网站建设贴吧,网站设计是不是会要用代码做,展厅设计的要点有哪些,技术支持 昆明网站建设转自#xff1a;https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083从傅里叶变换到小波变换#xff0c;并不是一个完全抽象的东西#xff0c;可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义#xff0c;如果我们从它的提出时所面对的问题看起#xff0c;可以整理出非常…转自https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083从傅里叶变换到小波变换并不是一个完全抽象的东西可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义如果我们从它的提出时所面对的问题看起可以整理出非常清晰的思路。 下面我就按照傅里叶--短时傅里叶变换--小波变换的顺序讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。反正题主要求的是通俗形象没说简短希望不会太长不看。。 一、傅里叶变换 关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换 下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱那么为什么还要提出小波变换答案就是方沁园所说的“对非平稳过程傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_b.jpgquot; data-rawwidthquot;597quot; data-rawheightquot;284quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;597quot; data-originalquot;https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_r.jpgquot;amp;gt;做完FFT快速傅里叶变换后可以在频谱上看到清晰的四条线信号包含四个频率成分。做完FFT快速傅里叶变换后可以在频谱上看到清晰的四条线信号包含四个频率成分。 一切没有问题。但是如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢 amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_b.jpgquot; data-rawwidthquot;690quot; data-rawheightquot;612quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;690quot; data-originalquot;https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_r.jpgquot;amp;gt; 如上图最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。 做FFT后我们发现这三个时域上有巨大差异的信号频谱幅值谱却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号我们从频谱上无法区分它们因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的只是出现的先后顺序不同。 可见傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号可能频谱图一样。 然而平稳信号大多是人为制造出来的自然界的大量信号几乎都是非平稳的所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。 amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_b.jpgquot; data-rawwidthquot;429quot; data-rawheightquot;287quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;429quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_r.jpgquot;amp;gt;上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号只知道包含哪些频率成分是不够的我们还想知道上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号只知道包含哪些频率成分是不够的我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。 二、短时傅里叶变换Short-time Fourier Transform, STFT 一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程每个小过程近似平稳再傅里叶变换就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。 看图 amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_b.jpgquot; data-rawwidthquot;844quot; data-rawheightquot;449quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;844quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_r.jpgquot;amp;gt;时域上分成一段一段做FFT不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗时域上分成一段一段做FFT不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗 用这样的方法可以得到一个信号的时频图了 amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_b.jpgquot; data-rawwidthquot;649quot; data-rawheightquot;492quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;649quot; data-originalquot;https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_r.jpgquot;amp;gt; ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” 图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分还能看到出现的时间。两排峰是对称的所以大家只用看一排就行了。 是不是棒棒的时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。 使用STFT存在一个问题我们应该用多宽的窗函数 窗太宽太窄都有问题amp;lt;img srcquot;https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_b.jpgquot; data-rawwidthquot;627quot; data-rawheightquot;312quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;627quot; data-originalquot;https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_r.jpgquot;amp;gt; amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_b.jpgquot; data-rawwidthquot;609quot; data-rawheightquot;350quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;609quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_r.jpgquot;amp;gt;窗太窄窗内的信号太短会导致频率分析不够精准频率分辨率差。窗太宽时域上又不够精细时间分辨率低。窗太窄窗内的信号太短会导致频率分析不够精准频率分辨率差。窗太宽时域上又不够精细时间分辨率低。 这里插一句这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。 