如何提高网站的用户粘度,湖州微信网站建设,网页制作素材免费网站,怎么在网站做谷歌广告文章目录 abstract曲面基本概念双侧曲面有向曲面曲面区域投影平面区域投影 对坐标的曲面积分流向曲面一侧的流量简单情形 一般情形小结 对坐标的曲面积分其他定义第二类曲面积分的存在性并写和简写流量用第二类曲面积分描述 性质对坐标的曲面积分的计算公式的其他形式应用例例 … 文章目录 abstract曲面基本概念双侧曲面有向曲面曲面区域投影平面区域投影 对坐标的曲面积分流向曲面一侧的流量简单情形 一般情形小结 对坐标的曲面积分其他定义第二类曲面积分的存在性并写和简写流量用第二类曲面积分描述 性质对坐标的曲面积分的计算公式的其他形式应用例例 abstract
对坐标的曲面积分第二类曲面积分
曲面基本概念
双侧曲面
通常,曲面是双侧的,例如 不闭合的曲面 z z ( x , y ) zz(x,y) zz(x,y)有上侧和下侧之分(按照惯例,假定 z z z轴铅直向上)而一张包围某一空间区域的闭曲面,有外侧和内侧之分 这里考虑的曲面是双侧曲面
有向曲面
讨论对坐标的曲面积分时,需要指定曲面的侧通常可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧: 例如,对于 z z ( x , y ) zz(x,y) zz(x,y),若取它的法向量 n \bold{n} n的指向朝上,则认为取定曲面的上侧又如,对于闭曲面,如果它的法向量的指向朝外,则认为曲定曲面的外侧 取定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面
曲面区域投影 设 Σ \Sigma Σ时有向曲面,在 Σ \Sigma Σ上取一小块曲面 Δ S \Delta{S} ΔS,把 Δ S \Delta{S} ΔS投影到 x O y xOy xOy面上得到一个投影区域,将这个投影区域的面积记为 ( Δ σ ) x y (\Delta{\sigma})_{xy} (Δσ)xy 假定 Δ S \Delta{S} ΔS上各点处的法向量和** z z z轴的夹角 γ \gamma γ的余弦 cos γ \cos\gamma cosγ有相同的符号**,规定 Δ S \Delta{S} ΔS在 x O y xOy xOy上的**投影 ( Δ S ) x y (\Delta{S})_{xy} (ΔS)xy**为 ( Δ S ) x y (\Delta{S})_{xy} (ΔS)xy ( Δ σ ) x y (\Delta{\sigma})_{xy} (Δσ)xy, cos γ 0 \cos\gamma0 cosγ0 ( Δ S ) x y (\Delta{S})_{xy} (ΔS)xy − ( Δ σ ) x y -(\Delta{\sigma})_{xy} −(Δσ)xy, cos γ 0 \cos{\gamma}0 cosγ0 ( Δ S ) x y 0 , (\Delta{S})_{xy}0, (ΔS)xy0, cos γ 0 \cos\gamma0 cosγ0(即 ( Δ σ ) x y 0 (\Delta{\sigma})_{xy}0 (Δσ)xy0) 由上述规定可知, Δ S \Delta{S} ΔS在 x O y xOy xOy面上的投影 ( Δ S ) x y (\Delta{S})_{xy} (ΔS)xy实际上就是 Δ S \Delta{S} ΔS在 x O y xOy xOy面上的投影区域的面积 ( Δ σ ) x y (\Delta{\sigma})_{xy} (Δσ)xy附以一定的正负号 其他坐标面上的投影:类似地,可以定义 Δ S \Delta{S} ΔS在 y O z yOz yOz面和 z O x zOx zOx面上的投影 ( Δ S ) y z (\Delta{S})_{yz} (ΔS)yz和 Δ S z x \Delta{S}_{zx} ΔSzx
平面区域投影
在讨论曲面面积的计算时,我们介绍了平面区域投影: σ \sigma σ A cos γ A\cos\gamma Acosγ A A A是被投影的平面区域 D D D的面积而 σ \sigma σ是 D D D投影到坐标面上的区域 D 0 D_{0} D0的面积 γ \gamma γ是两平面的夹角 在元素法的应用下,曲面区域投影可以转化为平面区域投影
对坐标的曲面积分
流向曲面一侧的流量
简单情形 设稳定流动(流速与时间 t t t无关)的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由 v ( x , y , z ) v(x,y,z) v(x,y,z) P ( x , y , z ) i P(x,y,z)\bold{i} P(x,y,z)i Q ( x , y , z ) j Q(x,y,z)\bold{j} Q(x,y,z)j R ( x , y , z ) k R(x,y,z)\bold{k} R(x,y,z)k(1) 给出, Σ \Sigma Σ是速度场中的一片有向曲面;函数 P , Q , R P,Q,R P,Q,R都在 Σ \Sigma Σ上连续,求在单位时间内流向 Σ \Sigma Σ指定侧的流体的质量,即流量 Φ \Phi Φ 若流体流过平面上面积为 A A A的一个闭区域,且流体在闭区域上各点处的流速为 v \bold{v} v(常向量),又设 n \bold{n} n为该平面的单位法向量,那么在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为 A A A,斜高位 v \bold{v} v的斜柱体 V V V 令 θ v , n \theta\bold{v,n} θv,n(2),令 P P P A v ⋅ n A\bold{v\cdot{n}} Av⋅n(3) 若 θ π 2 \theta\frac{\pi}{2} θ2π.