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显函数和隐函… 文章目录 abstract显函数隐函数隐函数显化 隐函数求导对数求导法幂指函数求导乘法链函数及其分式函数求导例子例例例例 参数方程确定的函数及其导数引言参数方程确定的函数例 参数方程确定的函数的导数参方函数的二阶导数例子例例 极坐标曲线某点的导数 abstract
显函数和隐函数 一个函数可以有不同的表示方式,而公式法中又有不同的方式描述同一个函数,例如表示成显函数或者隐函数然而某些函数只能表示成隐函数(难以显化) 隐函数求导参数式函数求导
显函数
函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)(0)表示两个变量 y , x y,x y,x之间的对应关系,其中 y , x y,x y,x分别称为因变量和自变量等号左端的是因变量符号,而等号右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,该式子能确定对应的函数值,这种方式表达的函数称为显函数例如函数 y − x y-x y−x(f1)
隐函数 一般地,若变量 x , y x,y x,y满足一个方程 F ( x , y ) 0 F(x,y)0 F(x,y)0(1),在一定条件下,当 x x x取区间内的任一值时,相应地总有满足这个方程地唯一的 y y y值存在,那么说方程(1)在该区间内确定了一个隐函数 方程(1)也可以表示为 F ( x , y ( x ) ) 0 F(x,y(x))0 F(x,y(x))0 例如 x y 0 xy0 xy0(f2), x y e xye xye
隐函数显化
将一个隐函数(1)化为显函数(0),称为隐函数的显化不是所有隐函数都容易或能够显化,但由于函数的定义, y , x y,x y,x存在确定关系,方程(1)所确定的隐函数仍然可以表示为(或设为)显函数的形式: y y ( x ) yy(x) yy(x)
隐函数求导
虽然隐函数不一定能显化,但我们还是希望能够对隐函数求导通常的办法是对隐函数两边对自变量求导若方程包含 y y y的式子或者项记为 f ( y ) f(y) f(y),则将其对 x x x求导应视为复合函数求导: f ( y ) f ( y ( x ) ) f(y)f(y(x)) f(y)f(y(x))对 x x x求导的导数: y ′ d f d y ⋅ d y d x y\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}{y}}\cdot\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} y′dydf⋅dxdy f ′ ⋅ y ′ f\cdot y f′⋅y′例如 y 5 y^{5} y5对 x x x求导: 5 y 4 ⋅ y ′ 5y^4\cdot{y} 5y4⋅y′而隐函数高阶导类似的,继续对方程两边求导,必要时将一阶导的结果代入二阶导的算式中
对数求导法
对 y f ( x ) yf(x) yf(x)两边同时取对数,在求出 y y y的导数
幂指函数求导
这种方法经常用在包含幂指函数的方程中简化求导过程 y u v , ( u 0 ) yu^{v},(u0) yuv,(u0), u u ( x ) , v v ( x ) uu(x),vv(x) uu(x),vv(x)都可导 ln y v ln u \ln{y}v\ln{u} lnyvlnu 1 y y ′ \frac{1}{y}y y1y′ v ′ ln u v 1 u u ′ v\ln{u}v\frac{1}{u}u v′lnuvu1u′ y ′ y ( v ′ ln u v 1 u u ′ ) yy(v\ln{u}v\frac{1}{u}u) y′y(v′lnuvu1u′) u v ( v ′ ln u v u ′ u ) u^{v}(v\ln{u}v\frac{u}{u}) uv(v′lnuvuu′) 另一种操作手法是将幂指函数 y u v yu^{v} yuv变形为指数函数 e ln u v e^{\ln{u^{v}}} elnuv e v ln u e^{v\ln{u}} evlnu 这种手法将幂指函数处理成复合函数,运用复合函数求导法也可得到上述结论
乘法链函数及其分式函数求导 另一类形是多项式(因式分解形式): y f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) yf_1(x)f_2(x)\cdots{f_n(x)} yf1(x)f2(x)⋯fn(x),对其两边取对数, ln y \ln{y} lny ln f 1 ( x ) ln f 2 ( x ) ⋯ ln f n ( x ) \ln{f_1(x)}\ln{f_2(x)}\cdots\ln{f_{n}(x)} lnf1(x)lnf2(x)⋯lnfn(x) ∑ i 1 n ln f i ( x ) \sum_{i1}^{n}\ln{f_i(x)} ∑i1nlnfi(x) 这使得乘积函数函数变成加和形式,因而求导更加方便: 1 y y ′ \frac{1}{y}y y1y′ ∑ i 1 n 1 f i ( x ) f i ′ ( x ) \sum_{i1}^{n}\frac{1}{f_i(x)}f_{i}(x) ∑i1nfi(x)1fi′(x) g ∏ i 1 n f i ( x ) ∏ i 1 m g i ( x ) g\frac{\prod_{i1}^{n}f_i(x)}{\prod_{i1}^{m}g_i(x)} g∏i1mgi(x)∏i1nfi(x)依然有效: ln g ∑ i 1 n ln f i ( x ) − ∑ i 1 m ln g i ( x ) \ln{g}\sum_{i1}^{n}\ln{f_i(x)}-\sum_{i1}^{m}\ln{g_i(x)} lng∑i1nlnfi(x)−∑i1mlngi(x) 这种方法不仅可以用于幂指型隐函数和显函数求导(注意根式也时幂的一种表现形式)
例子
