东莞网站建设 服饰,如皋网站开发公司,什么软件可以做企业网站,深圳最新消息【平面几何】三角形的内心与内切圆#xff08;性质归纳#xff09;#xff08;上#xff09;
性质21. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 设 B C BC BC 所对中位线是 K L KL KL, 则…【平面几何】三角形的内心与内切圆性质归纳上
性质21. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 设 B C BC BC 所对中位线是 K L KL KL, 则 B I BI BI, K L KL KL, D E DE DE 三线共点, C I CI CI, K L KL KL, D F DF DF 三线共点. 2023/12/11
配图
证明: B I BI BI, K L KL KL, D E DE DE 三线共点, 设 B D BD BD 交 D E DE DE 于 T T T. 易证 ∠ I T D ∠ A C I C / 2 \angle ITD\angle ACIC/2 ∠ITD∠ACIC/2, ∠ I T D ∠ I A C A / 2 \angle ITD\angle IACA/2 ∠ITD∠IACA/2, 因此 △ I T D ∼ △ I A C . D T / A C I D / I C sin C / 2 \triangle ITD \sim \triangle IAC. DT/ACID/IC\sin C/2 △ITD∼△IAC.DT/ACID/ICsinC/2, D T b sin C / 2 DTb \sin C/2 DTbsinC/2, D E 2 r cos C / 2 DE2 r \cos C/2 DE2rcosC/2 ( r r r 为内切圆半径), D T / D E b tan ( C / 2 ) / ( 2 r ) DT/DEb \tan (C/2) /(2r) DT/DEbtan(C/2)/(2r), C L / C E b / ( 2 ( p − c ) ) CL/CEb/(2(p-c)) CL/CEb/(2(p−c)) ( D T / D E ) / ( C L / C E ) ( p − c ) ( tan C / 2 ) / r ( p − c ) / ( r / tan C / 2 ) ( p − c ) / ∣ D C ∣ 1 (DT/DE)/(CL/CE)(p-c)(\tan C/2)/r(p-c)/(r/ \tan C/2)(p-c)/|DC|1 (DT/DE)/(CL/CE)(p−c)(tanC/2)/r(p−c)/(r/tanC/2)(p−c)/∣DC∣1
因此 T T T在 K L KL KL 上.
配图
性质22. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB于 D D D, E E E, F F F. M M M 为 B C BC BC 边的中点. 设 E F EF EF 交外接圆 O O O 于 E ′ E E′, F ′ F F′ ( E ′ E E′在 B B B 所对的弧上, F ′ F F′ 在 C C C 所对的弧上, 显然 E ′ E E′, F ′ F F′分别为 A B AB AB, A C AC AC 所对劣弧上的中点), 设 B C BC BC 所对的北极点是 J J J. B 1 B_1 B1, C 1 C_1 C1分别是 B I BI BI, C I CI CI 与外接圆的交点, 设 P P P 为 B 1 B_1 B1, C 1 C_1 C1 的中点, 则 E F / / B 1 C 1 ; I EF//B_1C_1; I EF//B1C1;I, B 1 B_1 B1, J J J, C 1 C_1 C1 构成平行四边形; E ′ E E′, F ′ F F′, M M M, D D D 共圆且 P P P 为圆心. (来源: 2015 韩国数学奥林匹克)
配图
