到最外面而是返回给上一层函数但是上一层函数又没有接收该返回值返回值就被扔掉了本来该值已经找到了又再去递归右树所以上面的写法是错误的。
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root NULL)return NULL;if (root-data x)return root;return BinaryTreeFind(root-left, x) || BinaryTreeFind(root-right, x);
} 上面的这种写法避免了再去递归右树的问题但是逻辑或运算符的返回结果是真假不符合返回指针要求。根据上面的错误首先要确定能够有返回值返回其次是左子树找到了就不要去右子树找了。
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root NULL)return NULL;if (root-data x)return root;BTNode* ret BinaryTreeFind(root-left, x);if (ret ! NULL)return ret;ret BinaryTreeFind(root-right, x);if (ret ! NULL)return ret;return NULL;
}
递归图 4.5二叉树的高度int TreeHeight(BTNode* root) 二叉树的高度怎么求呢我们可以尝试一下递归的思路我们可以先求左子树的高度然后再求右子树的高度比较两棵子树谁的高度大返回高度大的那棵子树并加上根节点就是整棵树的高度
//二叉树的高度
int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root NULL)return 0;return TreeHeight(root-left) TreeHeight(root-right) ? TreeHeight(root-left) 1: TreeHeight(root-right) 1;
}
我们将上面的代码去力扣上编译一下链接 但是我们发现上面的程序超出时间限制为什么呢我们发现我们的程序先递归一遍求左子树和右子树的高度然后选出那个较大并没有保存高度仅仅只是比较执行完三目操作符的比较后假设左子树经过比较高度大后面的对左子树的高度又要递归一次所以上面的代码求解高度需要先递归左数再递归右数然后比较再将高度大的那颗树再去递归求高度。我们可以通过保存第一次递归时的高度就可以啦
int maxDepth(struct TreeNode* root){if (root NULL)return 0;int leftHeight maxDepth(root-left);int rightHeight maxDepth(root-right);return leftHeight rightHeight ? leftHeight 1 : rightHeight 1;
}
但是上面定了变量那有没有不定义变量的方法呢我们可以利用函数传参的特点。 int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root NULL)return 0;return fmax(TreeHeight(root-left), TreeHeight(root-right)) 1;
}
通过fmax函数我们将第一次递归的左子树和右子树高度传入形参中传参是将求下来的结果放到形参中这样也就间接保存了左子树和右子树高度。
5.二叉树的创建和销毁
// 通过前序遍历的数组ABD##E#H##CF##G##构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);5.1通过前序遍历的数组ABD##E#H##CF##G##构建二叉树:BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
由于二叉树的前序遍历是先访问根节点在访问左子树最后访问右子树所以当第一次访问的到#时该二叉树的左子树就访问完了就要开始访问右子树了。
#include stdio.h
#include stdlib.h
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;char data;
}BTNode;BTNode* BinaryTreeCreate(char* str, int* pi)
{if (str[*pi] #){(*pi);return NULL;}BTNode* root (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (root NULL){perror(malloc fail);exit(-1);}root-data str[*pi];(*pi);//左数构建完自然到右树root-left BinaryTreeCreate(str, pi);root-right BinaryTreeCreate(str, pi);return root;
}
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root NULL){printf(# );return;}printf(%c , root-data);PreOrder(root-left);PreOrder(root-right);
}
int main()
{char str[100];scanf(%s, str);int i 0;BTNode* root BinaryTreeCreate(str, i);PreOrder(root);return 0;
}
递归图 前序遍历 5.2二叉树销毁void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root NULL)return;BinaryTreeDestory(root-left);BinaryTreeDestory(root-right);free(root);root NULL;
