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给定一个图#xff08;有向图或无向图#xff09; G ( V , E ) G (V, E) G(V,E)#xff0c; V V V是图中点的集合#xff0c; E E E是图中边的集合#xff0c;图中每条边 ( i , j ) ∈ E (i, j) \in E (i,j)∈E都对应一个权重 c i j c_{ij} cij#xff08;…问题描述
给定一个图有向图或无向图 G ( V , E ) G (V, E) G(V,E) V V V是图中点的集合 E E E是图中边的集合图中每条边 ( i , j ) ∈ E (i, j) \in E (i,j)∈E都对应一个权重 c i j c_{ij} cij距离或者运输成本等给定一个起点 u u u和一个终点 z z z最段路问题就是寻找一条从 s s s出发到达 z z z的距离最短或者成本最低的路径。
数学建模
定义 I I I点的集合 o u t ( i ) out(i) out(i)离开点 i i i边的集合 i n ( i ) in(i) in(i)进入点 i i i边的集合 x e x_e xe是否选择 e e e这条边0-1变量 m i n ∑ e ∈ E x e c e s . t . ∑ e ∈ o u t ( i ) x e − ∑ e ∈ i n ( i ) x e { 1 , i u − 1 , i z 0 , e l s e min \sum_{e \in E}x_ec_e \\ s.t. \sum_{e \in out(i)}x_e - \sum_{e \in in(i)}x_e \begin{cases} 1, iu \\ -1, iz \\ 0, else \end{cases} mine∈E∑xeces.t.e∈out(i)∑xe−e∈in(i)∑xe⎩ ⎨ ⎧1,iu−1,iz0,else
上述模型优化目标为最小化路径距离约束为进出平衡分了3种点的类型去写约束始发点只出不进、目的点只进不出、其他点进等于出。
整数最优解特性 即使把变量 x e x_{e} xe松弛成 0 ≤ x e ≤ 1 0 \leq x_e \leq1 0≤xe≤1原问题变成线性规划该问题仍然存在整数最优解。 模型求解
调用求解器求解即可。 后面补充代码。
参考资料
最短路径问题.运筹优化常用算法、模型及案例实战PythonJava 实现. 刘兴禄熊望祺臧永森段宏达曾文佳陈伟坚.
