杭州网站建设教育机构,电脑网站开发者模式,什么是网站推广?,秦皇岛建筑1.非负 ODE 解 本博客说明如何将 ODE 解约束为非负解。施加非负约束不一定总是可有可无#xff0c;在某些情况下#xff0c;由于方程的物理解释或解性质的原因#xff0c;可能有必要施加非负约束。仅在必要时对解施加此约束#xff0c;例如不这样做积分就会失败或者解将不…1.非负 ODE 解 本博客说明如何将 ODE 解约束为非负解。施加非负约束不一定总是可有可无在某些情况下由于方程的物理解释或解性质的原因可能有必要施加非负约束。仅在必要时对解施加此约束例如不这样做积分就会失败或者解将不适用的情况。 如果解的特定分量必须为非负则使用 odeset 来设置这些分量的索引的 NonNegative 选项。此选项不适用于 ode23s 、 ode15i 也不适用于用来求解涉及质量矩阵的问题的隐式求解器 ode15s 、 ode23t、ode23tb 。特别是不能对 DAE 问题施加非负性约束DAE 问题一定有奇异质量矩阵。 1.1 示例绝对值函数 考虑初始值问题 y′ − | y |, 该问题使用初始条件 y (0) 1 在区间 [0, 40] 上求解。此 ODE 的解将衰减到零。如果求解器生成负解值则它会开始通过此值来跟踪 ODE 的解随着计算得出的解逐渐发散为 − ࣛ计算最终会失败。使用NonNegative 选项可防止此积分失败。 将 y ( t ) 的解析解分别与使用不带额外选项的 ode45 得出的 ODE 解和设定 NonNegative 选项时得出的 ODE 解进行比较。 ode (t,y) -abs(y);
% Standard solution with |ode45|
options1 odeset(Refine,1);
[t0,y0] ode45(ode,[0 40],1,options1);
% Solution with nonnegative constraint
options2 odeset(options1,NonNegative,1);
[t1,y1] ode45(ode,[0 40],1,options2);
% Analytic solution
t linspace(0,40,1000);
y exp(-t);
% 绘制这三个解进行比较。施加非负约束对于防止解向 − ࣛ 发展至关重要。
plot(t,y,b-,t0,y0,ro,t1,y1,k*);
legend(Exact solution,No constraints,Nonnegativity, ...
Location,SouthWest) 运行结果如下 1.2 示例膝盖问题 另一个要求非负解的问题示例是在示例文件 kneeode 中编码的膝盖问题。方程是 ϵy′ (1 − x)y − y^ 2 , 该问题使用初始条件 y (0) 1 在区间 [0, 2] 上求解。通常采用参数 ϵ 以满足 0 ϵ ԟ 1并且此问题使用ϵ 1 × 10^( −6) 。此 ODE 的解在 x 1 时趋近于 y 1 − x 在 x 1 时趋近于 y 0。但通过使用默认容差计算数值解可以看到解在整个积分区间中遵循 y 1 − x 等倾线。施加非负约束会得到正确的解。 在使用和不使用非负值约束两种条件下解算膝盖问题。 epsilon 1e-6;
y0 1;
xspan [0 2];
odefcn (x,y,epsilon) ((1-x)*y - y^2)/epsilon;
% Solve without imposing constraints
[x1,y1] ode15s((x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0);
% Impose a nonnegativity constraint
options odeset(NonNegative,1);
[x2,y2] ode15s((x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0, options);
% 绘制解进行比较。
plot(x1,y1,ro,x2,y2,b*)
axis([0,2,-1,1])
title(The knee problem)
legend(No constraints,Non-negativity)
xlabel(x)
ylabel(y) 2.常见 ODE 问题及其解答 2.1 误差容限 2.2 问题规模 2.3 DOE的解 2.4 问题类型