此时 V V V的体积: A ∣ v ∣ cos θ A|\bold{v}|\cos\theta A∣v∣cosθ A v ⋅ n A\bold{v\cdot{n}} Av⋅n P P P若 θ π 2 \theta\frac{\pi}{2} θ2π,显然流体通过闭区域 A A A流向 n \bold{n} n所指的一侧的流量 Φ \Phi Φ为0, P 0 P0 P0 所以 Φ \Phi Φ P P P0 若 θ π 2 \theta\frac{\pi}{2} θ2π, P 0 P0 P0,这时我们仍然把 P P P称为流体通过闭区域 A A A流向 n n n所指的一侧的流量 这表示流体通过闭区域 A A A流向 − n -\bold{n} −n所指的一侧,且流向 − n -\bold{n} −n所指一侧的流量为 − P -P −P − A v ⋅ n -A\bold{v}\cdot{\bold{n}} −Av⋅n(和流向 n \bold{n} n所指的一侧的流量为 P P P A v ⋅ n A\bold{v\cdot{n}} Av⋅n是同样的意思)换句话说:令 m − n \bold{m}-\bold{n} m−n,则流量 − A v ⋅ n -A\bold{v}\cdot{\bold{n}} −Av⋅n表示为 A v ⋅ m A\bold{v}\cdot{\bold{m}} Av⋅m,因此,流向 m \bold{m} m的一侧的流量为 A v ⋅ m A\bold{v}\cdot{\bold{m}} Av⋅m 因此不论 θ \theta θ取何值,流体通过闭区域 A A A流向 n \bold n n所指的一侧的流量 Φ \Phi Φ均为 P P P
一般情形 现在考虑非平面闭区域的情形,而是一片曲面区域,且流速 v \bold{v} v不是常向量的情形 此时无法直接利用上一情形计算,但是可以利用元素法积分的方式应用 把曲面 Σ \Sigma Σ分成 n n n小块 Δ S i \Delta{S}_i ΔSi,( Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi同时也表示第 i i i个小区块的面积) 在 Σ \Sigma Σ是光滑的和 v \bold{v} v是连续的前提下,只要 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi的直径很小,我们就可以用 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi上任意一点 ( ξ i η i , ζ i ) (\xi_{i}\eta_{i},\zeta_{i}) (ξiηi,ζi)处的流速 v i \bold{v}_{i} vi v i ( ξ i , η i , ζ i ) \bold{v}_{i}(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) vi(ξi,ηi,ζi) P ( ξ i , η i , ζ i ) i Q ( ξ i , η i , ζ i ) j R ( ξ i , η i , ζ i ) k P(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\bold{i}Q(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\bold{j}R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\bold{k} P(ξi,ηi,ζi)iQ(ξi,ηi,ζi)jR(ξi,ηi,ζi)k(4)代替 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi上其他个点处的流速,以该点 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) (ξi,ηi,ζi)处曲面 Σ \Sigma Σ的法向量 n i \bold{n}_{i} ni cos α i i \cos\alpha_{i}\bold{i} cosαii cos β i j \cos\beta_{i}\bold{j} cosβij cos γ i k \cos\gamma_{i}\bold{k} cosγik(5)代替 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi上其他各点处的单位法向量 从而得到通过 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi流向指定侧的流量近似为 v i ⋅ n i Δ S i \bold{v}_{i}\cdot{\bold{n}_{i}}\Delta{S}_{i} vi⋅niΔSi, ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n) 于是,通过 Σ \Sigma Σ流向指定侧的流量 Φ ≈ ∑ i 1 n v i ⋅ n i Δ S i \Phi\approx{\sum_{i1}^{n}\bold{v}_{i}\cdot{\bold{n}_{i}}}\Delta{S_{i}} Φ≈∑i1nvi⋅niΔSi(6)这是初步的近似 考虑到以下近似组(7) cos α i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) y z \cos\alpha_{i}\cdot{\Delta{S_{i}}} \approx{(\Delta{S_{i}})_{yz}} cosαi⋅ΔSi≈(ΔSi)yz; cos β i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) z x \cos\beta_{i}\cdot{\Delta{S_{i}}} \approx{(\Delta{S_{i}})_{zx}} cosβi⋅ΔSi≈(ΔSi)zx; cos γ i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) x y \cos\gamma_{i}\cdot{\Delta{S_{i}}} \approx{(\Delta{S_{i}})_{xy}} cosγi⋅ΔSi≈(ΔSi)xy 