证明: 显然 E F ⊥ A I EF\bot AI EF⊥AI, 连结 A I AI AI, A B 1 AB_1 AB1, 则 ∠ B 1 A I A / 2 B / 2 \angle B_1AIA/2B/2 ∠B1AIA/2B/2, ∠ C 1 B 1 A C / 2 \angle C_1B_1AC/2 ∠C1B1AC/2, 因此 ∠ B 1 A I ∠ C 1 B 1 A π / 2 \angle B_1AI\angle C_1B_1A\pi/2 ∠B1AI∠C1B1Aπ/2, A I ⊥ B 1 C 1 . E F / / B 1 C 1 . ∠ J B 1 C 1 π / 2 − A / 2 − C / 2 B / 2 ∠ B 1 C 1 C AI \bot B_1C_1. EF//B_1C_1. \angle JB_1C_1\pi/2-A/2-C/2B/2\angle B_1C_1C AI⊥B1C1.EF//B1C1.∠JB1C1π/2−A/2−C/2B/2∠B1C1C, J B 1 / / C 1 I JB_1//C_1I JB1//C1I, 同理, J C 1 / / B 1 I JC_1//B_1I JC1//B1I, I I I B 1 B_1 B1, J J J, C 1 C_1 C1 构成平行四边形. 连结 J I JI JI, O M OM OM, I D ID ID, F ′ M FM F′M, E ′ D ED E′D. 设直线 E ′ F ′ EF E′F′, 直线 B C BC BC 交于 T T T. 由性质1, D D D, T T T 调和分割 B C BC BC, T D ⋅ T M T B ⋅ T C T F ′ ⋅ T E ′ TD \cdot TMTB \cdot TCTF \cdot TE TD⋅TMTB⋅TCTF′⋅TE′, E ′ E E′, F ′ F F′, M M M, D D D 共圆. 显然四边形 J M D I JMDI JMDI 是等腰梯形, 由 I I I, B 1 B_1 B1, J J J, C 1 C_1 C1 构成平行四边形可知 P P P 为 B 1 C 1 B_1C_1 B1C1, J I JI JI 的中点, 因此 P P P 在 M D MD MD 的中垂线上, 同时, O P ⊥ B 1 C 1 OP \bot B_1C_1 OP⊥B1C1, 进而 O P ⊥ E ′ F ′ OP \bot EF OP⊥E′F′, 则 P P P 在 E ′ F ′ EF E′F′ 的中垂线上, 因此过 E ′ E E′, F ′ F F′, M M M, D D D 的圆以 P P P 为圆心. I ′ I I′ 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 角 A A A 的平分线上一点, 过 I ′ I I′ 向三边作垂线, B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 边上的垂足分别为 D ′ D D′, E ′ E E′, F ′ F F′, E ′ F ′ EF E′F′ 交弧 A B AB AB (劣弧)于 G G G, 交弧 A C AC AC (劣弧) 于 H H H. M M M 为 B C BC BC 边的中点, 则 G G G, H H H, D ′ D D′, M M M 共圆.
配图1
配图2
性质23. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 角 A A A 的平分线 A I AI AI 交内接圆于 K K K, B C BC BC 边的中点为 M M M, B C BC BC 边所对的北极点是 N N N, A A A 点所对的旁心为 J a J_a Ja, 则 (1) △ I M K ∼ △ N I K \triangle IMK \sim \triangle NIK △IMK∼△NIK; △ J a K M ∼ △ N K J a \triangle J_{a}KM \sim \triangle NKJ_{a} △JaKM∼△NKJa (2) △ I E A ∼ △ K C N \triangle IEA \sim \triangle KCN △IEA∼△KCN; (3) N A / / E F NA//EF NA//EF.
配图1, 配图2, 配图3
证明: 仅证明(1), 连结 N C NC NC, K C KC KC, 则由鸡爪定理可知 K C K I KCKI KCKI. 由射影定理可知, K C 2 K M ⋅ K N KC^2KM \cdot KN KC2KM⋅KN. 由此可知 △ I M K ∼ △ N I K \triangle IMK \sim \triangle NIK △IMK∼△NIK. 由于 K J a K I KJ_aKI KJaKI, 因此 K J a 2 K M ⋅ K N KJ_{a}^{2}KM \cdot KN KJa2KM⋅KN, △ J a K M ∼ △ N K J a \triangle J_{a}KM \sim \triangle NKJ_{a} △JaKM∼△NKJa.
(2), (3) 证明略.
