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文章目录一、时间序列综述二、时间序列数据以及基本概念三、时间序列分解四、指数平滑模型五、一元时间序列分析的模型六、ARp模型七、MAq模型八、ARMAp, q模型九、模型选择AIC 和 BIC 准则选小准则十、检验模型是否识别完全十一、ARIMAp, d, q模型十二、SARIMA模型十三、时间序列建模思路一、时间序列综述
时间序列是指某种现象的指标按照时间顺序排列而成的数值序列。
本文主要介绍时间序列分析中常用的三种模型季节分解、指数平滑方法以及 ARIMA 模型。
二、时间序列数据以及基本概念
时间序列的数据 时间序列的数据类型主要是对同一对象在不同时间连续观察所得到的数据。例如某个地方 24 小时内每隔一个小时的温度数据二胎政策以来每年的人口数量……时间序列的基本概念 时间序列主要有两个组成要素构成 时间要素 年、季度、月份、周……数值要素 时间要素对应的数值数据…… 时间序列根据时间和数值性质的不同可以分为时期时间序列和时点时间序列。 时期时间序列 顾名思义时期时间序列的数据要素反应的就是在一定时期内的发展水平……例如上文所提到的温度数据就是在每隔一小时后的时间点上测得的数据时点时间序列 同样时点时间序列的数据要素反应的就是在一定时点上的瞬间水平……例如上文所提到的人口数据就是由一年这一时期中人口变化二测得的数据
三、时间序列分解
时间序列的数值变化规律一般有以下四种长期变动趋势、季节变动规律、周期变动规律、不规则变动。一个时间序列往往是以上四类变化形式的叠加。
数值变化规律字母表示意义长期趋势T统计指标在相当长的一段时间内收到长期趋势影响因素的影响表现出的持续上升或者持续下降的趋势季节趋势S由于季节的转变使得指标数值发生周期性变动其周期一般以月、季、周为单位不能以年为单位循环变动C循环变动的周期往往是若干年其在曲线图上表现为波浪式的周期变动不规则变动I由某些随机因素导致的数值变化并且这些因素的作用不可预知且没有规律性
这四种变动与指标数值的关系可能是叠加关系也可能是乘积关系。 叠加模型和成绩模型 如果四种变动之间是相互独立的关系那么可以使用叠加模型YTSCIY T S C IYTSCI如果四种变动之间存在相互影响关系那么可以使用乘积模型YT×S×C×IY T \times S \times C \times IYT×S×C×I 注意 1使用时间序列分解的前提是具有年内的周期性不包括以年份为周期的数据 2在具体的时间序列图中如果随着时间的推移序列的季节波动越来越大此时应该采用乘积模型反之如果时间序列图的波动保持恒定则应该采用叠加模型 下面来看一个例子 进行时间序列分解的步骤主要有以下几步 处理缺失值 ⇒\Rightarrow⇒ 定义时间变量 ⇒\Rightarrow⇒ 做出时序图选择模型 ⇒\Rightarrow⇒ 进行时间序列分解 在这个例子中我们可以做出的时序图如下 可以看出第二季度的销量明显高于其他季度因此数据表现出很强的季节性。同时销量数据的季节波动变化不大因此可以使用加法分解模型。 在 SPSS 中对数据进行季节性分解可得到结果为 从表格中可知第一二季度的季节因子为正第三四季度的季节因子为负说明第一二季度的平均销量要高于第三四季度。并且第二季度的平均销量要高于全年平均水平 20.930 件第四季度的平均销量要低于全年平均水平 19.727 件。 有意思的是采用加法模型时季节因子的和为 0 而采用乘法模型时季节因子的乘积为 1 同时乘法模型的季节因子表示是全年平均销量的倍数。
四、指数平滑模型 简单Simple模型 名称使用条件与之类似的ARIMA模型简单指数平滑法不含趋势和季节成分ARIMA(0, 1, 1)令 xtx_txt 为 ttt 时刻的观测数据StS_tSt 为第 ttt 期的平滑值且令 Stx^t1S_t \hat{x}_{t 1}Stx^t1即第 t1t 1t1 期的预测值且满足x^t1αxt(1−α)xt^\hat{x}_{t 1} \alpha x_t (1 - \alpha)\hat{x_t}x^t1αxt(1−α)xt^因此可以证明x^t1αxtα(1−α)xt−1α(1−α)2xt−2⋯α(1−α)t−1x1(1−α)tl0\hat{x}_{t 1} \alpha x_t \alpha(1 - \alpha)x_{t - 1} \alpha(1 - \alpha)^2x_{t - 2} \cdots \alpha(1 - \alpha)^{t - 1}x_1 (1 - \alpha)^tl_0x^t1αxtα(1−α)xt−1α(1−α)2xt−2⋯α(1−α)t−1x1(1−α)tl0其中 l0x^1l_0 \hat{x}_1l0x^1 视为初始值α\alphaα 为平滑系数 (0≤α≤1)(0 \leq \alpha \leq 1)(0≤α≤1)。 