网站开发w亿玛酷1专注,东台建设网站,小程序设计要多少钱,小程序推广赚佣金平台文章目录 一、问题描述二、推导步骤代数法几何法 三、MATLAB代码 一、问题描述 如图#xff0c;已知三个球面的球心坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , P 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2),P_3(x_3,y_3,z_3) P1(x1,… 文章目录 一、问题描述二、推导步骤代数法几何法 三、MATLAB代码 一、问题描述 如图已知三个球面的球心坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , P 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2),P_3(x_3,y_3,z_3) P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)。球半径分别为 r 1 , r 2 , r 3 r_1,r_2,r_3 r1,r2,r3求三个球面的交点 A A A和 B B B的坐标。 三个球面方程可以联立得到非线性方程组 { ( x − x 1 ) 2 ( y − y 1 ) 2 ( z − z 1 ) 2 r 1 2 ( 1.1 ) ( x − x 2 ) 2 ( y − y 2 ) 2 ( z − z 2 ) 2 r 2 2 ( 1.2 ) ( x − x 3 ) 2 ( y − y 3 ) 2 ( z − z 3 ) 2 r 3 2 ( 1.3 ) (1) \begin{cases} (x-x_1)^2(y-y_1)^2(z-z_1)^2r_1^2 (1.1) \\ (x-x_2)^2(y-y_2)^2(z-z_2)^2r_2^2 (1.2) \\ (x-x_3)^2(y-y_3)^2(z-z_3)^2r_3^2 (1.3) \\ \tag 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧(x−x1)2(y−y1)2(z−z1)2r12(x−x2)2(y−y2)2(z−z2)2r22(x−x3)2(y−y3)2(z−z3)2r32(1.1)(1.2)(1.3)(1) 三球面交点的求解问题一种很自然的想法是采用迭代法求解以上非线性方程组。然而非线性方程组的迭代求解方法存在以上问题迭代初值选择不当可能会导致迭代不收敛并且迭代初值不容易确定计算量较大通过迭代的方法一次只能迭代计算一个解。 读者可能会想到这样的方法对于方程组(1)中的三个式子两两作差刚好可以消去非线性方程组中的项 x 2 , y 2 , z 2 x^2,y^2,z^2 x2,y2,z2得到三元一次方程组将非线性方程组的求解问题转化为线性方程组的求解问题。线性方程组的求解问题存在唯一的全局最优解且求解算法简单真是一个完美的解决方法但是细想一下发现不对劲第一个球与第二个球相交为一个空间圆弧空间圆弧与第三个球相交则(一般来说)有两个交点。那么问题出在哪里呢这是由于在对方程组(1)中的三个式子两两做差的过程中关于待求变量 x , y , z x,y,z x,y,z的平方项均被消去约束条件变弱了。这个例子提醒了我算法推导过程中切忌想当然 另外一种读者可能会想到的方法是将式(1)的非线性方程组转化为无约束非线性优化模型 m i n [ ( x − x 1 ) 2 ( y − y 1 ) 2 ( z − z 1 ) 2 − r 1 2 ] 2 [ ( x − x 2 ) 2 ( y − y 2 ) 2 ( z − z 2 ) 2 − r 2 2 ] 2 [ ( x − x 3 ) 2 ( y − y 3 ) 2 ( z − z 3 ) 2 − r 3 2 ] 2 (2) min [(x-x_1)^2(y-y_1)^2(z-z_1)^2-r_1^2]^2 \\ [(x-x_2)^2(y-y_2)^2(z-z_2)^2-r_2^2]^2 \\ [(x-x_3)^2(y-y_3)^2(z-z_3)^2-r_3^2]^2 \tag 2 min[(x−x1)2(y−y1)2(z−z1)2−r12]2[(x−x2)2(y−y2)2(z−z2)2−r22]2[(x−x3)2(y−y3)2(z−z3)2−r32]2(2) 求解无约束非线性优化模型与求解非线性方程组存在一样的问题。 那么有没有求三个球面交点的高效、有效、简洁的解法呢本博文分别从代数法和几何法推导三个球面交点的高效解法。
二、推导步骤
