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1.拟合椭圆 二次曲线的一般方程为#xff1a; A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0 Ax^2BxyCy^2DxEyF0 Ax2BxyCy2DxEyF0 令#xff1a; Δ B 2 − 4 A C Δ B^2-4AC ΔB2−4AC 那么#xff0c;当 Δ 0 Δ 0 Δ0… 目录 1.拟合椭圆2.示例代码 爬虫网站自重。
1.拟合椭圆 二次曲线的一般方程为 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0 Ax^2BxyCy^2DxEyF0 Ax2BxyCy2DxEyF0 令 Δ B 2 − 4 A C Δ B^2-4AC ΔB2−4AC 那么当 Δ 0 Δ 0 Δ0时方程表示双曲线当 Δ 0 Δ 0 Δ0时方程表示抛物线当 Δ 0 Δ 0 Δ0时方程表示椭圆。 即对于椭圆的一般方程 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0 Ax^2BxyCy^2DxEyF0 Ax2BxyCy2DxEyF0 需要有约束条件 Δ B 2 − 4 A C 0 Δ B^2-4AC0 ΔB2−4AC0 称二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为点 ( x , y ) (x,y) (x,y)到椭圆的代数距离 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的表达式为 f ( x , y ) A x 2 B x y C y 2 D x E y F f(x,y)Ax^2BxyCy^2DxEyF f(x,y)Ax2BxyCy2DxEyF 如果令向量 a ⃗ \vec{a} a 为 a ⃗ [ A B C D E F ] T \vec{a}[ABCDEF]^T a [ABCDEF]T 令向量 x ⃗ \vec{x} x 为 x ⃗ [ x 2 x y y 2 x y 1 ] \vec{x}[x^2xyy^2xy1] x [x2xyy2xy1] 那么椭圆的一般方程就可以改写为 a ⃗ ⋅ x ⃗ 0 \vec{a}\cdot\vec{x}0 a ⋅x 0 即代数距离为 a ⃗ ⋅ x ⃗ \vec{a}\cdot\vec{x} a ⋅x 。设有 N N N个数据点 ( x i y i ) i 1 2 3 … N (x_iy_i)i123…N (xiyi)i123…N那么如果要求最佳拟合的椭圆便需要求 ∑ i 1 N ( a ⃗ ⋅ X i ⃗ ) 2 \sum_{i1}^N(\vec{a}\cdot\vec{X_i})^2 ∑i1N(a ⋅Xi )2的最小值。这可以运用最小二乘法求解但所得到的结果是圆锥曲线而不是一定椭圆。 所以如果要获得椭圆解就需要加入约束条件 Δ B 2 − 4 A C 0 Δ B^2-4AC0 ΔB2−4AC0 一般地在一个合适的尺度下上述形式为不等式的约束条件可以转化为形式为等式的约束条件即有 B 2 − 4 A C − 1 B^2-4AC-1 B2−4AC−1 那么如果定义一个 N × 6 N×6 N×6的矩阵 D D D D [ x 1 2 x 1 y 1 y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 x 2 y 2 y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 x 3 y 3 y 3 2 x 3 y 3 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x n 2 x n y n y n 2 x n y n 1 ] D\left[ \begin{matrix} x_1^2 x_1y_1 y_1^2 x_1y_11 \\ x_2^2 x_2y_2 y_2^2 x_2y_21 \\ x_3^2 x_3y_3 y_3^2 x_3y_31 \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \\ x_n^2 x_ny_n y_n^2 x_ny_n1 \\ \end{matrix} \right] D x12x22x32⋮xn2x1y1x2y2x3y3⋮xnyny12y22y32⋮yn2x1x2x3⋮xny1y2y3⋮yn111⋮1 定义一个 6 × 6 6×6 