性质24-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 外心为 O O O, N N N 为 B C BC BC 所对的北极点, S S S 为南极点, D D D为 I I I 在 B C BC BC 边上的切点, 设 P P P 为 N I NI NI 与圆 O O O 的交点, A ′ A A′ 为 A A A 关于 B C BC BC 中垂线的对称点, R R R 为 I I I 在 N S NS NS 上的垂足, 则 I I I, R R R, S S S, P P P 四点共圆, I I I, R R R, N N N, A A A 四点共圆, P P P, D D D, R R R, A ′ A A′ 四点共线.
配图
证明: 连结 S P SP SP. 显然 S P ⊥ N P SP \bot NP SP⊥NP, 结合 I R ⊥ N S IR\bot NS IR⊥NS, 有 I I I, R R R, S S S, P P P 四点共圆, 类似地可证明 N N N, A A A, I I I, R R R 四点共圆. ∠ R P H ∠ R S H ∠ A ′ P N \angle RPH\angle RSH\angle APN ∠RPH∠RSH∠A′PN, 因此 R R R 在 N P NP NP 上, 因此 D D D 在 R P RP RP 上. 由性质23可知, △ I M S ∼ △ N I S \triangle IMS \sim \triangle NIS △IMS∼△NIS, 则 ∠ I M N ∠ N I A ∠ S I P ∠ S R P \angle IMN\angle NIA\angle SIP\angle SRP ∠IMN∠NIA∠SIP∠SRP 连结 M I MI MI, 显然四边形 R I D M RIDM RIDM 是矩形, ∠ M R D ∠ I M R ∠ S R P \angle MRD\angle IMR\angle SRP ∠MRD∠IMR∠SRP, 因此 D D D 在 R P RP RP 上.
性质24-2. 该性质对于旁心亦成立.
配图
证明: 略.
性质24-3. (接性质24-1) J a J_a Ja 为 A A A 点所对的旁切圆, D ′ D D′ 为 B C BC BC 边上的旁切圆切点, 则 ∠ D ′ A B ∠ P A C \angle DAB\angle PAC ∠D′AB∠PAC.
配图
性质24-4. (接性质24-2) ∠ D A C ∠ P A B \angle DAC \angle PAB ∠DAC∠PAB.
配图
性质24-3, 24-4到伪内切圆和伪旁切圆章节再证明.
性质25. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 外心为 O O O, K K K 为 A I AI AI 与外接圆的交点, A ′ A A′ 为 A A A 关于 O I OI OI 的对称点, 则 A ′ A A′ 在过 O O O, I I I, K K K 的圆上. 2023-12-14
配图
证明: 连结 O A OA OA, O A ′ OA OA′, I A ′ IA IA′, O K OK OK. 由对称性可知, ∠ O A ′ I ∠ O A I π / 2 − B − A / 2 \angle OAI\angle OAI\pi/2-B-A/2 ∠OA′I∠OAIπ/2−B−A/2. ∠ O K I π / 2 − B − A / 2 \angle OKI\pi/2-B-A/2 ∠OKIπ/2−B−A/2. 由此可知, ∠ O A ′ I ∠ O K I \angle OAI\angle OKI ∠OA′I∠OKI. 证毕.
配图
性质26. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 外心为 O O O, A A A 所对的旁心为 J a J_a Ja, B I BI BI, C I CI CI 分别交对边于 B 0 B_0 B0, C 0 C_0 C0, 则 B 0 C 0 B_0 C_0 B0C0 垂直于 J a O J_a O JaO. 2023-12-15
配图
证明: 不失一般性, 设 c b cb cb. 设 A A A, C 0 C_0 C0, $B_0 $ 到 B C BC BC 的距离分别是 h A h_A hA, h 1 h_1 h1, h 2 h_2 h2, 由角平分线性质可知, B C 0 / C 0 A a / b BC_0/C_0A a/b BC0/C0Aa/b, C B 0 / B 0 A a / c CB_0/B_0Aa/c CB0/B0Aa/c, 进而 h 1 h A ⋅ B C 0 / B A h A a a b h_1h_A \cdot BC_0/BA h_A \frac{a}{ab} h1hA⋅BC0/BAhAaba, h 2 h A ⋅ C B 0 / C A h A a a c h_2h_A \cdot CB_0/CAh_A \frac{a}{ac} h2hA⋅CB0/CAhAaca. 设 C 0 C_0 C0, B 0 B_0 B0 到 B C BC BC 的垂足分别为 C 0 ′ C_0 C0′, B 0 ′ B_0 B0′, B 0 ′ C 0 ′ c cos B b a b B_0 C_0c \cos B \frac{b}{ab} B0′C0′ccosBabb. B 0 C 0 B_0 C_0 B0C0 与 B C BC BC 所成的角度(锐角)正切为: ( h 1 − h 2 ) / B 0 C 0 (h_1-h_2)/B_0 C_0 (h1−h2)/B0C0.
