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1.1 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上#xff0c;将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次#xff0c;同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响#xff0c;同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层…1. 模型建立
1.1 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层通常只有1个因素最下层通常为方案或对象层中间可以有一个或几个层次通常为准则或指标层当准则过多时(一般为9个时)应进一步分解出子准则层。 利用层次分析法对大学生毕业后的选择进行排序
1.2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重 并不一定相同。设 x i x_i xi与 y i y_i yi对 z z z的影响之比为 a i j a_{ij} aij,则 x i x_i xi与 y i y_i yi对 z z z的影响之比 a j i 1 / a i j a_{ji}1/a_{ij} aji1/aij。 若矩阵 A ( a i j ) m × n A\left(a_{i j}\right)_{m\times n} A(aij)m×n满足 ( 1 ) a i j 0 , ( 2 ) a j i 1 a i j (1)\ a_{i j}0, \quad (2)\ a_{j i}\frac{1}{a_{i j}} (1) aij0,(2) ajiaij1 则称之为正互反矩阵。 若矩阵A还满足 a i j a j k a i k , ∀ i , j , k 1 , 2 , ⋯ , n a_{i j} a_{j k}a_{i k}, \forall i, j, k1,2, \cdots, n aijajkaik,∀i,j,k1,2,⋯,n 则称之为一致矩阵。 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根 λ max n \lambda_{\max }n λmaxn 且当正互反矩阵A非一致时必有 λ max n \lambda_{\max }n λmaxn。 关于如何确定 a i j a_{ij} aij的值建议引用数字 1-9 及其倒数作为标度。下表列出了 1-9 标度的含义。 现构造准则层的判断矩阵如下 表 2 准则层的判断矩阵 AB1B2B3B4B5B1121/215B21/211/41/22B324123B4121/214B51/51/21/31/41
接着构造方案层的判断矩阵如下 表 3 方案层的判断矩阵 1.3 判断矩阵的一致性检验
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下 1计算一致性指标CI。 C I λ max − n n − 1 C I\frac{\lambda_{\max }-n}{n-1} CIn−1λmax−n 2 查找相应的平均随机一致性指标 RI对于 n 1 , 2 , ⋯ , 9 n1,2, \cdots, 9 n1,2,⋯,9,对应的RI值如下 3 计算一致性比例CR。 C R C I R I C R\frac{C I}{R I} CRRICI 当CR 0.10 时认为判断矩阵的一致性是可以接受的否则应对判断矩阵作适当修正。
1.4 层次总排序及一致性检验 首先确定准则层对于目标层的权向量 ω 0 \omega_{0} ω0由于目标层的数量是一个所以准则层对于目标层的权向量也是一个。先找到准则层的判断矩阵的最大特征值对应的特征向量然后将此特征向量标准化使其中的值分布在0和1之间得到的结果就是准则层对于目标层的权向量然后确定方案层对于准则层的权向量 ω 1 \omega_{1} ω1由于准则层有5个指标所以方案层对于准则层的权向量也是5个使用同样的方法即可确定方案层对于准则层的5个权向量 ω 11 , ω 12 , ω 13 , ω 14 , ω 15 \omega_{11}, \omega_{12}, \omega_{13}, \omega_{14}, \omega_{15} ω11,ω12,ω13,ω14,ω15即 ω 1 [ ω 11 , ω 12 , ω 13 , ω 14 , ω 15 ] \omega_{1}[\omega_{11}, \omega_{12}, \omega_{13}, \omega_{14}, \omega_{15}] ω1[ω11,ω12,ω13,ω14,ω15]最后使用方案层对于准则层的权向量 与准则层对于目标层的权向量 加权平均即可得到方案层4个方案的得分。 对层次总排序也需作一致性检验总排序随机一致性比例为 C R ∑ j 1 m C I ( j ) ω 0 ( j ) ∑ j 1 m R I ( j ) ω 0 ( j ) , j 1 , ⋯ m C R\frac{\sum_{j1}^{m} C I(j) \omega_{0}(j)}{\sum_{j1}^{m} R I(j) \omega_{0}(j)}, j1, \cdots m CR∑j1mRI(j)ω0(j)∑j1mCI(j)ω0(j),j1,⋯m 其中m为准则层的个数。
2. 模型求解
利用Matlab编程求解得到准则层对于目标层的权向量 ω 0 \omega_{0} ω0为
0.23200.10940.37210.21890.0675 方案层对于准则层的权向量 ω 1 \omega_{1} ω1为
w1 4×5
0.4379 0.2437 0.3890 0.4385 0.34520.2437 0.2190 0.3609 0.1096 0.18500.0994 0.4379 0.1323 0.2652 0.09970.2190 0.0994 0.1177 0.1866 0.3701准则层各指标的一致性检验结果为 cr1 1×5
0.0076 0.0076 0.0727 0.0225 0.0038均小于0.1认为判断矩阵的一致性是可以接受的。 层次总排序得分为0.39230.25130.18500.1850总排序一致性检验结果为0.03490.1认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。 Matlab程序如下
clc,clear
fidfopen(ahp.txt,r);
n15;n24;
a[];
for i1:n1 tmpstr2num(fgetl(fid));a[a;tmp]; %读准则层判断矩阵
end
for i1:n1 str1char([b,int2str(i),[];]);str2char([b,int2str(i),[b,int2str(i),;tmp];]);eval(str1);for j1:n2 tmpstr2num(fgetl(fid));eval(str2); %读方案层的判断矩阵endend
ri[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标
[x,y]eig(a) %求特征值
lamdamax(diag(y))
numfind(diag(y)lamda)
w0x(:,num)/sum(x(:,num))
cr0(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1);
for i1:n1 [x,y]eig(eval(char([b,int2str(i)]))); lamdamax(diag(y)); numfind(diag(y)lamda); %最大特征值w1(:,i)x(:,num)/sum(x(:,num))%准则层权值 cr1(i)(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2); %准则层一致性比例
end
cr1, tsw1*w0, crcr1*w0
