作业3 主题资源网站建设,中国河北网站,网站设计流程大致分为几个阶段,哈尔滨百度推广代理1.不定积分(原函数)存在性定理、定积分存在性定理、变限积分存在性定理
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笔记来源 1.10个命题搞懂可积和原函数存在 2.考研变限积分概念超详细超通俗讲解变限积分和原函数关系 声明本文截图主要来自bili心一学长、知乎煜神学长仅用于学习参考 1.1 不定积分(原函数)存在性定理 无论开区间还是闭区间只要 f ( x ) f(x) f(x)连续则一定有原函数原函数一定可导 f ( x ) f(x) f(x)有第一类间断点可去间断点、跳跃间断点时一定没有原函数 f ( x ) f(x) f(x)有第二类间断点中的无穷间断点时一定没有原函数 f ( x ) f(x) f(x)有第二类间断点中的振荡间断点时可能有原函数 f ( x ) f(x) f(x)有跳跃间断点时一定没有原函数 证明 假设 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 ∈ I x_0\in I x0∈I上有跳跃间断点且 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上有原函数即对 ∀ x ∈ I \forall x\in I ∀x∈I 都有 F ′ ( x ) f ( x ) F(x)f(x) F′(x)f(x)又由于 F ( x ) F(x) F(x)在 I I I上可导所以 F ( x ) F(x) F(x)在 I I I上连续 lim x → x 0 f ( x ) A 1 lim x → x 0 − f ( x ) A 2 由于 x 0 为跳跃间断点故 A 1 ≠ A 2 F ′ ( x 0 ) lim x → x 0 F ( x ) − F ( x 0 ) x − x 0 lim x → x 0 F ′ ( x ) lim x → x 0 f ( x ) A 1 洛必达 F − ′ ( x 0 ) lim x → x 0 − F ( x ) − F ( x 0 ) x − x 0 lim x → x 0 − F ′ ( x ) lim x → x 0 − f ( x ) A 2 洛必达 由于 A 1 ≠ A 2 故 F ′ ( x 0 ) 不存在与假设可导矛盾故 f ( x ) 在 I 不存在原函数 \lim\limits_{x\rightarrow x_0^}f(x)A_1\\ ~\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)A_2\\ ~\\ \text{由于}x_0\text{为跳跃间断点故}A_1\neq A_2\\ ~\\ F_(x_0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0^}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\lim\limits_{x\rightarrow x_0^}F(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0^}f(x)A_1\text{洛必达}\\ ~\\ F_-(x_0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}F(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)A_2\text{洛必达}\\ ~\\ \text{由于}A_1\neq A_2\text{故}F(x_0)\text{不存在与假设可导矛盾故}f(x)\text{在}I\text{不存在原函数} x→x0limf(x)A1 x→x0−limf(x)A2 由于x0为跳跃间断点故A1A2 F′(x0)x→x0limx−x0F(x)−F(x0)x→x0limF′(x)x→x0limf(x)A1洛必达 F−′(x0)x→x0−limx−x0F(x)−F(x0)x→x0−limF′(x)x→x0−limf(x)A2洛必达 由于A1A2故F′(x0)不存在与假设可导矛盾故f(x)在I不存在原函数
1.2 定积分存在性定理 f ( x ) f(x) f(x)必须在闭区间上连续
定积分存在就等价于面积存在 即便原函数 f ( x ) f(x) f(x)存在第一类间断点可去间断点、跳跃间断点其定积分仍存在也就是其面积仍存在。因为某一条线与 x x x轴围成的面积为0所以第一类间断点并不影响总体面积大小。
1.3 变限积分存在性定理
将 ∫ a b f ( t ) d t \int_{a}^{b}f(t)dt ∫abf(t)dt 中的 b b b 用 x x x 代替且 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]上变动则 ∫ a x f ( t ) d t \int_{a}^{x}f(t)dt ∫axf(t)dt变成了一个函数以 x x x为自变量将其称为变限积分记作 F ( x ) ∫ a x f ( t ) d t x ∈ [ a , b ] F(x)\int_{a}^{x}f(t)dt\ x\in[a,b] F(x)∫axf(t)dt x∈[a,b] f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 ′ [ a , b ] [a,b] ′[a,b]上可积则 F ( x ) ∫ a x f ( t ) d t F(x)\int_{a}^{x}f(t)dt F(x)∫axf(t)dt在闭区间 ′ [ a , b ] [a,b] ′[a,b]上连续 什么情况下函数 f ( x ) f(x) f(x)可积 情况一函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续 情况二函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界且有有限个间断点 定积分的存在性与变限积分的存在性是一回事都要求 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积即有界且有有限个间断点 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续则 F ( x ) ∫ a x f ( t ) d t F(x)\int_{a}^{x}f(t)dt F(x)∫axf(t)dt在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可导且 F ′ ( x ) f ( x ) F(x)f(x) F′(x)f(x) 证明 F ′ ( x ) lim Δ x → 0 F ( x Δ x ) − F ( x ) Δ x lim Δ x → 0 ∫ a x Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t Δ x F ′ ( x ) lim Δ x → 0 ∫ x x Δ x f ( t ) d t Δ x lim Δ x → 0 f ( ϵ ) Δ x Δ x f ( x ) 【 ϵ ∈ ( x , x Δ x ) 】积分中值定理 F(x)\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{F(x\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\int^{x\Delta x}_af(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt}{\Delta x}\\ ~\\ F(x)\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\int^{x\Delta x}_xf(t)dt}{\Delta x}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(\epsilon)\Delta x}{\Delta x}f(x)\ 【\epsilon\in(x,x\Delta x)】\text{积分中值定理} F′(x)Δx→0limΔxF(xΔx)−F(x)Δx→0limΔx∫axΔxf(t)dt−∫axf(t)dt F′(x)Δx→0limΔx∫xxΔxf(t)dtΔx→0limΔxf(ϵ)Δxf(x) 【ϵ∈(x,xΔx)】积分中值定理
1.4 小结