将(4,5,7)代入式(6),得: Φ ≈ \Phi\approx Φ≈ ∑ i 1 n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) y z \sum_{i1}^{n} [P(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}){(\Delta{S_{i}})_{yz}} ∑i1n[P(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)yz Q ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) z x Q(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}){(\Delta{S_{i}})_{zx}} Q(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)zx R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y ] R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}){(\Delta{S_{i}})_{xy}}] R(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy](8) 当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0取和式(8)的极限,得到流量 Φ \Phi Φ的精确值
小结
上述问题的数学模型还会再其他问题中遇到,可从其中抽象出对坐标的曲面积分的概念
对坐标的曲面积分
设 Σ \Sigma Σ为光滑的有向曲面,函数 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上有界,把 Σ \Sigma Σ任意分成 n n n块小区面 Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi( Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi同时也表示第 i i i个小区块的面积) Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi在 x O y xOy xOy面上的投影为 ( Δ S i ) x y (\Delta{S}_{i})_{xy} (ΔSi)xy, ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) (ξi,ηi,ζi)是 Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi上任意取定的一点,作乘积 R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{xy} R(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy, ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n)作和式 ∑ i 1 n R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y \sum_{i1}^{n}R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{xy} ∑i1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy(1)若当各小区曲面的直径的最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0,和式(1)的极限总是存在,且与曲面 Σ \Sigma Σ的分发以及点 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) (ξi,ηi,ζi)的取法无关,那么称此极限为函数 R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z)在有向曲面 Σ \Sigma Σ上对坐标 x , y x,y x,y的曲面积分,记为 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy即 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy lim λ → 0 ∑ i 1 n R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n}R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{xy} λ→0lim∑i1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy(2-1)其中 R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z)称为被积函数, Σ \Sigma Σ称为积分曲面
其他定义