看看实例效果吧amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_b.jpgquot; data-rawwidthquot;608quot; data-rawheightquot;292quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;608quot; data-originalquot;https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_r.jpgquot;amp;gt; amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_b.jpgquot; data-rawwidthquot;604quot; data-rawheightquot;295quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;604quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_r.jpgquot;amp;gt;amp;lt;img srcquot;https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_b.jpgquot; data-rawwidthquot;614quot; data-rawheightquot;281quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;614quot; data-originalquot;https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_r.jpgquot;amp;gt; ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” 上图对同一个信号4个频率成分采用不同宽度的窗做STFT结果如右图。用窄窗时频图在时间轴上分辨率很高几个峰基本成矩形而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上窄窗明显不如下边两个宽窗精确。 所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号高频适合小窗口低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的在一次STFT中宽度不会变化所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。 三、小波变换 那么你可能会想到让窗口大小变起来多做几次STFT不就可以了吗没错小波变换就有着这样的思路。 但事实上小波并不是这么做的关于这一点方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法加不等长的窗对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想更没有做傅里叶变换。 至于为什么不采用可变窗的STFT呢我认为是因为这样做冗余会太严重STFT做不到正交化这也是它的一大缺陷。 于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗分段做FFT而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率还可以定位到时间了~ 【解释】 来我们再回顾一下傅里叶变换吧没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。 傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数 amp;lt;img srcquot;https://pic4.zhimg.com/be914c25f4886601caf2324b855b2b9f_b.jpgquot; data-rawwidthquot;732quot; data-rawheightquot;504quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;732quot; data-originalquot;https://pic4.zhimg.com/be914c25f4886601caf2324b855b2b9f_r.jpgquot;amp;gt; 这个基函数会伸缩、会平移其实本质并非平移而是两个正交基的分解。缩得窄对应高频伸得宽对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度宽窄下乘出来的结果就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是基函数会在某些尺度下与信号相乘得到一个很大的值因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。 仔细体会可以发现这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。 amp;lt;img srcquot;https://pic2.zhimg.com/8fbc3a5f07a5ab0f0a90b65bc621ae21_b.jpgquot; data-rawwidthquot;452quot; data-rawheightquot;311quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;452quot; data-originalquot;https://pic2.zhimg.com/8fbc3a5f07a5ab0f0a90b65bc621ae21_r.jpgquot;amp;gt;amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/95cfa4aa2b2ea493cf07dbd4384d2526_b.jpgquot; data-rawwidthquot;509quot; data-rawheightquot;297quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;509quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/95cfa4aa2b2ea493cf07dbd4384d2526_r.jpgquot;amp;gt;看这两种尺度能乘出一个大的值相关度高所以信号包含较多的这两个频率成分在频谱上这两个频率会出现两个峰。看这两种尺度能乘出一个大的值相关度高所以信号包含较多的这两个频率成分在频谱上这两个频率会出现两个峰。 以上就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。 如前边所说小波做的改变就在于将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。 amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/94b5f53d29d655e0a4d90fa867027eda_b.jpgquot; data-rawwidthquot;675quot; data-rawheightquot;477quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;675quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/94b5f53d29d655e0a4d90fa867027eda_r.jpgquot;amp;gt;这就是为什么它叫“小波”因为是很小的一个波嘛~这就是为什么它叫“小波”因为是很小的一个波嘛~ amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/f3342ad8f9f814beecf82b29b0576ef0_b.jpgquot; data-rawwidthquot;389quot; data-rawheightquot;71quot; classquot;content_imagequot; widthquot;389quot;amp;gt; 从公式可以看出不同于傅里叶变换变量只有频率ω小波变换有两个变量尺度ascale和平移量 τtranslation。尺度a控制小波函数的伸缩平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率反比平移量 τ就对应于时间。 