还可以看出越接近当期的数据其权重越大意味着影响也越大反之早期数据对当期影响也就越小。 平滑指数 α\alphaα 一般是需要我们自己决定的。但是SPSS 的专家建模器如果采用简单模型帮助我们建模会自动给出 α\alphaα 的值。 简单Simple模型只能往后预测一期数据原因是公式 x^t1αxt(1−α)xt^\hat{x}_{t 1} \alpha x_t (1 - \alpha)\hat{x_t}x^t1αxt(1−α)xt^ 中使用了本期的准确数据 xtx_txt 后面的数据只是预测出来的而不是准确的。 线性趋势模型lineartrendlinear\ \ trendlinear trend 名称使用条件与之类似的 ARIMA 模型特线性趋势模型线性趋势、不含季节成分ARIMA(0, 2, 2)该方法包含一个预测方程和两个平滑方程{ltαxt(1−α)(lt−1bt−1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)bt−1趋势平滑方程x^thlthbt,h1,2,⋯预测方程\left\{ \begin{aligned} l_t \alpha x_t (1 - \alpha)(l_{t - 1} b_{t - 1}) \text{水平平滑方程} \\ b_t \beta(l_t - l_{t - 1}) (1 - \beta)b_{t - 1} \text{趋势平滑方程} \\ \hat{x}_{t h} l_t hb_t, h 1, 2, \cdots \text{预测方程} \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧ltαxt(1−α)(lt−1bt−1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)bt−1趋势平滑方程x^thlthbt,h1,2,⋯预测方程 ttt当前期 hhh预测超前期数也称之为预测补偿 xtx_txt第 ttt 期的实际观测值 ltl_tlt时刻 ttt 的预估水平 btb_tbt时刻 ttt 的预测趋势 α\alphaα水平的平滑参数 β\betaβ趋势的平滑参数 阻尼趋势模型DampedtrendDamped\ \ trendDamped trend 称使用条件与之类似的 ARIMA 模型尼趋势模型线性趋势逐渐减弱且不含季节成分ARIMA(1, 1, 2){ltαxt(1−α)(lt−1ϕbt−1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)ϕbt−1趋势平滑方程x^thlt(ϕϕ2⋯ϕh)bt预测方程\left\{ \begin{aligned} l_t \alpha x_t (1 - \alpha)(l_{t - 1} \phi b_{t - 1}) \text{水平平滑方程} \\ b_t \beta(l_t - l_{t - 1}) (1 - \beta)\phi b_{t - 1} \text{趋势平滑方程} \\ \hat{x}_{t h} l_t (\phi \phi^2 \cdots \phi^h)b_t \text{预测方程} \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧ltαxt(1−α)(lt−1ϕbt−1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)ϕbt−1趋势平滑方程x^thlt(ϕϕ2⋯ϕh)bt预测方程 α\alphaα水平的平滑参数 β\betaβ趋势的平滑参数 ϕ\phiϕ阻尼参数0ϕ≤10 \phi \leq 10ϕ≤1 如果 ϕ1\phi 1ϕ1则阻尼趋势模型就是霍特线性趋势模型。 