} 我们看看上面的代码有问题嘛最后一步的root置空有问题因为root是形参形参的改变是不会改变实参的所以上面是root置空没有效果可以使用二级指针通过地址去修改实参或者我们可以在函数调用完后手动加一个置空。
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root NULL)return;BinaryTreeDestory(root-left);BinaryTreeDestory(root-right);free(root);
}
5.3判断二叉树是否是完全二叉树int BinaryTreeComplete(BTNode* root); 我们首先看看完全二叉树的特点前h-1层的节点个数都是满的最后一层的个数可能是满的。那我们是不是可以先求二叉树的高度然后再去求每层节点的个数是否符合h层的节点个数呢我们来看看下面一个图。 很明显前h-1层是符合的但是最后一层呢完全二叉树的最后一层节点是一个范围值比如上图h层的节点个数是符号最后一层节点数量范围的但是上面是完全二叉树嘛很明显不是所以上面的思路是错误的。所以要换一个思路我们发现完全二叉树的层序遍历非空节点是连续的。那我们是不是可以利用这一点去判断一棵树是不是完全二叉树。但是我们要改变一下层序遍历的代码将空节点也入进队列去。
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(q);if (root ! NULL)QueuePush(q, root);while (!QueueEmpty(q)){BTNode* front QueueFront(q);if (front NULL)break;QueuePush(q, front-left);QueuePush(q, front-right);QueuePop(q);}//已经遇到空节点如果队列中还有后面的节点非空就不是完全二叉树while (!QueueEmpty(q)){BTNode* front QueueFront(q);QueuePop(q);if (front ! NULL){QueueDestroy(q);return 0;}}QueueDestroy(q);return 1;
} 上面我们需要注意一点BTNode* front QueueFront(q);取到队头节点之后我们就执行QueuePop(q);那我们后面还能访问front节点嘛可以因为pop是删除队列的节点不是删除树的节点。 1.某完全二叉树按层次输出同一层从左到右的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 A ABDHECFG B ABCDEFGH C HDBEAFCG D HDEBFGCA 解析题目上告知我们该树是完全二叉树那么每一层有个节点所以该树则为 2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下先序遍历EFHIGJK;中序遍历HFIEJKG.则二叉树根结点为 A E B F C G D H 解析先序遍历为EFHIGJK先访问根节点所以根节点为E 3.设一课二叉树的中序遍历序列badce后序遍历序列bdeca则二叉树前序遍历序列为____。 A adbce B decab C debac D abcde 解析中序遍历是先访问左子树根节点再右子树后序遍历是先访问左子树右子树根节点所以可以确定a是根节点b是左子树dce是右子树所以该树则为 4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同均为 ABCDEF 则按层次输出同一层从左到右的序列为 A FEDCBA B CBAFED C DEFCBA D ABCDEF 解析中序遍历是先访问左子树根节点再右子树后序遍历是先访问左子树右子树根节点所以可以确定F是根节点层序是从根节点一层一层遍历即可确定答案A 6.二叉树的优先遍历和广度优先遍历深度优先遍历和广度优先遍历 深度优先遍历Depth-First SearchDFS和广度优先遍历Breadth-First SearchBFS是两种常用的图遍历算法用于在图或树数据结构中查找或遍历节点。 深度优先遍历 (DFS)前序 DFS 是一种递归或堆栈栈的遍历方法其核心思想是从一个起始节点开始沿着一条路径尽可能深地探索直到无法再继续深入然后回退到上一个节点再继续探索其他路径。DFS 可以帮助我们找到图中的所有节点并且可以用于解决许多与路径和连通性相关的问题。 DFS 的基本特点 从起始节点开始遍历。递归或使用栈来管理节点的访问顺序。深度优先先探索一个分支直到底部然后再回溯探索其他分支。 DFS 在解决一些问题时可能会遇到无限深度的情况为了避免这种情况通常需要使用适当的条件来限制深度。 广度优先遍历 (BFS)层序 BFS 是一种层次遍历方法从起始节点开始首先访问起始节点然后逐层地访问该节点的邻居节点直到遍历完所有的节点或达到特定条件为止。BFS 常用于寻找最短路径或在图中查找特定节点。 BFS 的基本特点 从起始节点开始遍历。使用队列来管理节点的访问顺序。广度优先先访问当前节点的邻居节点再访问邻居节点的邻居节点。 BFS 可以用于寻找最短路径因为它会按层级逐步扩展首次到达目标节点时即可确定为最短路径。 总结 DFS 主要用于深度探索适用于寻找路径、连通性等问题。BFS 主要用于广度搜索适用于寻找最短路径、层级遍历等问题。 7.二叉树基础oj练习
1. 单值二叉树。Oj链接
2. 检查两颗树是否相同。OJ链接
3. 对称二叉树。OJ链接
4. 二叉树的前序遍历。 OJ链接
5. 二叉树中序遍历 。OJ链接
6. 二叉树的后序遍历 。OJ链接
7. 另一颗树的子树。OJ链接