类似地可以定义函数 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)在有向曲面 Σ \Sigma Σ上对坐标 y , z y,z y,z的曲面积分 ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬P(x,y,z)dydz lim λ → 0 ∑ i 1 n P ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) y z \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n}P(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{yz} λ→0lim∑i1nP(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)yz(2-2)以及函数 Q ( x , y , z ) Q(x,y,z) Q(x,y,z)在有向曲面 Σ \Sigma Σ上对坐标 z , x z,x z,x的曲面积分 ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬Q(x,y,z)dzdx lim λ → 0 ∑ i 1 n Q ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) z x \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n}Q(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{zx} λ→0lim∑i1nQ(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)zx(2-3)上述(2-1,2-2,2-3)也称为第二类曲面积分
第二类曲面积分的存在性
当 P , Q , R P,Q,R P,Q,R函数在有向光滑曲面 Σ \Sigma Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在讨论第二类曲面积分时,总假设 P , Q , R P,Q,R P,Q,R在 Σ \Sigma Σ上连续
并写和简写 和第二类曲线积分类似的简写方案 ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬P(x,y,z)dydz ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬Q(x,y,z)dzdx ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy可以简写为 ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z Q ( x , y , z ) d z d x R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}xR(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(3) 进一步简写为 ∬ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}z\mathrm{d}xR\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬PdydzQdzdxRdxdy(4)
流量用第二类曲面积分描述
前述流量问题用第二类曲面积分描述: Φ \Phi Φ ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z Q ( x , y , z ) d z d x R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}xR(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy
性质
对坐标的曲面积分具有和对坐标的曲线积分类似的性质可加性: 若 Σ \Sigma Σ是分片光滑的有向曲面,则规定函数在 Σ \Sigma Σ上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和若 Σ \Sigma Σ Σ 1 Σ 2 \Sigma_{1}\Sigma_{2} Σ1Σ2, 则 ∬ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}z\mathrm{d}xR\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬PdydzQdzdxRdxdy ∬ Σ 1 P d y d z Q d z d x R d x d y \iint\limits_{\Sigma_1}P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}z\mathrm{d}xR\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ1∬PdydzQdzdxRdxdy ∬ Σ 2 P d y d z Q d z d x R d x d y \iint\limits_{\Sigma_2}P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}z\mathrm{d}xR\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ2∬PdydzQdzdxRdxdy(5)可以推广到 Σ \Sigma Σ Σ 1 ⋯ Σ n \Sigma_{1}\cdots\Sigma_{n} Σ1⋯Σn的情形 方向性质 设 Σ \Sigma Σ是有向曲面, Σ − \Sigma^{-} Σ−表示与 Σ \Sigma Σ取相反侧的有向曲面,则 ∬ Σ − P d y d z \iint\limits_{\Sigma^{-}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ−∬Pdydz − ∬ Σ P d y d z -\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z −Σ∬Pdydz(6-1)类似的有 ∬ Σ − Q d z d x \iint\limits_{\Sigma^{-}}Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ−∬Qdzdx − ∬ Σ Q d z d x -\iint\limits_{\Sigma}Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x −Σ∬Qdzdx(6-2) ∬ Σ − R d x d y \iint\limits_{\Sigma^{-}}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ−∬Rdxdy − ∬ Σ R d x d y -\iint\limits_{\Sigma}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y −Σ∬Rdxdy(6-3) 即当积分曲面改变为相反侧时,对坐的曲面积分要改变符号