简单季节性 简单季节性使用条件与之类似的 ARIMA 模型单季节性含有稳定的季节成分、不含趋势SARIMA(0, 1, 1) × (0, 1, 1)s_ss{ltα(xt−st−m)(1−α)lt−1水平平滑方程stγ(xt−lt−1)(1−γ)st−m季节平滑方程x^thltsth−m(k1),k[h−1m]预测方程\left\{ \begin{aligned} l_t \alpha(x_t - s_{t - m}) (1 - \alpha)l_{t - 1} \text{水平平滑方程} \\ s_t \gamma(x_t - l_{t - 1}) (1 - \gamma)s_{t - m} \text{季节平滑方程} \\ \hat{x}_{t h} l_t s_{t h - m(k 1)}, k [\frac{h - 1}{m}] \text{预测方程} \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ltα(xt−st−m)(1−α)lt−1水平平滑方程stγ(xt−lt−1)(1−γ)st−m季节平滑方程x^thltsth−m(k1),k[mh−1]预测方程 mmm周期长度月度数据取12季度数据取4 α\alphaα水平的平滑参数 γ\gammaγ季节的平滑参数 hhh预测超前期数 x^th\hat{x}_{t h}x^th第 hhh 期的预测值 温特加法模型Winter′sadditiveWinters\ \ additiveWinter′s additive 称使用条件与之类似的 ARIMA 模型特加法模型含有线性趋势和稳定的季节成分SARIMA(0, 1, 0) × (0, 1, 1)s_ss{ltα(xt−st−m)(1−α)(lt−1bt−1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)bt−1stγ(xt−lt−1−bt−1)(1−γ)st−m季节平滑方程x^thlthbtsth−m(k1),k[h−1m]预测方程\left\{ \begin{aligned} l_t \alpha(x_t - s_{t - m}) (1 - \alpha)(l_{t - 1} b_{t - 1}) \text{水平平滑方程} \\ b_t \beta(l_t - l_{t - 1}) (1 - \beta)b_{t - 1} \\ s_t \gamma(x_t - l_{t - 1} - b_{t - 1}) (1 - \gamma)s_{t - m} \text{季节平滑方程} \\ \hat{x}_{t h} l_t hb_t s_{t h - m(k 1)}, k [\frac{h - 1}{m}] \text{预测方程} \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧ltα(xt−st−m)(1−α)(lt−1bt−1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)bt−1stγ(xt−lt−1−bt−1)(1−γ)st−m季节平滑方程x^thlthbtsth−m(k1),k[mh−1]预测方程 mmm周期长度月度数据取12季度数据取4 α\alphaα水平的平滑参数 β\betaβ趋势的平滑参数 γ\gammaγ季节的平滑参数 x^th\hat{x}_{t h}x^th第 hhh 期的预测值 温特乘法模型Winter′smultiplicativeWinters\ \ multiplicativeWinter′s multiplicative 称使用条件与之类似的 ARIMA 模型特乘法模型含有线性趋势和不稳定的集结成分不存在{ltαxtst−m(1−α)(lt−1bt1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)bt−1趋势平滑方程stγxtlt−1bt1(1−γ)st−m季节平滑方程x^th(lthbt)sth−m(k1),k[h−1m]预测方程\left\{ \begin{aligned} l_t \alpha \frac{x_t}{s_{t - m}} (1 - \alpha)(l_{t - 1} b{t_1}) \text{水平平滑方程} \\ b_t \beta(l_t - l_{t - 1}) (1 - \beta)b_{t - 1} \text{趋势平滑方程} \\ s_t \gamma \frac{x_t}{l_{t - 1} b_{t 1}} (1 - \gamma)s_{t - m} \text{季节平滑方程} \\ \hat{x}_{t h} (l_t hb_t)s_{t h - m(k 1)}, k [\frac{h - 1}{m}] \text{预测方程} \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ltαst−mxt(1−α)(lt−1bt1)水平平滑方程btβ(lt−lt−1)(1−β)bt−1趋势平滑方程stγlt−1bt1xt(1−γ)st−m季节平滑方程x^th(lthbt)sth−m(k1),k[mh−1]预测方程 mmm周期长度月度数据取12季度数据取4 α\alphaα水平的平滑参数 β\betaβ趋势的平滑参数 γ\gammaγ季节的平滑参数 x^th\hat{x}_{t h}x^th第 hhh 期的预测值
