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1 树概念及结构
1.1 树的概念
1.3 树的存储
2 二叉树的概念及结构
2.1 概念
2.2 特殊的二叉树
2.3 二叉树的性质
2.4 二叉树的存储结构 1 树概念及结构
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构#xff0c;它是由n#xff08;n0#xff09;个有限结点组…目录
1 树概念及结构
1.1 树的概念
1.3 树的存储
2 二叉树的概念及结构
2.1 概念
2.2 特殊的二叉树
2.3 二叉树的性质
2.4 二叉树的存储结构 1 树概念及结构
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。树有以下三个比较显著的特征
有一个特殊的结点称为根结点根节点没有前驱结点除根节点外其余结点被分成M(M0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm其中每一个集合Ti(1 i m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继树是递归定义的 注意 树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构 1.2 树的相关概念 节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度 如上图A的为6 叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点 如上图B、C、H、I...等节点为叶节点 非终端节点或分支节点度不为0的节点 如上图D、E、F、G...等节点为分支节点 双亲节点或父节点若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点 如上图A是B的父节点 孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点 如上图B是A的孩子节点 兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 如上图B、C是兄弟节点 树的度一棵树中最大的节点的度称为树的度 如上图树的度为6 节点的层次从根开始定义起根为第1层根的子节点为第2层以此类推 树的高度或深度树中节点的最大层次 如上图树的高度为4 堂兄弟节点双亲在同一层的节点互为堂兄弟如上图H、I互为兄弟节点 节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点如上图A是所有节点的祖先 子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是A的子孙 森林由mm0棵互不相交的树的集合称为森林 1.3 树的存储
树结构相对线性表逻辑欢喜复杂很多既需要保存值域也要保存结点和结点之间的关系。所以不能以存储线性表的逻辑去看待树的存储。
实际中树有很多种表示方式如双亲表示法孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。 下图是一种最为直白的表示方式即对于每一个节点结构内定义多个孩子指针指向子节点。下列的每个指针也可以用一个指针数组来维护。但是由于孩子节点的数目是浮动变化的这样做其实会造成很多资源的浪费。 如果明确了树的度那么确实可以使用这种方法但是由于每个节点的度并不一定一致会造成很多资源的浪费。 可以使用顺序表代替静态数组来解决上述问题但即使使用了顺序表树的整个结构仍然过于繁琐。并不便于执行相关的操作。 应用比较广泛的是左孩子右兄弟表示法即每个结点结构内控制指针只有两个。一个指针永远指向其每个孩子中最左边的孩子树形逻辑结构中最左边的孩子而另一个指针指向它右边第一个兄弟结点。 typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
}; 2 二叉树的概念及结构
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合:
或者为空由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 从上图可以很明显的看出 二叉树不存在度大于2的结点二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树 2.2 特殊的二叉树 满二叉树一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说如果一个二叉树的层数为K且结点总数是 2^k-1则它就是满二叉树。 完全二叉树完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 2.3 二叉树的性质
二叉树有如下一些重要的性质 若规定根节点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点. 若规定根节点的层数为1则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0n21若规定根节点的层数为1具有n个结点的满二叉树的深度hlog2(n1)对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号则对 于序号为i的结点有 若i0i位置节点的双亲序号(i-1)/2i0i为根节点编号无双亲节点 若2i1n左孩子序号2i1若2i1n则无左孩子 若2i2n右孩子序号2i2若2i2n则无右孩子 2.4 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构一种链式结构。 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储 一般使用数组 只适合表示完全二叉树 因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。 链式存储 二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。 链式结构又分为二叉链和三叉链。三叉链比较复杂在高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