代数法 式(1.1)与式(1.3)相减式(1.2)与式(1.3)相减整理可得 { 2 ( x 3 − x 1 ) x 2 ( y 3 − y 1 ) y 2 ( z 3 − z 1 ) z r 1 2 − r 3 2 − x 1 2 x 3 2 − y 1 2 y 3 2 − z 1 2 z 3 2 2 ( x 3 − x 2 ) x 2 ( y 3 − y 2 ) y 2 ( z 3 − z 2 ) z r 2 2 − r 3 2 − x 2 2 x 3 2 − y 2 2 y 3 2 − z 2 2 z 3 2 (3) \begin{cases} 2(x_3-x_1)x2(y_3-y_1)y2(z_3-z_1)zr_1^2 - r_3^2 - x_1^2 x_3^2 - y_1^2 y_3^2 - z_1^2 z_3^2 \\ 2(x_3-x_2)x2(y_3-y_2)y2(z_3-z_2)zr_2^2 - r_3^2 - x_2^2 x_3^2 - y_2^2 y_3^2 - z_2^2 z_3^2 \\ \tag 3 \end{cases} {2(x3−x1)x2(y3−y1)y2(z3−z1)zr12−r32−x12x32−y12y32−z12z322(x3−x2)x2(y3−y2)y2(z3−z2)zr22−r32−x22x32−y22y32−z22z32(3) 作变量代换令 { a 11 2 ( x 3 − x 1 ) a 12 2 ( y 3 − y 1 ) a 13 2 ( z 3 − z 1 ) b 1 r 1 2 − r 3 2 − x 1 2 x 3 2 − y 1 2 y 3 2 − z 1 2 z 3 2 a 21 2 ( x 3 − x 2 ) a 22 2 ( y 3 − y 2 ) a 23 2 ( z 3 − z 2 ) b 2 r 2 2 − r 3 2 − x 2 2 x 3 2 − y 2 2 y 3 2 − z 2 2 z 3 2 (4) \begin{cases} a_{11}2(x_3-x_1) \\ a_{12}2(y_3-y_1) \\ a_{13}2(z_3-z_1) \\ b_1r_1^2 - r_3^2 - x_1^2 x_3^2 - y_1^2 y_3^2 - z_1^2 z_3^2\\ a_{21}2(x_3-x_2) \\ a_{22}2(y_3-y_2) \\ a_{23}2(z_3-z_2) \\ b_2r_2^2 - r_3^2 - x_2^2 x_3^2 - y_2^2 y_3^2 - z_2^2 z_3^2\\ \tag 4 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a112(x3−x1)a122(y3−y1)a132(z3−z1)b1r12−r32−x12x32−y12y32−z12z32a212(x3−x2)a222(y3−y2)a232(z3−z2)b2r22−r32−x22x32−y22y32−z22z32(4) 式(3)写成 { a 11 x a 12 y a 13 z b 1 a 21 x a 22 y a 23 z b 2 (5) \begin{cases} a_{11}xa_{12}ya_{13}zb_1 \\ a_{21}xa_{22}ya_{23}zb_2 \\ \tag 5 \end{cases} {a11xa12ya13zb1a21xa22ya23zb2(5) 将式(5)看成关于未知数x和y的二元一次方程组解得 { x [ ( a 22 b 1 − a 12 b 2 ) ( a 12 a 23 − a 13 a 22 ) z ] / ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) y [ ( a 11 b 2 − a 21 b 1 ) ( a 13 a 21 − a 11 a 23 ) z ] / ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) (6) \begin{cases} x[(a_{22}b_1-a_{12}b_2) (a_{12}a_{23}- a_{13}a_{22})z]/(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \\ y[(a_{11}b_2 - a_{21}b_1) (a_{13}a_{21}- a_{11}a_{23})z]/(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \\ \tag 6 \end{cases} {x[(a22b1−a12b2)(a12a23−a13a22)z]/(a11a22−a12a21)y[(a11b2−a21b1)(a13a21−a11a23)z]/(a11a22−a12a21)(6) 作变量代换令 { p 1 ( a 12 a 23 − a 13 a 22 ) / ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) q 1 ( a 22 b 1 − a 12 b 2 ) / ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) p 2 ( a 13 a 21 − a 11 a 23 ) / ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) q 2 ( a 11 b 2 − a 21 b 1 ) / ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) (7) \begin{cases} p_1(a_{12}a_{23}- a_{13}a_{22})/(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \\ q_1(a_{22}b_1-a_{12}b_2)/(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \\ p_2(a_{13}a_{21}- a_{11}a_{23})/(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \\ q_2(a_{11}b_2 - a_{21}b_1) /(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \\ \tag 7 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧p1(a12a23−a13a22)/(a11a22−a12a21)q1(a22b1−a12b2)/(a11a22−a12a21)p2(a13a21−a11a23)/(a11a22−a12a21)q2(a11b2−a21b1)/(a11a22−a12a21)(7) 式(6)写成 { x p 1 z q 1 y p 2 z q 2 (8) \begin{cases} xp_1zq_1 \\ yp_2zq_2 \\ \tag 8 \end{cases} {xp1zq1yp2zq2(8) 将式(8)代入式(1.3)展开并化简得到关于z的一元二次方程 a z 2 b z c 0 (9) az^2bzc0 \tag 9 az2bzc0(9) 其中 { a p 1 2 p 2 2 1 b 2 ( p 1 q 1 − z 3 p 2 q 2 − p 1 x 3 − p 2 y 3 ) c q 1 2 − 2 q 1 x 3 q 2 2 − 2 q 2 y 3 − r 3 2 x 3 2 y 3 2 z 3 2 (10) \begin{cases} ap_1^2 p_2^2 1 \\ b2(p_1q_1 - z_3 p_2q_2 - p_1x_3 - p_2y_3) \\ cq_1^2 - 2q_1x_3 q_2^2 - 2q_2y_3 - r_3^2 x_3^2 y_3^2 z_3^2 \\ \tag {10} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ap12p221b2(p1q1−z3p2q2−p1x3−p2y3)cq12−2q1x3q22−2q2y3−r32x32y32z32(10) 求解式(9)的一元二次方程得到z再将z代入式(8)得到x和y至此求三个球面交点的代数解法推导完成。
几何法 参考Andrew Wagner的python程序自己推导三个球面交点的几何解法推导过程如下 如上图 A A A为三个球面的一个交点四面体 A P 1 P 2 P 3 AP_1P_2P_3 AP1P2P3的棱长均已知。 ∣ ∣ A P 1 ⃗ ∣ ∣ r 1 ||\vec{AP_1}||r_1 ∣∣AP1 ∣∣r1 ∣ ∣ A P 2 ⃗ ∣ ∣ r 2 ||\vec{AP_2}||r_2 ∣∣AP2 ∣∣r2 ∣ ∣ A P 3 ⃗ ∣ ∣ r 3 ||\vec{AP_3}||r_3 ∣∣AP3 ∣∣r3 ∣ ∣ P 1 P 2 ⃗ ∣ ∣ ||\vec{P_1P_2}|| ∣∣P1P2 ∣∣、 ∣ ∣ P 2 P 3 ⃗ ∣ ∣ ||\vec{P_2P_3}|| ∣∣P2P3 ∣∣和 ∣ ∣ P 1 P 3 ⃗ ∣ ∣ ||\vec{P_1P_3}|| ∣∣P1P3 ∣∣为球心的距离。 以 P 1 P_1 P1为原点向量 P 1 P 2 ⃗ \vec{P_1P_2} P1P2 为x方向垂直于面 P 1 P 2 P 3 P_1P_2P_3 P1P2P3向上的法向量为z方向y方向根据右手法则确定建立局部坐标系 { e x − e y − e z } \{e_x-e_y-e_z\} {ex−ey−ez}。 过点 A A A作线段 A C AC AC垂直于面 P 1 P 2 P 3 P_1P_2P_3 P1P2P3交于 C C C过点 C C C作 C D CD CD垂直于 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2交于点 D D D过点 P 3 P_3 P3作 P 3 E P_3E P3E垂直于 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2交于点 E E E连结 A D , C P 1 , C P 3 , C E , P 3 E AD,CP_1,CP_3,CE,P_3E AD,CP1,CP3,CE,P3E。 