五、一元时间序列分析的模型 平稳时间序列stationaryseriesstationary\ \ seriesstationary series 若时间序列 {xt}\{x_t\}{xt} 满足下列三个条件 1E(xt)E(xt−s)uE(x_t) E(x_{t - s}) uE(xt)E(xt−s)u均值为固定常数 2Var(xt)Var(xt−s)σ2Var(x_t) Var(x_{t - s}) \sigma^2Var(xt)Var(xt−s)σ2方差存在且为常数 3Cov(xt,xt−s)γsCov(x_t, x_{t-s}) \gamma_sCov(xt,xt−s)γs协方差只和间隔 sss 有关与 ttt 无关 则称 {xt}\{x_t\}{xt} 为协方差平稳又称为弱平稳。 如果对于任意的 t1,t2,⋯,tkt_1, t_2, \cdots, t_kt1,t2,⋯,tk 和 hhh多维随机变量 (xt1,xt2,⋯,xtk)(x_{t_1}, x_{t_2}, \cdots, x_{t_k})(xt1,xt2,⋯,xtk) 和 (xt1h,xt2h,⋯,xtkh)(x_{t_1 h}, x_{t_2 h}, \cdots, x_{t_k} h)(xt1h,xt2h,⋯,xtkh) 的联合分布相同则称 {xt}\{x_t\}{xt} 为严格平稳。 注严格平稳的要求太高因此一般所说的平稳都是弱平稳。 白噪声序列 若时间序列 {xt}\{x_t\}{xt} 满足下列三个条件 1E(xt)E(xt−s)0E(x_t) E(x_{t - s}) 0E(xt)E(xt−s)0均值为固定常数 2Var(xt)Var(xt−s)σ2Var(x_t) Var(x_{t - s}) \sigma^2Var(xt)Var(xt−s)σ2方差存在且为常数 3Cov(xt,xt−s)0(s≠0)Cov(x_t, x_{t-s}) 0(s \neq 0)Cov(xt,xt−s)0(s0)协方差只和间隔 sss 有关与 ttt 无关 则称 {xt}\{x_t\}{xt} 为白噪声序列。显然白噪声序列是平稳时间序列的一个特例。 差分方程 将凑个时间序列变量表示为该变量的滞后项、时间和其他变量的函数这样一个函数方程称为差分方程。例如 ytα0α1yt−1α2yt−2⋯αpyt−pεty_t \alpha_0 \alpha_1y_{t - 1} \alpha_2y_{t - 2} \cdots \alpha_py_{t - p} \varepsilon_tytα0α1yt−1α2yt−2⋯αpyt−pεtε\varepsilonε为白噪声序列 差分方程的齐次部分 只包含该变量自身和它的滞后项的式子。 例如ytα0∑i1pαiyt−iεt∑i1qβεt−iy_t \alpha_0 \sum_{i 1}^{p}\alpha_iy_{t - i} \varepsilon_t \sum_{i 1}^{q}\beta \varepsilon_{t - i}ytα0i1∑pαiyt−iεti1∑qβεt−i 齐次部分为yt∑i1pαyt−iy_t \sum_{i 1}^{p}\alpha y_{t - i}yti1∑pαyt−i差分方程的特征方程 齐次部分可以被转换为特征方程令 ytxty_t x^tytxt 带入齐次方程花间即可。例如齐次部分yt∑i1pαyt−iy_t \sum_{i 1}^{p}\alpha y_{t - i}yti1∑pαyt−i 那么特征方程为xpα1xp−1α2⋯αpx^p \alpha_1x^{p - 1} \alpha_2 \cdots \alpha_pxpα1xp−1α2⋯αp 特征方程是一个 ppp 阶多项式对应可以求出 ppp 个解。 滞后算子 用符号 LLL 表示滞后算子Liytyt−iL^iy_t y_{t - i}Liytyt−i且由如下的性质 1LCCLC CLCCCCC 为常数 2(LiLj)ytyt−iyt−j(L^i L^j)y_t y_{t - i} y_{t - j}(LiLj)ytyt−iyt−j 3LiLjytyt−i−jL^iL^jy_t y_{t - i - j}LiLjytyt−i−j 例如yiα0∑i1pαiyt−iεt∑i1qβiεt−iy_i \alpha_0 \sum_{i 1}^{p}\alpha_iy_{t - i} \varepsilon_t \sum_{i 1}^{q}\beta_i\varepsilon_{t - i}yiα0i1∑pαiyt−iεti1∑qβiεt−i 可以表示为ytα0∑i1pαiLiytεt∑i1qβiLiεty_t \alpha_0 \sum_{i 1}^{p}\alpha_iL^iy_t \varepsilon_t \sum_{i 1}^{q}\beta_iL^i\varepsilon_tytα0i1∑pαiLiytεti1∑qβiLiεt
