福田建网站多少钱,建怎么网站比较赚钱,wordpress进行分类目录搜索,dede网站地图怎么做本文记录计算矩阵奇异值分解SVD的原理与流程。
注1#xff1a;限于研究水平#xff0c;分析难免不当#xff0c;欢迎批评指正。 零、预修
0.1 矩阵的奇异值
设列满秩矩阵#xff0c;若的特征值为#xff0c;则称为矩阵的奇异值。
0.2 SVD(分解)定理
设#xff0c;则…本文记录计算矩阵奇异值分解SVD的原理与流程。
注1限于研究水平分析难免不当欢迎批评指正。 零、预修
0.1 矩阵的奇异值
设列满秩矩阵若的特征值为则称为矩阵的奇异值。
0.2 SVD(分解)定理
设则存在正交矩阵与使得 其中即为矩阵的奇异值。
考虑下述两种情形
情形1 其中
由此可以看出若通过计算矩阵的奇异值便可矩阵的特征值而矩阵即为矩阵的特征向量。
情形2
若则也就是说是的特征值也是的特征向量。同时考虑到实对称矩阵的秩为n所以的特征值/特征向量也是的特征值/特征向量。
0.3 Householder变换
设且定义为Householder变换。
对于非零向量可构造使得 其中。
设对于 根据上述结论可知可以构造使得
具体来说可按照下述流程进行操作 由此通过Householder变换可以将某一列向量的部分连续元素约化为0。
0.4 Givens变换
设是n维Euclid空间中的一组标准正交基则在平面中存在旋转变换矩阵满足 其中 由此可以看出Givens变换可以将向量的某个元素约化为0。
一、大型矩阵特征值/特征向量的求解思路
大型矩阵特征值/特征向量求解一般按照以下流程进行
将矩阵约化为特征值/特征向量容易求解的矩阵求解矩阵的特征值/特征向量将矩阵的特征值/特征向量转化成矩阵约化为特征值/特征向量
二、隐式QR计算矩阵奇异值分解 参考书籍
Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
Ford W .Numerical Linear Algebra with Applications using MATLAB. 2014.
徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010. 参考文献
Golub G. and Kahan W.. Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, 1965, 2(2) : 205-224.
Demmel J., Kahan W.Accurate Singular Values of Bidiagonal Matrices. SIAM Journal on Scientific and StatisticalComputing, 1990, 11(5):873-912.
P. A. BusingerG. H. Golub. Singular value decomposition of a complex matrix. communications of the acm, 1969.