例 以求 y a x ya^x yax的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法) y a x ya^x yax,两边取对数 ln y ln a x x ln a \ln y\ln a^xx \ln a lnylnaxxlna 两边同时对 x x x求导, 1 y y ′ ln a \frac{1}{y}y\ln a y1y′lna,整理: y ′ y ln a a x ln a yy\ln aa^x \ln a y′ylnaaxlna即, ( a x ) ′ a x ln a (a^x)a^x \ln a (ax)′axlna
例 e y x y − e 0 e^{y}xy-e0 eyxy−e0所确定的隐函数 y y ( x ) yy(x) yy(x)的导数 y ′ d y d x y\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} y′dxdy两边求导,得 e y y ′ 1 y x y ′ 0 e^{y}y1{y}xy0 eyy′1yxy′0;整理可得 y ′ − y x e y y-\frac{y}{xe^{y}} y′−xeyy, ( x e y ≠ 0 ) (xe^{y}\neq{0}) (xey0)
例 y ( x 1 ) ( x 2 ) y(x1)(x2) y(x1)(x2), y 0 y0 y0 ln y \ln{y} lny ln ( x 1 ) ln ( x 2 ) \ln(x1)\ln(x2) ln(x1)ln(x2) 1 y y ′ 1 x 1 1 x 2 \frac{1}{y}y\frac{1}{x1}\frac{1}{x2} y1y′x11x21 y ′ y y′ y ( 1 x 1 1 x 2 ) y(\frac{1}{x1}\frac{1}{x2}) y(x11x21) ( x 2 ) ( x 1 ) (x2)(x1) (x2)(x1) 2 x 3 2x3 2x3 若将 y y y展开为多项式形式 y x 2 3 x 2 yx^23x2 yx23x2,结果也是一样的,只不过当乘积项较多时,对数求导法会更加简单
例 f ( x ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) f(x)\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} f(x)(x−3)(x−4)(x−1)(x−2), y f ( x ) y\sqrt{f(x)} yf(x) f ( x ) 1 2 f(x)^{\frac{1}{2}} f(x)21的导数 令 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x) f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)分别为 x − 1 x-1 x−1, x − 2 x-2 x−2, x − 3 x-3 x−3, x − 4 x-4 x−4 当 x 4 x4 x4,则 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0 两边取对数 ln y 1 2 ln f ( x ) \ln{y}\frac{1}{2}\ln{f(x)} lny21lnf(x) 1 2 ( ln ( x − 1 ) ln ( x − 2 ) − ln ( x − 3 ) − ln ( x − 4 ) ) \frac{1}{2}(\ln(x-1)\ln(x-2)-\ln(x-3)-\ln(x-4)) 21(ln(x−1)ln(x−2)−ln(x−3)−ln(x−4))两边对 x x x求导: 1 y y ′ 1 2 ( 1 x − 1 1 x − 2 − 1 x − 3 − 1 x − 4 ) \frac{1}{y}y\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}) y1y′21(x−11x−21−x−31−x−41)即 y ′ y 2 ( 1 x − 1 1 x − 2 − 1 x − 3 − 1 x − 4 ) y\frac{y}{2}(\frac{1}{x-1}\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}) y′2y(x−11x−21−x−31−x−41) 当 x 1 x1 x1时 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0,和第一种情形相同 当 x 1 x1 x1, 2 x 3 2x3 2x3时, f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0,和第一种情形相同 若 1 x 2 1x2 1x2, 3 x 4 3x4 3x4,此时 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0,不能直接用对数求导法 但是 g − y − f ( x ) g-y-f(x) g−y−f(x),则 g 0 g0 g0,可以用对数求导法求出 g ′ g g′,从而 y ′ − g ′ y-g y′−g′
参数方程确定的函数及其导数
引言
从研究物体运动的轨迹开始引入参数方程以抛射运动为例,抛射体的运动轨迹表示为方程组(1): x v 1 t xv_1t xv1t(1-1) y v 2 t − 1 2 g t 2 yv_2t-\frac{1}{2}gt^2 yv2t−21gt2(1-2) 其中 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1,v2分贝时抛射体速度的水平和铅直方向的分量; g g g时重力加速度, t t t是飞行时间而 x , y x,y x,y分别是抛射体在铅直品面上的位置的横坐标和纵坐标方程组(1)中, x , y x,y x,y都是关于变量 t t t的函数,可以分别记为 x x ( t ) , y y ( t ) xx(t),yy(t) xx(t),yy(t);为了便于讨论和区分,将函数的映射符号使用和因变量相异的符号,表示为方程组(2): x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t),(2-1) y ψ ( t ) y\psi(t) yψ(t)(2-2)
参数方程确定的函数
