哪个网站可以查到个人名下公司,网站平台建设项目书,市场营销培训课程,购物网站建设市场调查论文文章目录有用的式子1.#xff08;牛顿二项式定理#xff09;2.普通生成函数#xff08;OGF#xff09;常见封闭形式#xff1a;1.2.3.4.指数生成函数#xff08;EGF#xff09;排列与圆排列有用的式子
1.#xff08;牛顿二项式定理#xff09;
我们把组合数的定义推…
文章目录有用的式子1.牛顿二项式定理2.普通生成函数OGF常见封闭形式1.2.3.4.指数生成函数EGF排列与圆排列有用的式子
1.牛顿二项式定理
我们把组合数的定义推广 (rk)rk‾k!(r∈C,k∈N)\binom{r}{k}\frac{r^{\underline{k}}}{k!}\space(r\in \mathbf{C},k\in \mathbf{N})(kr)k!rk (r∈C,k∈N) 其中 rk‾r^{\underline{k}}rk 指下降幂即 ∏i0k−1(r−i)\prod_{i0}^{k-1}(r-i)∏i0k−1(r−i)。不过大多数时候我们只需要用到实数域的定义 然后我们就可以对二项式定理进行推广 (1x)r∑i≥0(ri)xi(r∈C)(1x)^{r}\sum_{i\ge0}\binom{r}{i}x^i\space(r\in \mathbf{C})(1x)ri≥0∑(ir)xi (r∈C)
2.
对于组合数 (nmm)\binom{nm}{m}(mnm) 我们考虑其实际意义枚举其与最右侧相连的极长连续段长度 iii那么就有 (nmm)∑i0m(nm−i−1m−i)∑i0m(ni−1i)\binom{nm}{m}\sum_{i0}^m\binom{nm-i-1}{m-i}\sum_{i0}^m\binom{ni-1}{i}(mnm)i0∑m(m−inm−i−1)i0∑m(ini−1) 我们常常会用到这个式子的反演。
普通生成函数OGF
数列 aaa 的普通生成函数为 F(x)∑n0anxnF(x)\sum_{n0}a_nx_nF(x)n0∑anxn 卷积性质 A(x)∗B(x)∑n0xn∑i0naibn−iA(x)*B(x)\sum_{n0}x^n\sum_{i0}^{n}a_ib_{n-i}A(x)∗B(x)n0∑xni0∑naibn−i
常见封闭形式
1.
∑n0xn11−x\sum_{n0}x^n\frac{1}{1-x}n0∑xn1−x1 ∑n0kxn1−xk11−x\sum_{n0}^{k}x^n\frac{1-x^{k1}}{1-x}n0∑kxn1−x1−xk1 证明 就是等比求和公式。
2.
∑n0(nk−1k−1)xn1(1−x)k\sum_{n0}\binom{nk-1}{k-1}x^n\frac{1}{(1-x)^k}n0∑(k−1nk−1)xn(1−x)k1 证明
数学归纳法结合式子一大力揉式子。隔板法第 nnn 项的系数等同于从 kkk 个 ∑n0xn\sum_{n0}x^n∑n0xn 中个选出一项次数后恰好为 nnn 的方案数那么就转换为 kkk 个有序非负整数加和为 nnn 的方案数。全加一后隔板即可。
3.
∑n0(nk)xnxk(1−x)k1\sum_{n0}\binom{n}{k}x^{n}\frac{x^k}{(1-x)^{k1}}n0∑(kn)xn(1−x)k1xk 证明 第二个式子为了方便稍微变下形 ∑n0(nkk)xn1(1−x)k1\sum_{n0}\binom{nk}{k}x^n\frac{1}{(1-x)^{k1}}n0∑(knk)xn(1−x)k11 然后两边同乘 xkx^kxk ∑n0(nkk)xnkxk(1−x)k1\sum_{n0}\binom{nk}{k}x^{nk}\frac{x^k}{(1-x)^{k1}}n0∑(knk)xnk(1−x)k1xk ∑nk(nk)xnxk(1−x)k1\sum_{nk}\binom{n}{k}x^{n}\frac{x^k}{(1-x)^{k1}}nk∑(kn)xn(1−x)k1xk 由于 nknknk 是组合数全是0所以求和可以伸下去得到 ∑n0(nk)xnxk(1−x)k1\sum_{n0}\binom{n}{k}x^{n}\frac{x^k}{(1-x)^{k1}}n0∑(kn)xn(1−x)k1xk
4.
∑n0(kn)xn(1x)k\sum_{n0}\binom{k}{n}x^n(1x)^kn0∑(nk)xn(1x)k 证明 二项式定理即可。
指数生成函数EGF
数列 aaa 的指数生成函数为 F^(x)∑i0ain!xi\hat{F}(x)\sum_{i0}\frac{a_i}{n!}x^iF^(x)i0∑n!aixi 卷积性质 A^(x)∗B^(x)∑n0xn∑i0n(ni)aibn−i\hat{A}(x)*\hat{B}(x)\sum_{n0}x^n\sum_{i0}^{n}\binom{n}{i}a_ib_{n-i}A^(x)∗B^(x)n0∑xni0∑n(in)aibn−i
排列与圆排列
排列的方案数为 n!n!n!其 EGF 为 P^(x)∑n!n!xn11−x\hat{P}(x)\sum\frac{n!}{n!}x^n\frac{1}{1-x}P^(x)∑n!n!xn1−x1 类似于组合数的证明每个圆排列对应 nnn 个排列方案数为 (n−1)!(n-1)!(n−1)!其 EGF 为 Q^(x)∑(n−1)!n!xn∑xnn−ln(1−x)ln11−xlnP^(x)\hat{Q}(x)\sum\frac{(n-1)!}{n!}x^n\sum\frac{x^n}{n}-\ln(1-x)\ln\frac{1}{1-x}\ln\hat{P}(x)Q^(x)∑n!(n−1)!xn∑nxn−ln(1−x)ln1−x1lnP^(x) ∑xnn−ln(1−x)\sum\dfrac{x^n}{n}-\ln(1-x)∑nxn−ln(1−x) 可通过对两边求导再积分证明 这个关系可以这么理解每个排列可以形成若干个置换环每个置换环都是一个圆排列问题。 所以 当一个问题 FFF 可以转化为按照任意方法分成若干集合每种划分的贡献是每个集合 GGG 问题的方案累乘起来时它们的 EGF 就有如下等量关系 F^(x)exp(G^(x))\hat{F}(x)\exp(\hat{G}(x))F^(x)exp(G^(x))