代入 : cos B ( a 2 c 2 − b 2 ) / ( 2 a c ) \cos B (a^2c^2-b^2)/(2ac) cosB(a2c2−b2)/(2ac), cos C ( a 2 b 2 − c 2 ) / ( 2 a b ) \cos C (a^2b^2-c^2)/(2ab) cosC(a2b2−c2)/(2ab), h A 2 S / a h_A2S/a hA2S/a, ( S S S为三角形面积)
化简得: ( h 1 − h 2 ) / B 0 C 0 4 S ( c − b ) [ ( a 2 c 2 − b 2 ) b ( a c ) ( a 2 b 2 − c 2 ) c ( a b ) ] / a (h_1-h_2)/B_0 C_0\frac{4S(c-b)}{[(a^2c^2-b^2)b(ac)(a^2b^2-c^2)c(ab)] /a} (h1−h2)/B0C0[(a2c2−b2)b(ac)(a2b2−c2)c(ab)]/a4S(c−b) 设 B C BC BC 边中点为 M M M, B C BC BC 边上旁切圆的切点为 D ′ D D′, J a O J_a O JaO 与 B C BC BC 垂线夹角 (锐角) 的正切为: D ′ M / ( r A R ) DM / (r_AR) D′M/(rAR), 其中 D ′ M ( a − 2 ( p − c ) ) / 2 ( c − b ) / 2 DM(a-2(p-c))/2(c-b)/2 D′M(a−2(p−c))/2(c−b)/2.
代入: R a b c / ( 4 S ) R abc/(4S) Rabc/(4S), r A 2 S / ( b c − a ) r_A 2S/(bc-a) rA2S/(bc−a), S p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} Sp(p−a)(p−b)(p−c) (海伦公式) D ′ M / ( r A R ) ( c − b ) / 2 [ 16 S 2 a ( b 2 c 2 − a 2 ) ( b c − a ) ] / ( 8 S ( b c − a ) ) 4 S ( c − b ) ( a b c ) ( a b − c ) ( a − b c ) a ( b 2 c 2 − a 2 ) \begin{align} DM / (r_AR) \frac{(c-b)/2}{[16S^2a(b^2c^2-a^2)(bc-a)] /(8S(bc-a))}\\\frac{4S(c-b)}{(abc)(ab-c)(a-bc)a(b^2c^2-a^2)} \end{align} D′M/(rAR)[16S2a(b2c2−a2)(bc−a)]/(8S(bc−a))(c−b)/2(abc)(ab−c)(a−bc)a(b2c2−a2)4S(c−b) 我们比较 ( h 1 − h 2 ) / B 0 C 0 (h_1-h_2)/B_0 C_0 (h1−h2)/B0C0与 D ′ M / ( r A R ) DM / (r_AR) D′M/(rAR)两项的分母和分子. 分子相同, 下面看分母 ( a b c ) ( a b − c ) ( a − b c ) a ( b 2 c 2 − a 2 ) a 2 ( b c ) 2 a b c ( c − b ) ( b 2 − c 2 ) (abc)(ab-c)(a-bc)a(b^2c^2-a^2)a^2(bc)2abc(c-b)(b^2-c^2) (abc)(ab−c)(a−bc)a(b2c2−a2)a2(bc)2abc(c−b)(b2−c2) [ ( a 2 c 2 − b 2 ) b ( a c ) ( a 2 b 2 − c 2 ) c ( a b ) ] / a a [ b ( a c ) c ( a b ) ] ( c 2 − b 2 ) [ b ( a c ) − c ( a b ) ] / a a 2 ( b c ) 2 a b c ( c 2 − b 2 ) ( b − c ) \begin{align} [(a^2c^2-b^2)b(ac)(a^2b^2-c^2)c(ab)] /a a[b(ac)c(ab)] (c^2-b^2)[b(ac)-c(ab)] /a\\ a^2(bc)2abc(c^2-b^2)(b-c) \end{align} [(a2c2−b2)b(ac)(a2b2−c2)c(ab)]/aa[b(ac)c(ab)](c2−b2)[b(ac)−c(ab)]/aa2(bc)2abc(c2−b2)(b−c)
显然分母也相等. 证毕.