对坐标的曲面积分的计算
设积分曲面 Σ \Sigma Σ是由方程 z z ( x , y ) zz(x,y) zz(x,y)(0)所给出的曲面上侧 Σ \Sigma Σ在 x O y xOy xOy面上的投影区域为 D x y D_{xy} Dxy函数 z z ( x , y ) zz(x,y) zz(x,y)在 D x y D_{xy} Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数 R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上连续 按对坐标的曲面积分定义,有 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy lim λ → 0 ∑ i 1 n R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n} R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{xy} λ→0lim∑i1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy(1)因为 Σ \Sigma Σ取上侧, cos γ 0 \cos\gamma0 cosγ0,所以 ( Δ S i ) x y (\Delta{S}_{i})_{xy} (ΔSi)xy ( Δ σ i ) x y (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} (Δσi)xy(2)又因为 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) (ξi,ηi,ζi)是 Σ \Sigma Σ上一点,所以 ζ i \zeta_{i} ζi z ( ξ i , η i ) z(\xi_{i},\eta_i) z(ξi,ηi)(3),由(2,3)得: ∑ i 1 n R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y \sum_{i1}^{n} R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})(\Delta{S}_{i})_{xy} ∑i1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy ∑ i 1 n R ( ξ i , η i , z ( ξ i , η i ) ) ( Δ σ i ) x y \sum_{i1}^{n} R (\xi_{i},\eta_{i},z(\xi_{i},\eta_i))(\Delta{\sigma}_{i})_{xy} ∑i1nR(ξi,ηi,z(ξi,ηi))(Δσi)xy(4)令各小块曲面的直径的最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0,取上式两端的极限,并分别由曲面积分的定义和二重积分的定义,得 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y \iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬R(x,y,z(x,y))dxdy(5) 这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式公式(5)的曲面积分是取在曲面 Σ \Sigma Σ上侧,若曲面积分取在 Σ \Sigma Σ下侧,此时 cos γ 0 \cos{\gamma}0 cosγ0,则 ( Δ S i ) x y (\Delta{S_{i}})_{xy} (ΔSi)xy − ( Δ σ i ) x y -(\Delta{\sigma}_{i})_{xy} −(Δσi)xy,从而 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy − ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y -\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y −Dxy∬R(x,y,z(x,y))dxdy(5-1)
