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本文定义的是右手直角坐标系#xff0c; x − y − z x-y-z x−y−z轴分别为北-天-东。 从 A A A坐标系到 B B B坐标系是分别绕 y − z − x y-z-x y−z−x轴#xff0c;即天-东-北旋转 ψ − θ − γ \psi-\theta-\gamm… 飞行器坐标转换 坐标系定义方向余弦矩阵 坐标系定义
本文定义的是右手直角坐标系 x − y − z x-y-z x−y−z轴分别为北-天-东。 从 A A A坐标系到 B B B坐标系是分别绕 y − z − x y-z-x y−z−x轴即天-东-北旋转 ψ − θ − γ \psi-\theta-\gamma ψ−θ−γ。如果 A A A是惯性系 B B B是机体系则这三个角度分别为偏航角、俯仰角、横滚角。
图1 惯性系到机体系 方向余弦矩阵
设图1所示惯性系的三个轴上的单位向量分别为 I ⃗ [ 1 , 0 , 0 ] T 、 J ⃗ [ 0 , 1 , 0 ] T 、 K ⃗ [ 0 , 0 , 1 ] T \vec{I} [1,0,0]^{T}、\vec{J} [0,1,0]^{T}、\vec{K} [0,0,1]^{T} I [1,0,0]T、J [0,1,0]T、K [0,0,1]T机体系的三个轴上的单位向量分别为 i ⃗ 、 j ⃗ 、 k ⃗ \vec{i} 、\vec{j} 、\vec{k} i 、j 、k 。 将 i ⃗ \vec{i} i 在惯性系下表示为 i ⃗ g [ i x g , i y g , i z g ] T \vec{i}^{g} [i_{x}^{g},i_{y}^{g},i_{z}^{g}]^{T} i g[ixg,iyg,izg]T 其中的 i x g i_{x}^{g} ixg就是向量 i ⃗ \vec{i} i 在向量 I ⃗ \vec{I} I 上的投影长度可表示为 I ⃗ \vec{I} I 点乘 i ⃗ \vec{i} i 。 i x g c o s ( I ⃗ , i ⃗ ) ∣ I ⃗ ∣ ∣ i ⃗ ∣ c o s ( I ⃗ , i ⃗ ) I ⃗ ⋅ i ⃗ i_{x}^{g} cos(\vec{I},\vec{i}) |\vec{I}||\vec{i}|cos(\vec{I},\vec{i}) \vec{I}\cdot\vec{i} ixgcos(I ,i )∣I ∣∣i ∣cos(I ,i )I ⋅i 同理可以得出 i ⃗ g [ I ⃗ ⋅ i ⃗ , J ⃗ ⋅ i ⃗ , K ⃗ ⋅ i ⃗ ] T \vec{i}^{g} [\vec{I}\cdot\vec{i},\vec{J}\cdot\vec{i},\vec{K}\cdot\vec{i}]^{T} i g[I ⋅i ,J ⋅i ,K ⋅i ]T 可见 i ⃗ \vec{i} i 在惯性系下的坐标就是向量 i ⃗ \vec{i} i 点乘惯性系的三个轴的基准向量。 同理可以推导出 j ⃗ 、 k ⃗ \vec{j}、\vec{k} j 、k 在惯性系下的坐标因为 i ⃗ 、 j ⃗ 、 k ⃗ \vec{i}、\vec{j}、\vec{k} i 、j 、k 和 I ⃗ 、 J ⃗ 、 K ⃗ \vec{I}、\vec{J}、\vec{K} I 、J 、K 都是单位向量所以方向余弦矩阵可表示如下 [ i ⃗ g , j ⃗ g , k ⃗ g ] [ I ⃗ ⋅ i ⃗ I ⃗ ⋅ j ⃗ I ⃗ ⋅ k ⃗ J ⃗ ⋅ i ⃗ J ⃗ ⋅ j ⃗ J ⃗ ⋅ k ⃗ K ⃗ ⋅ i ⃗ K ⃗ ⋅ j ⃗ K ⃗ ⋅ k ⃗ ] [ cos ( I ⃗ , i ⃗ ) c o s ( I ⃗ , j ⃗ ) c o s ( I ⃗ , k ⃗ ) cos ( J ⃗ , i ⃗ ) c o s ( J ⃗ , j ⃗ ) c o s ( J ⃗ , k ⃗ ) cos ( K ⃗ , i ⃗ ) c o s ( K ⃗ , j ⃗ ) c o s ( K ⃗ , k ⃗ ) ] [\vec{i}^{g},\vec{j}^{g},\vec{k}^{g} ] \begin{bmatrix} \vec{I}\cdot\vec{i} \vec{I}\cdot\vec{j} \vec{I}\cdot\vec{k} \\ \vec{J}\cdot\vec{i} \vec{J}\cdot\vec{j} \vec{J}\cdot\vec{k} \\ \vec{K}\cdot\vec{i} \vec{K}\cdot\vec{j} \vec{K}\cdot\vec{k} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\vec{I},\vec{i}) cos(\vec{I},\vec{j}) cos(\vec{I},\vec{k}) \\ \cos(\vec{J},\vec{i}) cos(\vec{J},\vec{j}) cos(\vec{J},\vec{k}) \\ \cos(\vec{K},\vec{i}) cos(\vec{K},\vec{j}) cos(\vec{K},\vec{k}) \\ \end{bmatrix} [i g,j g,k g] I ⋅i J ⋅i K ⋅i I ⋅j J ⋅j K ⋅j I ⋅k J ⋅k K ⋅k cos(I ,i )cos(J ,i )cos(K ,i )cos(I ,j )cos(J ,j )cos(K ,j )cos(I ,k )cos(J ,k )cos(K ,k ) 所以方向余弦矩阵的第一列就是机体系的 i ⃗ \vec{i} i 向量 x x x轴在惯性系下的坐标同理 y y y轴和 z z z轴就是第二列和第三列。
第一行呢就是惯性系的的 I ⃗ \vec{I} I 向量 x x x轴在机体坐标系下的坐标同理 y y y轴和 z z z轴就是第二行和第三行。
通过这种方式我们可以轻松找出某一条轴的姿态坐标非常方便。
因此我们可以理解为旋转矩阵和方向余弦矩阵是等价的二者从不同的角度出发得出了相同的姿态表示方法。