六、ARp模型
ppp 阶的自回归模型AR§模型 ytα0α1yt−1α2yt−2⋯αpyt−pεty_t \alpha_0 \alpha_1y_{t - 1} \alpha_2y_{t - 2} \cdots \alpha_py_{t - p} \varepsilon_tytα0α1yt−1α2yt−2⋯αpyt−pεtε\varepsilonε 是方差为 σ2\sigma^2σ2 的白噪声序列 自回归将自己的 1 至 ppp 阶滞后项视为自变量来进行回归 注意 讨论的AR§模型一定是平稳的时间序列模型原数据不平稳的话也要先转换为平稳的数据才能进行建模。 AR§模型平稳的条件 将 AR§ 模型的齐次部分转换为特征方程xpα1xp−1α2xp−2⋯αpx^p \alpha_1x_{p - 1} \alpha_2x_{p - 2} \cdots \alpha_pxpα1xp−1α2xp−2⋯αp 特征方程是一个 ppp 阶多项式因此可以求出 ppp 个解可能有实根也可能有虚根 那么模型的平稳可以这样确定 1如果这 ppp 个解的模长均小于1则 {yt}\{y_t\}{yt} 平稳即 AR§ 模型平稳 2如果这 ppp 个解中有 kkk 个解的模场等于1则 {yt}\{y_t\}{yt} 为 kkk 阶单位根过程kkk 阶单位根过程可以经过 kkk 阶差分变为平稳的时间序列 3如果这 ppp 个根至少有一个的模长大于1则 {yt}\{y_t\}{yt} 称为爆炸过程。 下面来看一个例子 AR(3) 模型yt0.10.2yt−10.3yt−20.5yt−3εty_t 0.1 0.2y_{t - 1} 0.3y_{t - 2} 0.5y_{t - 3} \varepsilon_tyt0.10.2yt−10.3yt−20.5yt−3εt 齐次部分的特征方程为x30.2x20.3x0.5x^3 0.2x^2 0.3x 0.5x30.2x20.3x0.5 解得x1−4−34i10,x2−434i10,x31x_1 \frac{-4 - \sqrt{34}i}{10}, x_2 \frac{-4 \sqrt{34}i}{10}, x_3 1x110−4−34i,x210−434i,x31 求模长∣x1∣∣x2∣16100341000.70711|x_1| |x_2| \sqrt{\frac{16}{100} \frac{34}{100}} 0.7071 1∣x1∣∣x2∣10016100340.70711 所以 yty_tyt 为一阶单位根过程 此时可以进行一阶差分变形yt−yt−10.1−0.8(yt−1−yt−2)−0.5(yt−2−yt−3)εty_t - y_{t - 1} 0.1 - 0.8(y_{t - 1} - y_{t - 2}) - 0.5(y_{t - 2} - y_{t - 3}) \varepsilon_tyt−yt−10.1−0.8(yt−1−yt−2)−0.5(yt−2−yt−3)εt ⇒Δyt0.1−0.8Δyt−1−0.5Δyt−2εt\Rightarrow \Delta y_t 0.1 - 0.8\Delta y_{t - 1} - 0.5 \Delta y_{t - 2} \varepsilon_t⇒Δyt0.1−0.8Δyt−1−0.5Δyt−2εt转换成了一个 AR(2) 过程 此时齐次方程对应的特征方程x2−0.8x−0.5x^2 -0.8x - 0.5x2−0.8x−0.5 解得 x1−4−34i10,x2−434i10x_1 \frac{-4 - \sqrt{34}i}{10}, x_2 \frac{-4 \sqrt{34}i}{10}x110−4−34i,x210−434i 对于 AR(p) 模型而言ytα0α1yt−1α2yt−2⋯αpyt−pεty_t \alpha_0 \alpha_1y_{t - 1} \alpha_2y_{t - 2} \cdots \alpha_py_{t - p} \varepsilon_tytα0α1yt−1α2yt−2⋯αpyt−pεt 1{yt}\{y_t\}{yt} 为单位根的充要条件α1α2⋯αp1\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_p 1α1α2⋯αp1 2{yt}\{y_t\}{yt} 平稳的充分条件∣α1∣∣α2∣⋯∣αp∣1|\alpha_1| |\alpha_2| \cdots |\alpha_p| 1∣α1∣∣α2∣⋯∣αp∣1 3{yt}\{y_t\}{yt} 平稳的必要条件α1α2⋯αp1\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_p 1α1α2⋯αp1