性质27. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 外心为 O O O, A A A 点所对的旁切圆心为 J a J_a Ja. B 0 B_0 B0, C 0 C_0 C0 分别为 B B B, C C C 的角平分线与对边的交点, 则 J a ⊥ B 0 C 0 J_a \bot B_0 C_0 Ja⊥B0C0. 2023-12-07
配图
证明: 设 E F EF EF 交 N D ND ND于 G G G. 连结 D J a DJ_a DJa, 设 B C BC BC 边上的旁切圆切点为 D ′ D D′, 作 B C BC BC 的中垂线交 D J a DJ_a DJa 于 S S S. 下面对于 △ N S D \triangle NSD △NSD 和 G G G, M M M, J a J_a Ja 利用梅涅劳斯定理逆定理证明 G G G, M M M, J a J_a Ja 共线.
连结 N A NA NA, 则 N A / / E F NA//EF NA//EF, N N N 到 E F EF EF 的距离等于 A A A 到 E F EF EF 的距离, 记作 d 1 r cos ( A / 2 ) / tan ( A / 2 ) d_1r \cos(A/2)/\tan (A/2) d1rcos(A/2)/tan(A/2) 连结 D E DE DE, D D D 到 E F EF EF 的距离记作 d 2 D E ⋅ c o s ( ∠ D E F ) 2 r cos ( C / 2 ) cos ( B / 2 ) d_2DE \cdot cos (\angle DEF)2r \cos(C/2) \cos(B/2) d2DE⋅cos(∠DEF)2rcos(C/2)cos(B/2), D J a / J a S 2 DJ_a/J_aS2 DJa/JaS2 M S r A / 2 p tan ( A / 2 ) / 2 MSr_A/2p \tan(A/2) / 2 MSrA/2ptan(A/2)/2, M N a / ( 2 tan ( A / 2 ) ) MNa/(2 \tan(A/2)) MNa/(2tan(A/2)), ( N G / G D ) ⋅ ( D J a / J a S ) ⋅ ( M S / M N ) p sin A / 2 / ( a cos ( C / 2 ) cos ( B / 2 ) ) (NG/GD) \cdot (DJ_a/J_aS) \cdot (MS/MN) p \sin A/2/ (a \cos(C/2) \cos(B/2)) (NG/GD)⋅(DJa/JaS)⋅(MS/MN)psinA/2/(acos(C/2)cos(B/2)) p / a ( a b c ) / ( 2 a ) ( sin A sin B sin C ) / ( 2 sin A ) 2 cos ( A / 2 ) cos ( B / 2 ) cos ( C / 2 ) / sin A p/a(abc)/(2a)(\sin A \sin B\sin C)/(2 \sin A)2 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)/\sin A p/a(abc)/(2a)(sinAsinBsinC)/(2sinA)2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)/sinA 代入得 ( N G / G D ) ⋅ ( D J a / J a S ) ⋅ ( M S / M N ) 1 (NG/GD) \cdot (DJ_a/J_aS) \cdot (MS/MN) 1 (NG/GD)⋅(DJa/JaS)⋅(MS/MN)1. 证毕.