若把对应于同一个 t t t的 y , x y,x y,x看作是对应的,那么就得到 y , x y,x y,x之间的函数关系一般地,若参数方程(2)确定 y , x y,x y,x间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为方程(2)所确定的函数(简称参方函数)参数方程(2)中的参数是 t t t,变量是 x x x;将参数方程化为一般方程不总是容易进行的,一般的转化方法如下(消去参数 t t t): 设 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t)具有单调连续反函数 t ϕ − 1 ( x ) t\phi^{-1}(x) tϕ−1(x)并设 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t)的反函数为 t ϕ − 1 ( x ) t\phi^{-1}(x) tϕ−1(x)(3)将(3)代入 y ψ ( t ) y\psi(t) yψ(t),得 y ψ ( ϕ − 1 ( x ) ) y\psi(\phi^{-1}(x)) yψ(ϕ−1(x))(4);这就是说,参方函数可以看作是 y ψ ( t ) , t ϕ − 1 ( x ) y\psi(t),t\phi^{-1}(x) yψ(t),tϕ−1(x)的复合函数 有时参数 t t t难以消去
例
引言例中, y f ( x ) yf(x) yf(x)的表示: 由 x ϕ ( x ) x\phi(x) xϕ(x) v 1 t v_1t v1t,得 t ϕ − 1 ( x ) t\phi^{-1}(x) tϕ−1(x) x v 1 \frac{x}{v_1} v1x代入 y ψ ( t ) v 2 t − 1 2 g t 2 y\psi(t)v_2t-\frac{1}{2}gt^2 yψ(t)v2t−21gt2得 y v 2 ( x v 1 ) − 1 2 g ( x v 1 ) 2 yv_2(\frac{x}{v_1})-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_1})^2 yv2(v1x)−21g(v1x)2
参数方程确定的函数的导数 尽管参方函数不总便于化为一般函数,但是我们可以对参方函数进行求导 为了计算复合函数(4)的导数,需要假定(2-1),(2-2)都可导,且 ϕ ′ ( t ) ≠ 0 \phi(t)\neq{0} ϕ′(t)0 于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则,得 y y ( x ) yy(x) yy(x)得导数: y ′ y y′ d y d x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} dxdy ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) \frac{\psi(t)}{\phi(t)} ϕ′(t)ψ′(t)(5) 方法1:分式上下同时除以 d t ≠ 0 d{t}\neq{0} dt0 y ′ y y′ d y d t d x d t \huge\frac{\frac{d{y}}{dt}}{\frac{dx}{d{t}}} dtdxdtdy(5-1) ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) \frac{\psi(t)}{\phi(t)} ϕ′(t)ψ′(t) 方法2:配项 1 d t d t 1\frac{d{t}}{d{t}} 1dtdt, ( d t ≠ 0 ) (d{t}\neq{0}) (dt0)再变形 d y d t \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} dtdy d t d x \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{x}} dxdt d y d t \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} dtdy 1 d x d t \frac{1}{\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}}} dtdx1(5-2) ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) \frac{\psi(t)}{\phi(t)} ϕ′(t)ψ′(t) 公式(5)就是方程组(2)确定的函数的关于 x x x的函数的导数公式
参方函数的二阶导数
若方程组(2)中的方程还都是二阶可导的,则 y ′ ′ y y′′ d 2 y d x 2 \frac{\mathrm{d}^2{y}}{\mathrm{d}{x^2}} dx2d2y d d x ( d y d x ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}}(\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}}) dxd(dxdy)(6) d d x ( d y d x ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}}(\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}}) dxd(dxdy) d t d t \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{t}} dtdt(6-0) d d t ( ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}}(\frac{\psi(t)}{\phi(t)}) dtd(ϕ′(t)ψ′(t)) d t d x \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{x}} dxdt(6-1) ψ ′ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) ψ ′ ′ ( t ) ( ϕ ′ ( t ) ) 2 \frac{\psi(t)\phi(t)-\psi(t)\psi(t)}{(\phi{}(t))^{2}} (ϕ′(t))2ψ′′(t)ϕ′(t)−ψ′(t)ψ′′(t) 