七、MAq模型
qqq 阶移动平均模型MA(q)模型ytεtβ1εt−1β2εt−2⋯βqεt−qy_t \varepsilon_t \beta_1\varepsilon_{t - 1} \beta_2\varepsilon_{t - 2} \cdots \beta_q\varepsilon_{t - q}ytεtβ1εt−1β2εt−2⋯βqεt−q MA模型和AR模型之间的关系 MA(1) 模型ytεt−β1εt−1y_t \varepsilon_t - \beta_1\varepsilon_{t - 1}ytεt−β1εt−1 将上面的式子使用滞后算子的写法为yt(1−β1L)εt⇒11−β1Lytεty_t (1 - \beta_1L)\varepsilon_t \Rightarrow \frac{1}{1 - \beta_1L}y_t \varepsilon_tyt(1−β1L)εt⇒1−β1L1ytεt又因为 (1−β1L)(1β1Lβ12L2⋯)(1−β1Lβ12L2⋯)−(β1Lβ12L2⋯)1(1 - \beta_1L)(1 \beta_1L \beta_1^2L^2 \cdots) (1 - \beta_1L \beta_1^2L^2 \cdots) - (\beta_1L \beta_1^2L^2 \cdots) 1(1−β1L)(1β1Lβ12L2⋯)(1−β1Lβ12L2⋯)−(β1Lβ12L2⋯)1所以 11−β1L1β1Lβ12L2⋯(条件∣β1∣1)\frac{1}{1 - \beta_1L} 1 \beta_1L \beta_1^2L^2 \cdots(\text{条件}|\beta_1| 1)1−β1L11β1Lβ12L2⋯(条件∣β1∣1) 则 11−β1Lytεt⇒(1β1Lβ12L2⋯)ytεt\frac{1}{1 - \beta_1L}y_t \varepsilon_t \Rightarrow (1 \beta_1L \beta_1^2L^2 \cdots)y_t \varepsilon_t1−β1L1ytεt⇒(1β1Lβ12L2⋯)ytεt 所以 ytβ1yt−1β12yt−2⋯εt⇒ytεt−β1yt−1−β12yt−2⋯y_t \beta_1y_{t - 1} \beta_1^2y_{t - 2} \cdots \varepsilon_t \Rightarrow y_t \varepsilon_t - \beta_1y_{t - 1} - \beta_1^2y_{t - 2} \cdotsytβ1yt−1β12yt−2⋯εt⇒ytεt−β1yt−1−β12yt−2⋯ 从上面的例子可以知道可以将 1 阶移动平均模型转换为无穷阶的自回归模型。之所以需要 MA(q) 模型是因为在模型分析中我们需要参数尽可能地少因此需要 MA(q) 模型来帮助我们简化。 MA(q) 模型的平稳性 只要 qqq 是常数那么 MA(q) 模型一定是平稳的。
八、ARMAp, q模型
自回归移动平均模型就是设法将自回归过程 AR 和移动平均过程 MA 结合起来共同模拟由时间序列的随机过程。
ARMA(p, q) 模型 ytα0∑i1pαiyt−iεt∑i1qβiεt−iy_t \alpha_0 \sum_{i 1}^{p}\alpha_iy_{t - i} \varepsilon_t \sum_{i 1}^{q}\beta_i\varepsilon_{t - i}ytα0i1∑pαiyt−iεti1∑qβiεt−iARMA(p, q) 模型的平稳性 由上述讨论可以知道对于 MA(q) 模型而言只要 qqq 大于0那么 MA(q) 模型平稳。因此ARMA(p, q) 模型的平稳性只与 AR§ 部分有关。如何确定 p, q 的值 简单的确定 p, q 的值我们可以作出自相关系数(ACF)和偏自相关系数(PACF)图来确定。 模型ACFPACFAR(p)逐渐衰减即拖尾p 阶后截尾MA(q)q 阶后截尾逐渐衰减即拖尾ARMA(p, q)逐渐衰减即拖尾逐渐衰减即拖尾 例如 由图一可得序列 x 的自相关系数在第 1, 2 阶显著异于 0 超过 2 阶后均和 0 没有显著的差异而其偏自相关系数在第 1, 2, 7, 9, 16 阶显著异于0且表现出拖尾现象。因此可以得出序列 x 可以由 MA(2) 生成。