公式的其他形式 若曲面 Σ \Sigma Σ由 x x ( y , z ) xx(y,z) xx(y,z)给出,则 ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬P(x,y,z)dydz ± ∬ D x y P ( x ( y , z ) , y , z ) d y d z \pm\iint\limits_{D_{xy}}P(x(y,z),y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z ±Dxy∬P(x(y,z),y,z)dydz(6) 符号的确定 若积分曲面 Σ \Sigma Σ是由方程 x x ( y , z ) xx(y,z) xx(y,z)给出的曲面前侧,则 cos α 0 \cos\alpha0 cosα0,取正号否则 Σ \Sigma Σ取后侧,即 cos α 0 \cos\alpha0 cosα0,应取负号 若曲面 Σ \Sigma Σ由 y y ( z , x ) yy(z,x) yy(z,x)给出,则 ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬Q(x,y,z)dzdx ± ∬ D x y Q ( x , y ( z , x ) , z ) d z d x \pm\iint\limits_{D_{xy}}Q(x,y(z,x),z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x ±Dxy∬Q(x,y(z,x),z)dzdx(7)符号确定: 积分曲面 Σ \Sigma Σ是由方程 y y ( z , x ) yy(z,x) yy(z,x)所给出的曲面右侧,即 cos β 0 \cos\beta0 cosβ0,应取正号,反之 Σ \Sigma Σ取左侧, cos β 0 \cos\beta0 cosβ0,应取负号 综上(5,6,7),我们讨论了在3中不同曲面方程和投影下的第二类曲面积分的公式
应用
例如,公式(5),公式表明,计算曲面积分 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy时,只需要将 确定符号:根据积分曲面的方向(侧),以及上数介绍的规则确定结果是否加符号 若方向向上/前/右(这三个方向是沿着坐标轴 ( z , x , y 轴 ) (z,x,y轴) (z,x,y轴)正方向的方向)则为正号(不加符号),否则加负号 其中的变量 z z z换成 Σ \Sigma Σ的函数 z ( x , y ) z(x,y) z(x,y),也就是被积表达式的变换 如果是公式(6或7)(曲面方程分别为 x x ( y , z ) xx(y,z) xx(y,z)或 y y ( z , x ) yy(z,x) yy(z,x),则分别将 x x x替换为 x ( y , z ) x(y,z) x(y,z), y y y替换为 y ( z , x ) y(z,x) y(z,x)) 然后在 Σ \Sigma Σ的投影区域 D x y D_{xy} Dxy上计算二重积分即可 这里建议积分区域最后处理,如果被积函数替换后发现可以提到积分号外,则只需要计算 D x y D_{xy} Dxy的面积,而不需要化为二次积分 分段积分不急于逐项独立计算 有时积分曲面被划分为多个片,这些片的计算式可能有联系,合起来算可能比分开算更加简便
例
计算 I ∬ Σ x 2 d y d z y 2 d z d x z 2 d x d y I\iint\limits_{\Sigma} x^2\mathrm{d}y\mathrm{d}zy^2\mathrm{d}z\mathrm{d}xz^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y IΣ∬x2dydzy2dzdxz2dxdy; 其中 Σ \Sigma Σ是长方体 Ω \Omega Ω的真个表面的外侧 Ω \Omega Ω { ( x , y , z ) ∣ x ∈ [ 0 , a ] , y ∈ [ 0 , b ] , z ∈ [ 0 , c ] } \set{(x,y,z)|x\in[0,a],y\in[0,b],z\in[0,c]} {(x,y,z)∣x∈[0,a],y∈[0,b],z∈[0,c]} 解 分析积分曲面,可以将有向曲面分为6个部分: Σ 1 , ⋯ Σ 6 \Sigma_1,\cdots\Sigma_{6} Σ1,⋯Σ6 Σ 1 : z c \Sigma_{1}:zc Σ1:zc, ( x ∈ [ 0 , a ] , y ∈ [ 0 , b ] ) (x\in[0,a],y\in[0,b]) (x∈[0,a],y∈[0,b])的上侧 Σ 2 : z 0 \Sigma_{2}:z0 Σ2:z0, ( x ∈ [ 0 , a ] , y ∈ [ 0 , b ] ) (x\in[0,a],y\in[0,b]) (x∈[0,a],y∈[0,b])的下侧 Σ 3 : x a \Sigma_{3}:xa Σ3:xa, ( y ∈ [ 0 , b ] , z ∈ [ 0 , c ] ) (y\in[0,b],z\in[0,c]) (y∈[0,b],z∈[0,c])的前侧 Σ 4 : x 0 \Sigma_{4}:x0 Σ4:x0, ( y ∈ [ 0 , b ] , z ∈ [ 0 , b ] ) (y\in[0,b],z\in[0,b]) (y∈[0,b],z∈[0,b])的后侧 Σ 5 : y b \Sigma_{5}:yb Σ5:yb, ( x ∈ [ 0 , a ] , z ∈ [ 0 , c ] ) (x\in[0,a],z\in[0,c]) (x∈[0,a],z∈[0,c])的右侧 Σ 6 : y 0 \Sigma_{6}:y0 Σ6:y0, ( x ∈ [ 0 , a ] , z ∈ [ 0 , c ] ) (x\in[0,a],z\in[0,c]) (x∈[0,a],z∈[0,c])的左侧 对于积分 I I I,采用分项积分的方式 第一项 I 1 I_1 I1:要投影到 x 0 x0 x0面上,可知仅有 Σ 3 , Σ 4 \Sigma_3,\Sigma_4 Σ3,Σ4的投影非0 I 1 I_1 I1 ∬ Σ x 2 d y d z \iint\limits_{\Sigma}x^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬x2dydz ∬ Σ 3 x 2 d y d z \iint\limits_{\Sigma_3}x^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ3∬x2dydz ∬ Σ 4 x 2 d y d z \iint\limits_{\Sigma_4}x^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ4∬x2dydz 利用公式(6-1)得 I 1 I_{1} I1 ∬ D y z a 2 d y d z \iint\limits_{D_{yz}}a^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z Dyz∬a2dydz- ∬ D y z 0 2 d y d z \iint\limits_{D_{yz}}0^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z Dyz∬02dydz a 2 b c a^2bc a2bc 类似地, I 2 I_2 I2 ∬ Σ y 2 d z d x \iint\limits_{\Sigma}y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬y2dzdx b 2 a c b^2ac b2ac; I 3 I_3 I3 ∬ Σ z 2 d x d y \iint\limits_{\Sigma}z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬z2dxdy c 2 a b c^2ab c2ab 所以 I I 1 I 2 I 3 II_1I_2I_3 II1I2I3 ( a b c ) a b c (abc)abc (abc)abc
例
计算曲面积分 I ∬ Σ x y z d x d y I\iint\limits_{\Sigma}xyz\mathrm{d}x\mathrm{d}y IΣ∬xyzdxdy,其中 Σ \Sigma Σ是球面 x 2 y 2 z 2 1 x^2y^2z^21 x2y2z21外侧在 x , y ⩾ 0 x,y\geqslant{0} x,y⩾0的部分 显然, Σ \Sigma Σ是第一和第五卦象的部分是 1 4 \frac{1}{4} 41的球面考虑曲面的方向(侧),检查该曲面可知, Σ \Sigma Σ在 z 0 z0 z0以上的外侧对应于上侧;而 z 0 z0 z0以下的外侧对应于下侧 而下侧部分记为 Σ 1 \Sigma_1 Σ1方程为 z 1 {z_1} z1 − 1 − x 2 − y 2 -\sqrt{1-x^2-y^2} −1−x2−y2 ,此时 z 1 ⩽ 0 z_1\leqslant{0} z1⩽0将上侧部分记为 Σ 2 \Sigma_2 Σ2,方程为 z 2 {z_2} z2 1 − x 2 − y 2 \sqrt{1-x^2-y^2} 1−x2−y2 ,此时 z 2 ⩾ 0 z_2\geqslant{0} z2⩾0 从而可以分区域积分: I I I ∬ Σ 2 x y z d x d y \iint\limits_{\Sigma_2}xyz\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ2∬xyzdxdy ∬ Σ 1 x y z d x d y \iint\limits_{\Sigma_1}xyz\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ1∬xyzdxdy ∬ D x y x y 1 − x 2 − y 2 d x d y \iint\limits_{D_{xy}} xy\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬xy1−x2−y2 dxdy- ∬ D x y x y ( − 1 − x 2 − y 2 ) d x d y \iint\limits_{D_{xy}}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬xy(−1−x2−y2 )dxdy 2 ∬ D x y x y 1 − x 2 − y 2 d x d y 2\iint\limits_{D_{xy}} xy\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2Dxy∬xy1−x2−y2 dxdy 容易求出 D x y D_{xy} Dxy { ( x , y ) ∣ x 2 y 2 ⩽ 1 } \set{(x,y)|x^2y^2\leqslant{1}} {(x,y)∣x2y2⩽1},则上述积分适合用极坐标计算 θ ∈ [ 0 , π 2 ] \theta\in[0,\frac{\pi}{2}] θ∈[0,2π]; r ∈ [ 0 , 1 ] r\in[0,1] r∈[0,1]从而 I I I 2 ∬ D x y r 2 sin θ cos θ 1 − r 2 r d r d θ 2\iint\limits_{D_{xy}} r^2\sin\theta\cos\theta\sqrt{1-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta 2Dxy∬r2sinθcosθ1−r2 rdrdθ ∫ 0 π 2 sin 2 θ d θ ∫ 0 1 r 3 1 − r 2 d ρ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{2\theta}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1}r^3\sqrt{1-r^2}\mathrm{d}\rho ∫02πsin2θdθ∫01r31−r2 dρ 观察可知,两次积分可以独立计算, ∫ 0 π 2 sin 2 θ d θ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{2\theta}\mathrm{d}\theta ∫02πsin2θdθ1利用第2类换元法积分,可以求得 ∫ 0 1 r 3 1 − r 2 d ρ \int_{0}^{1}r^3\sqrt{1-r^2}\mathrm{d}\rho ∫01r31−r2 dρ 2 15 \frac{2}{15} 152 1 ⋅ 2 15 1\cdot{\frac{2}{15}} 1⋅152 2 15 \frac{2}{15} 152 综上 I I I 2 15 \frac{2}{15} 152