配图
性质28. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 外心为 O O O, 向 B C BC BC 所作的垂线垂足为 D D D, O I OI OI 交 A D AD AD 于 K K K, 则 A K / A D R / r a AK/ADR/r_a AK/ADR/ra.
配图
证明: 设 I I I, O O O 到 B C BC BC 的垂线垂足为 I ′ I I′, O ′ O O′, A K / A O K I / I O AK/AOKI/IO AK/AOKI/IO. A O R K I / I O D I ′ / I ′ O ′ AOR KI/IODI/IO AORKI/IODI′/I′O′, A K / R D I ′ / I ′ O ′ AK/RDI/IO AK/RDI′/I′O′ D I ′ ( p − b ) − c cos B p − b − a 2 c 2 − b 2 2 a ( b − c ) ( − a b c ) / 2 a DI(p-b)-c \cos Bp-b-\frac{a^2c^2-b^2}{2a}(b-c)(-abc)/2a DI′(p−b)−ccosBp−b−2aa2c2−b2(b−c)(−abc)/2a, I ′ O ′ a / 2 − ( p − b ) ( b − c ) / 2 IOa/2-(p-b)(b-c)/2 I′O′a/2−(p−b)(b−c)/2, D I ′ / I ′ O ′ ( − a b c ) / a DI/IO(-abc)/a DI′/I′O′(−abc)/a, A K ( − a b c ) R / a AK(-abc)R/a AK(−abc)R/a, A D 2 S / a AD2S/a AD2S/a, A K / A D ( − a b c ) R / ( 2 S ) R / ( 2 S / ( − a b c ) ) R / r A AK/AD(-abc)R/(2S)R/(2S/(-abc))R/r_A AK/AD(−abc)R/(2S)R/(2S/(−abc))R/rA.
性质29. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内心为 I I I, 外心为 O O O, B I BI BI, C I CI CI 分别交对边于 B 0 B_0 B0, C 0 C_0 C0, 交外接圆于 B 1 B_1 B1, C 1 C_1 C1, 则 A I ⊥ B 1 C 1 AI \bot B_1 C_1 AI⊥B1C1; B 0 C 0 B_0 C_0 B0C0, B 1 C 1 B_1 C_1 B1C1 外接圆在 A A A 点的切线, B C BC BC 过点 I I I 的平行线交于一点. 2023/12/19
配图
证明: 由鸡爪定理, C 1 I C 1 A C_1IC_1A C1IC1A, B 1 I B 1 A B_1IB_1A B1IB1A, 因此 A I ⊥ B 1 C 1 AI \bot B_1 C_1 AI⊥B1C1. 设 B 0 C 0 B_0C_0 B0C0 与 B C BC BC 过点 I I I 的平行线交于 T T T, 连结 B C 1 BC_1 BC1, B 0 C 0 B_0C_0 B0C0 过点 I I I 的平行线与直线 B C BC BC 交于 T ′ T T′ . 易证 B C 1 / C 1 C 0 C C 1 / B C 1 BC_1/C_1C_0CC_1/BC_1 BC1/C1C0CC1/BC1 (记为 k k k), 考虑 C 1 C_1 C1 为中心, 比为 k k k 的位似变换 h h h, 显然 h ( C 0 ) I h(C_0)I h(C0)I (由鸡爪定理, C 1 I C 1 B C_1IC_1B C1IC1B, h ( I ) C h(I)C h(I)C, 进而 h ( T ) T ′ h(T)T h(T)T′. 进而 T T ′ TT TT′ 过 C 1 C_1 C1. 同理, T T ′ TT TT′ 也过 B 1 B_1 B1. 由于 T T T 在 A I AI AI 的中垂线上, 因此 ∠ A I T ∠ I A T B A / 2 \angle AIT\angle IATBA/2 ∠AIT∠IATBA/2, ∠ O A I π / 2 − B − A / 2 \angle OAI\pi/2-B-A/2 ∠OAIπ/2−B−A/2, 因此 ∠ O A T π / 2 \angle OAT\pi/2 ∠OATπ/2.