九、模型选择AIC 和 BIC 准则选小准则 赤池信息准则AIC2(模型中参数的个数)−2ln(模型的极大似然函数值)AIC 2(\text{模型中参数的个数}) - 2\ln (\text{模型的极大似然函数值})AIC2(模型中参数的个数)−2ln(模型的极大似然函数值) 贝叶斯信息准则BICln(T)(模型中参数的个数)−2ln模型的极大似然函数值BIC \ln(T)(\text{模型中参数的个数}) - 2\ln \text{模型的极大似然函数值}BICln(T)(模型中参数的个数)−2ln模型的极大似然函数值 AIC 和 BIC 是喧嚣原则我们要选择使得 AIC 或者 BIC 最小的模型。由于 BIC 对于模型复杂程度的惩罚系数更大因此通常根据 BIC 来确定模型
十、检验模型是否识别完全
估计了时间序列模型后我们需要对残差进行白噪声检验如果残差是白噪声则说明模型能够完全识别时间序列数据的规律。 H0ρ1ρ2⋯ρs0,H1:ρi(i1,2,⋯,s)中至少有一个不为0H_0 \rho_1 \rho_2 \cdots \rho_s 0, H_1: \rho_i(i 1, 2, \cdots, s)中至少有一个不为 0H0ρ1ρ2⋯ρs0,H1:ρi(i1,2,⋯,s)中至少有一个不为0 在 H0H_0H0 成立的条件下统计量 QT(T2)∑i1srk2T−kχs−n2Q T(T 2)\sum_{i 1}^{s}\frac{r_k^2}{T - k}~\chi_{s - n}^2QT(T2)∑i1sT−krk2 χs−n2 软件可以计算出 ppp 值ppp 值小于 0.05 则可以拒绝原假设此时模型没有识别完全需要进行修正。 1TTT 表示样本个数 2nnn 表示模型中的位置参数 3sss 根据样本量的大小一般可以取 81624 等SPSS取18
十一、ARIMAp, d, q模型
对于可能是 ddd 阶单位根过程的时间序列我们需要先对数据进行差分处理将其转换为平稳的时间序列后再进行建模。
ARIMA(p, d, q) 模型 yt′α0∑i1pαiyt−i′εt∑i1qβiεt−iy_t \alpha_0 \sum_{i 1}^{p}\alpha_iy_{t - i} \varepsilon_t \sum_{i 1}^{q}\beta_i\varepsilon_{t - i}yt′α0i1∑pαiyt−i′εti1∑qβiεt−i 且 yt′Δdyt(1−L)dyty_t \Delta^dy_t (1 - L)^dy_tyt′Δdyt(1−L)dyt 所以(1−∑i1pαiLi)(1−L)dytα0(1∑i1qβiLi)εt(1 - \sum_{i 1}^{p}\alpha_iL^i)(1 - L)^dy_t \alpha_0 (1 \sum_{i 1}^{q}\beta_iL^i)\varepsilon_t(1−i1∑pαiLi)(1−L)dytα0(1i1∑qβiLi)εt
十二、SARIMA模型
季节性 ARIMA 模型是通过在 ARIMA 模型中包含额外的季节性项而生成的其形式为SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)mSARIMA(p, d, q)\times(P, D, Q)_mSARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)mm 表示周期数(1−∑i1pϕiLi)(1−∑i1PΦiLmi)(1−L)d(1−Lm)Dytα0(1∑i1qθiLi)(1∑i1QΘiLmi)εt(1 - \sum_{i 1}^{p}\phi_iL^i)(1 - \sum_{i 1}^{P}\Phi_iL^{mi})(1 - L)^d(1 - L^m)^Dy_t \alpha_0 (1 \sum_{i 1}^{q}\theta_iL^i)(1 \sum_{i 1}^{Q}\Theta_iL^{mi})\varepsilon_t(1−i1∑pϕiLi)(1−i1∑PΦiLmi)(1−L)d(1−Lm)Dytα0(1i1∑qθiLi)(1i1∑QΘiLmi)εt
十三、时间序列建模思路
处理缺失值生成时间变量和时间序列图数据是否为季度数据或者月份数据至少两个完整的周期判断是否存在季节性波动根据时间序列判断数据是否为平稳序列使用 SPSS 进行建模如果结果是ARIMA(p, 0, q)模型可以结合 ACF 和 PACF 进行分析如果结果是ARIMA(p, 1, q)模型可以先进行 1 阶差分后使用 ACF 和 PACF进行分析如果结果与季节性相关可以考虑时间序列分析。 注意预测需要结合背景不要硬套模型哦~~~
如果有什么错误还请斧正hhh