1 ϕ ′ ( t ) \frac{1}{\phi(t)} ϕ′(t)1,其中 d t d x \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{x}} dxdt 1 d x d t \frac{1}{\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}}} dtdx1 1 ϕ ′ ( t ) \frac{1}{\phi(t)} ϕ′(t)1(6-2) ψ ′ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) ψ ′ ′ ( t ) ( ϕ ′ ( t ) ) 3 \frac{\psi(t)\phi(t)-\psi(t)\psi(t)}{(\phi{}(t))^{3}} (ϕ′(t))3ψ′′(t)ϕ′(t)−ψ′(t)ψ′′(t)(6-3) 公式(6)就是参方函数的二阶导公式,重要的是式(6-0)处的配项, 公式(6-3)不需要记忆记住公式(6-1)的手法即可
例子
例 某椭圆的参数方程为 x a cos t xa\cos{t} xacost, y b sin t yb\sin{t} ybsint 求椭圆在 t π 4 t\frac{\pi}{4} t4π相应点 M 0 M_0 M0处的切线方程 解 代入 t π 4 t\frac{\pi}{4} t4π得点 M ( 2 2 a , 2 2 b ) M(\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}b) M(22 a,22 b) M M M处斜率为 y ′ ∣ t π 4 y|_{t\frac{\pi}{4}} y′∣t4π b cos t − a sin t ∣ t π 4 \frac{b\cos{t}}{-a\sin{t}}|_{t\frac{\pi}{4}} −asintbcost∣t4π − b a -\frac{b}{a} −ab 直线点斜式方程 y − 2 b 2 y-\frac{\sqrt{2}b}{2} y−22 b − b a ( x − 2 2 a ) -\frac{b}{a}(x-\frac{\sqrt{2}}{2}a) −ab(x−22 a),即 b x a y − 2 a b 0 bxay-\sqrt{2}ab0 bxay−2 ab0
例
摆线参数方程 x ϕ ( t ) a ( t − sin t ) x\phi(t)a(t-\sin{t}) xϕ(t)a(t−sint); y ψ ( t ) a ( 1 − cos t ) y\psi(t)a(1-\cos{t}) yψ(t)a(1−cost)所确定的函数 y y ( x ) yy(x) yy(x)的二阶导数 可以直接套用二阶导公式,也可逐步求导逐步求导法: d y d x \frac{d{y}}{d{x}} dxdy ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) \frac{\psi(t)}{\phi(t)} ϕ′(t)ψ′(t) sin t 1 − cos t \frac{\sin{t}}{1-\cos{t}} 1−costsint cot t 2 \cot\frac{t}{2} cot2t t 2 ≠ n π , n ∈ Z \frac{t}{2}\neq{n\pi},n\in\mathbb{Z} 2tnπ,n∈Z,即 t ≠ 2 n π , n ∈ Z t\neq{2n\pi},n\in\mathbb{Z} t2nπ,n∈Z d 2 y d x 2 \frac{d^{2}{y}}{d{x^2}} dx2d2y d d x cot t 2 d t d x \frac{d}{d{x}}\cot{\frac{t}{2}}\frac{d{t}}{dx} dxdcot2tdxdt − ( csc 2 t 2 ) ⋅ 1 2 ⋅ 1 a ( 1 − cos t ) -(\csc^2\frac{t}{2})\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{1}{a(1-\cos{t})}} −(csc22t)⋅21⋅a(1−cost)1 − ( 1 2 sin 2 t 2 ) 1 a ( 1 − cot t ) -(\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}})\frac{1}{a(1-\cot{t})} −(2sin22t1)a(1−cott)1 − 1 a ( 1 − cot t ) 2 -\frac{1}{a(1-\cot{t})^2} −a(1−cott)21, ( t ≠ 2 n π , n ∈ Z ) (t\neq{2n\pi},n\in\mathbb{Z}) (t2nπ,n∈Z)
极坐标曲线某点的导数 将极坐标曲线 L L L: r r ( θ ) rr(\theta) rr(θ)化为直角坐标的参数方程: x r cos θ xr\cos\theta xrcosθ; y r sin θ yr\sin\theta yrsinθ在利用参数方程求导法求导 y x ′ y_{x} yx′ y θ ′ x θ ′ \Large\frac{y_\theta}{x_\theta} xθ′yθ′ r ′ sin θ r cos θ r ′ cos θ − r sin θ \frac{r\sin\thetar\cos\theta}{r\cos\theta-r\sin\theta} r′cosθ−rsinθr′sinθrcosθ 极坐标上的曲线 r e θ re^{\theta} reθ对应的直角坐标参数方程为 x r cos θ xr\cos\theta xrcosθ e θ cos θ e^{\theta}\cos\theta eθcosθ y r sin θ e θ sin θ yr\sin\thetae^{\theta}{\sin\theta} yrsinθeθsinθ y x ′ y_x yx′ sin θ cos θ cos θ − sin θ \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta-\sin\theta} cosθ−sinθsinθcosθ