6×6的矩阵 C C C C [ 0 0 2 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] C\left[ \begin{matrix} 0 0 2 0 0 0\\ 0 -1 0 0 0 0 \\ 2 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \\ \end{matrix} \right] C 0020000−10000200000000000000000000000 那么约束条件就可以写为 a ˉ T C a ˉ 1 \bar{a}^TC\bar{a}1 aˉTCaˉ1 在此条件下求下式的最小值 ∣ ∣ D a ˉ ∣ ∣ 2 a ˉ T D T D a ˉ ||D\bar{a}||^2\bar{a}^TD^TD\bar{a} ∣∣Daˉ∣∣2aˉTDTDaˉ 构造拉格朗日函数为 L ( D , λ ) a ˉ T D T a ˉ − λ ( a ˉ T C a ˉ − 1 ) L(D,\lambda)\bar{a}^TD^T\bar{a}-\lambda(\bar{a}^TC\bar{a}-1) L(D,λ)aˉTDTaˉ−λ(aˉTCaˉ−1) 为求极值可令偏导数为0 δ L ( D , λ ) δ a ˉ D T D a ˉ − λ C a ˉ 0 \frac{\delta L(D,\lambda)}{\delta \bar{a}}D^TD\bar{a}-\lambda C\bar{a}0 δaˉδL(D,λ)DTDaˉ−λCaˉ0 于是 D T D a ˉ λ C a ˉ D^TD\bar{a}\lambda C\bar{a} DTDaˉλCaˉ 如果令 S D T D SD^TD SDTD 那么等式就可以化为 S a ⃗ λ C a ⃗ S\vec{a}\lambda C\vec{a} Sa λCa 如果 S S S可逆并且令 X S − 1 C XS^{-1}C XS−1C那么可以将其转化为求取矩阵的特征值的形式 X a ⃗ 1 λ a ⃗ X\vec{a}\frac{1}{\lambda}\vec{a} Xa λ1a 可以知道上面的矩阵 X X X为6 阶方阵其特征多项式为6 阶多项式。 事实上可以证明问题的结果对应着 X X X的特征值的绝对值最大的特征向量。 在实际操作中是可以采用求极限的算法进行求解的。 如果矩阵 X X X有 n n n个不同的特征值 λ 1 λ 2 λ 3 … λ n λ_1λ_2λ_3…λ_n λ1λ2λ3…λn其对应的特征向量分别为 a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , a ⃗ 3 , … , a ⃗ n \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,…,\vec{a}_n a 1,a 2,a 3,…,a n 可以知道这些特征向量线性无关于是 n n n维向量 x ⃗ \vec{x} x 可以表示为 x ⃗ k 1 a ⃗ 1 k 2 a ⃗ 2 k 3 a ⃗ 3 . . . k n a ⃗ n \vec{x}k_1\vec{a}_1k_2\vec{a}_2k_3\vec{a}_3...k_n\vec{a}_n x k1a 1k2a 2k3a 3...kna n 那么可以得到 X m x ⃗ k 1 m a ⃗ 1 k 2 m a ⃗ 2 k 3 m a ⃗ 3 . . . k n m a ⃗ n X^m\vec{x}k_1^m\vec{a}_1k_2^m\vec{a}_2k_3^m\vec{a}_3...k_n^m\vec{a}_n Xmx k1ma 1k2ma 2k3ma 3...knma n 令 k k k为 k 1 , k 2 , k 3 … k n k_1,k_2,k_3…k_n k1,k2,k3…kn 中的绝对值最大的值其对应的特征向量为 a ⃗ \vec{a} a 即 k m a x ( ∣ k 1 ∣ ∣ k 2 ∣ ∣ k 3 ∣ … ∣ k n ∣ ) kmax({|k_1||k_2||k_3|…|k_n|}) kmax(∣k1∣∣k2∣∣k3∣…∣kn∣) 那么当 m → ∞ m → ∞ m→∞时有 X m m ⃗ → k m a ⃗ X^m\vec{m}→k^m\vec{a} Xmm →kma 。所得的 a ⃗ \vec{a} a 即为所求的椭圆的参数所组成的向量。
2.示例代码
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