amp;lt;img srcquot;https://pic2.zhimg.com/c4aa4c1cc6fdc1feb47be1001fa67301_b.jpgquot; data-rawwidthquot;592quot; data-rawheightquot;341quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;592quot; data-originalquot;https://pic2.zhimg.com/c4aa4c1cc6fdc1feb47be1001fa67301_r.jpgquot;amp;gt; 当伸缩、平移到这么一种重合情况时也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是这不仅可以知道信号有这样频率的成分而且知道它在时域上存在的具体位置。 而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。 看到了吗有了小波我们从此再也不害怕非稳定信号啦从此可以做时频分析啦 做傅里叶变换只能得到一个频谱做小波变换却可以得到一个时频谱 amp;lt;img srcquot;https://pic2.zhimg.com/27adabe9c43e9716543ac6e08a983505_b.jpgquot; data-rawwidthquot;277quot; data-rawheightquot;208quot; classquot;content_imagequot; widthquot;277quot;amp;gt; ↑时域信号 ↑时域信号 amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/f0511af35a25dcbfc760959bec38b6cc_b.jpgquot; data-rawwidthquot;404quot; data-rawheightquot;302quot; classquot;content_imagequot; widthquot;404quot;amp;gt;↑傅里叶变换结果↑傅里叶变换结果 amp;lt;img srcquot;https://pic1.zhimg.com/cfae89c24cc167c028f02368ee509a68_b.jpgquot; data-rawwidthquot;524quot; data-rawheightquot;403quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;524quot; data-originalquot;https://pic1.zhimg.com/cfae89c24cc167c028f02368ee509a68_r.jpgquot;amp;gt; ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ↑小波变换结果 小波还有一些好处比如我们知道对于突变信号傅里叶变换存在吉布斯效应我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号 amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/c6041e8710f31ab327e215467d2c58d2_b.jpgquot; data-rawwidthquot;691quot; data-rawheightquot;474quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;691quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/c6041e8710f31ab327e215467d2c58d2_r.jpgquot;amp;gt;然而衰减的小波就不一样了然而衰减的小波就不一样了 amp;lt;img srcquot;https://pic3.zhimg.com/d03e5344001f6fb2dc10be4a7bd2af92_b.jpgquot; data-rawwidthquot;677quot; data-rawheightquot;522quot; classquot;origin_image zh-lightbox-thumbquot; widthquot;677quot; data-originalquot;https://pic3.zhimg.com/d03e5344001f6fb2dc10be4a7bd2af92_r.jpgquot;amp;gt; 以上就是小波的意义。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材一定会痛苦不堪。 在这里推荐几篇入门读物都是以感性介绍为主易懂但并不深入对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中 1. THE WAVELET TUTORIAL 强烈推荐点击链接INDEX TO SERIES OF TUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR 2. WAVELETSSEEING THE FOREST AND THE TREES 3. A Really Friendly Guide to Wavelets 4. Conceptual wavelets 但是真正理解透小波变换这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在它是构造“小波函数”的关键并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕大家就一点一点啃吧~ 第一次在知乎写这么长的回答都是利用实验室搬完砖之余的时间一点点弄的欢迎分享如转载还请跟我说一声哈~ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2015.3.26 评论中的一些问题的回答 1. 关于海森堡不确定性原理 不确定性原理或者叫测不准原理最早出自量子力学意为在微观世界粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学有很多物理量都有这样的特征比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中一个函数时域越“窄”它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。 如果有兴趣深入研究一下的话这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上也和它有所相连比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述最后会发现它在本质上能实现其实和不确定性原理密切相关。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗 2. 关于正交化 什么是正交化为什么说小波能实现正交化是优势? 简单说如果采用正交基变换域系数会没有冗余信息变换前后的信号能量相等等于是用最少的数据表达最大的信息量利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。 比如典型的正交基二维笛卡尔坐标系的1,0、0,1用它们表达一个信号显然非常高效计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达则会有信息冗余有重复表达。 但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强有时候反而希望能有一些冗余信息更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。 3. 关于瞬时频率 原问题图中时刻点对应一频率值一个时刻点只有一个信号值又怎么能得到他的频率呢 很好的问题。如文中所说绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率思想也类似。不过到了Hilbert变换思路就不一样了以后有机会细讲 4. 关于小波变换的不足 这要看和谁比了。 A.作为图像处理方法和多尺度几何分析方法超小波比 对于图像这种二维信号的话二维小波变换只能沿2个方向进行对图像中点的信息表达还可以但是对线就比较差。而图像中最重要的信息恰是那些边缘线这时候ridgelet脊波, curvelet曲波等多尺度几何分析方法就更有优势了。 B. 作为时频分析方法和HHT比 相比于HHT等时频分析方法小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚某种尺度下不能在时间和频率上同时具有很高的精度以及小波是非适应性的基函数选定了就不改了。 5. 关于文中表述的严谨性 评论中有不少朋友提到我的一些表述不够精准。这是肯定的并且我也是知道的。比如傅里叶变换的理解部分我所说的那种“乘出一个大的值”的表述肯定是不够严谨的。具体我也在评论的回答中做了解释。我想说的是通俗易懂和精确严谨实在难以兼得如果要追求严谨最好的就是教科书上的数学表达它们无懈可击但是对于初学者来说恐怕存在门槛。如果要通俗解释必然只能侧重一个关键点而出现漏洞。我想这也是教科书从来不把这些通俗解释写出来的原因吧——作者们不是不懂而是怕写错。所以想深入理解傅里叶变换和小波变换的朋友还请认真学习教材如果这篇文章能给一些初学者一点点帮助我就心满意足了。