性质30. △ A B C \triangle ABC △ABC的内心为 I I I, 垂心为 H H H, 内切圆 I I I 切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F, 设 P P P 为 A D AD AD 的中点, 设 D P DP DP 为 l A l_A lA, 类似地定义 l B l_B lB, l C l_C lC, 则 l A l_A lA, l B l_B lB, l C l_C lC, I H IH IH 共点.
配图
证明: 不失一般性, 设 c b cb cb. 首先计算出 D P DP DP 分 I H IH IH 的比例, 设 T T T 为 D P DP DP 与 I H IH IH 的交点, 设直线 l A l_A lA 交直线 A H AH AH 于 X X X, A A A在 B C BC BC 上的垂足为 A ′ A A′. 求解 A X AX AX, 对 △ A A ′ L \triangle AAL △AA′L 和截线 X P D XPD XPD 由梅涅劳斯定理可知, A X / X A ′ ⋅ A ′ D / D L ⋅ P L / P A 1 AX/XA\cdot AD/DL\cdot PL/PA1 AX/XA′⋅A′D/DL⋅PL/PA1, C L / B L b / c CL/BLb/c CL/BLb/c, C D ( p − c ) CD(p-c) CD(p−c), 进而可知 D L a b / ( b c ) − ( p − c ) ( c − b ) ( b c − a ) 2 ( b c ) DLab/(bc)-(p-c)\frac{(c-b)(bc-a)}{2(bc)} DLab/(bc)−(p−c)2(bc)(c−b)(bc−a), A ′ D ( p − c ) − b cos C ( c − b ) ( b c − a ) 2 a AD (p-c)-b \cos C\frac{(c-b)(bc-a)}{2a} A′D(p−c)−bcosC2a(c−b)(bc−a),代入得: A X / X A ′ a / ( b c ) AX/XAa/(bc) AX/XA′a/(bc), A X / A A ′ a / ( b c − a ) AX/AAa/(bc-a) AX/AA′a/(bc−a). r A / A A ′ S / ( p − a ) 2 S / a a / ( b c − a ) r_A/AA\frac{S/(p-a)}{2S/a}a/(bc-a) rA/AA′2S/aS/(p−a)a/(bc−a), 因此 A X r A AXr_A AXrA. I T / T H r / ( r A A H ) IT/THr/(r_AAH) IT/THr/(rAAH) r A A H 2 S / ( b c − a ) 2 R cos A r_AAH2S/(bc-a)2R \cos A rAAH2S/(bc−a)2RcosA ( S S S 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的面积), 代入 R a b c / ( 4 S ) Rabc/(4S) Rabc/(4S), cos A ( b 2 c 2 − a 2 ) / ( 2 b c ) \cos A(b^2c^2-a^2)/(2bc) cosA(b2c2−a2)/(2bc) 得: r A A H 2 a b c ( b 2 c 2 − a 2 ) ( b c − a ) 16 S 2 b c 4 S b c ( b c − a ) r_AAH \frac{2abc(b^2c^2-a^2)(bc-a)16S^2bc}{4Sbc(bc-a)} rAAH4Sbc(bc−a)2abc(b2c2−a2)(bc−a)16S2bc
代入 S p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} Sp(p−a)(p−b)(p−c) (海伦公式), 并整理得到 r A A H − a 3 − b 3 − c 3 a 2 ( b c ) b 2 ( a c ) c 2 ( a b ) 2 a b c 8 S r_AAH\frac{-a^3-b^3-c^3a^2(bc)b^2(ac)c^2(ab)2abc}{8S} rAAH8S−a3−b3−c3a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc
交换 a a a, b b b, c c c 的位置可得到 l B l_B lB, l C l_C lC 分 I H IH IH 的比例, 注意到这个表达式是关于 a a a, b b b, c c c 对称的, 因此 l B l_B lB, l C l_C lC 也交 I H IH IH 于 T T T.
配图
完稿于2023/12/23