令 ∣ ∣ P 1 D ⃗ ∣ ∣ x , ∣ ∣ D C ⃗ ∣ ∣ y , ∣ ∣ C A ⃗ ∣ ∣ z ||\vec{P_1D}||x, ||\vec{DC}||y, ||\vec{CA}||z ∣∣P1D ∣∣x,∣∣DC ∣∣y,∣∣CA ∣∣z则点 A A A的坐标可以写成 A P 1 x e x ⃗ y e y ⃗ z e z ⃗ (11) A P_1 x \vec{e_x}y \vec{e_y}z \vec{e_z} \tag {11} AP1xex yey zez (11) 计算单位方向向量 e x ⃗ , e y ⃗ , e z ⃗ \vec{e_x}, \vec{e_y},\vec{e_z} ex ,ey ,ez 及步长 x , y , z x,y,z x,y,z则三球面的交点 A A A便可计算。 计算 e x ⃗ \vec{e_x} ex : 令 ∣ ∣ P 1 P 2 ⃗ ∣ ∣ d || \vec{P_1P_2} ||d ∣∣P1P2 ∣∣d e x ⃗ P 1 P 2 ⃗ / ∣ ∣ P 1 P 2 ⃗ ∣ ∣ P 1 P 2 ⃗ / d (12) \vec{e_x} \vec{P_1P_2} / || \vec{P_1P_2} || \vec{P_1P_2} / d \tag {12} ex P1P2 /∣∣P1P2 ∣∣P1P2 /d(12) 计算 e y ⃗ \vec{e_y} ey : 令 ∣ ∣ P 1 E ⃗ ∣ ∣ i || \vec{P_1E} ||i ∣∣P1E ∣∣i容易得到 e y ⃗ E P 3 ⃗ / ∣ ∣ E P 3 ⃗ ∣ ∣ (13) \vec{e_y} \vec{EP_3} / || \vec{EP_3} || \tag {13} ey EP3 /∣∣EP3 ∣∣(13) E P 3 ⃗ P 1 P 3 ⃗ − P 1 E ⃗ P 1 P 3 ⃗ − ∣ ∣ P 1 E ⃗ ∣ ∣ e x ⃗ P 1 P 3 ⃗ − i e x ⃗ (14) \vec{EP_3} \vec{P_1P_3}-\vec{P_1E}\vec{P_1P_3}-||\vec{P_1E}|| \vec{e_x} \vec{P_1P_3}-i\vec{e_x} \tag {14} EP3 P1P3 −P1E P1P3 −∣∣P1E ∣∣ex P1P3 −iex (14) i i i为 P 1 P 3 ⃗ \vec{P_1P_3} P1P3 在 e x ⃗ \vec{e_x} ex 的投影故有 i e x ⃗ ⋅ P 1 P 3 ⃗ (15) i \vec{e_x} \cdot \vec{P_1P_3} \tag {15} iex ⋅P1P3 (15) 计算 e z ⃗ \vec{e_z} ez : e z ⃗ e x ⃗ × e y ⃗ (16) \vec{e_z} \vec{e_x} \times \vec{e_y} \tag {16} ez ex ×ey (16) 计算 x x x: 在三角形 A P 1 P 2 AP_1P_2 AP1P2中根据余弦定理 c o s ∠ A P 1 P 2 ( r 1 2 d 2 − r 2 2 ) / ( 2 r 1 d ) (17) cos{\angle AP_1P_2}(r_1^2d^2-r_2^2)/(2r_1d) \tag {17} cos∠AP1P2(r12d2−r22)/(2r1d)(17) 由于线段 A C AC AC垂直于面 P 1 P 2 P 3 P_1P_2P_3 P1P2P3线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2在面 P 1 P 2 P 3 P_1P_2P_3 P1P2P3内因而线段 A C AC AC垂直线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2。由于线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2垂直于线段 C D CD CD因而线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2垂直于面 A C D ACD ACD。由于线段 A D AD AD在面 A C D ACD ACD内因而线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2垂直于线段 A D AD AD。在直角三角形 A D P 1 ADP_1 ADP1中易得 x ∣ ∣ P 1 D ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ A P 1 ⃗ ∣ ∣ c o s ∠ A P 1 P 2 ( r 1 2 d 2 − r 2 2 ) / ( 2 d ) (18) x||\vec{P_1D}||||\vec{AP_1}||cos{\angle AP_1P_2}(r_1^2d^2-r_2^2)/(2d) \tag {18} x∣∣P1D ∣∣∣∣AP1 ∣∣cos∠AP1P2(r12d2−r22)/(2d)(18) 计算 y y y: 令 ∣ ∣ P 2 P 3 ⃗ ∣ ∣ j ||\vec{P_2P_3}||j ∣∣P2P3 ∣∣j j j j为 P 1 P 3 ⃗ \vec{P_1P_3} P1P3 在 e y ⃗ \vec{e_y} ey 的投影故有 j e y ⃗ ⋅ P 1 P 3 ⃗ (19) j\vec{e_y} \cdot \vec{P_1P_3} \tag {19} jey ⋅P1P3 (19) 在三角形 C E P 3 CEP_3 CEP3中由余弦定理可得 c o s ∠ D C E c o s ∠ C E P 3 ( ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ 2 j 2 − ∣ ∣ C P 3 ⃗ ∣ ∣ 2 ) / ( 2 j ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ ) (20) cos{\angle DCE}cos{\angle CEP_3}(||\vec{CE}||^2j^2-||\vec{CP_3}||^2)/(2j||\vec{CE}||) \tag {20} cos∠DCEcos∠CEP3(∣∣CE ∣∣2j2−∣∣CP3 ∣∣2)/(2j∣∣CE ∣∣)(20) 根据勾股定理 { ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A E ⃗ ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ A C ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ C P 3 ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A P 3 ⃗ ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ A C ⃗ ∣ ∣ 2 (21) \begin{cases} ||\vec{CE}||^2||\vec{AE}||^2-||\vec{AC}||^2 \\ ||\vec{CP_3}||^2||\vec{AP_3}||^2-||\vec{AC}||^2 \\ \tag {21} \end{cases} {∣∣CE ∣∣2∣∣AE ∣∣2−∣∣AC ∣∣2∣∣CP3 ∣∣2∣∣AP3 ∣∣2−∣∣AC ∣∣2(21) 将式(21)代入式(20)得 c o s ∠ D C E c o s ∠ C E P 3 ( ∣ ∣ A E ⃗ ∣ ∣ 2 j 2 − r 3 2 ) / ( 2 j ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ ) [ ( ∣ ∣ A D ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ D E ⃗ ∣ ∣ 2 ) j 2 − r 3 2 ] / ( 2 j ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ ) [ r 1 2 − x 2 ( i − x ) 2 j 2 − r 3 2 ] / ( 2 j ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ ) ( r 1 2 − r 3 2 − 2 i x i 2 j 2 ) / ( 2 j ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ ) (22) cos{\angle DCE}cos{\angle CEP_3}(||\vec{AE}||^2j^2-r_3^2)/(2j||\vec{CE}||) \\ [(||\vec{AD}||^2||\vec{DE}||^2)j^2-r_3^2]/(2j||\vec{CE}||) \\ [r_1^2-x^2(i-x)^2j^2-r_3^2]/(2j||\vec{CE}||) \\ (r_1^2-r_3^2-2ixi^2j^2)/(2j||\vec{CE}||) \tag {22} cos∠DCEcos∠CEP3(∣∣AE ∣∣2j2−r32)/(2j∣∣CE ∣∣)[(∣∣AD ∣∣2∣∣DE ∣∣2)j2−r32]/(2j∣∣CE ∣∣)[r12−x2(i−x)2j2−r32]/(2j∣∣CE ∣∣)(r12−r32−2ixi2j2)/(2j∣∣CE ∣∣)(22) 在直角三角形 C D E CDE CDE中 y ∣ ∣ D C ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ C E ⃗ ∣ ∣ c o s ∠ D C E ( r 1 2 − r 3 2 − 2 i x i 2 j 2 ) / ( 2 j ) (23) y||\vec{DC}||||\vec{CE}||cos{\angle DCE}(r_1^2-r_3^2-2ixi^2j^2)/(2j) \tag {23} y∣∣DC ∣∣∣∣CE ∣∣cos∠DCE(r12−r32−2ixi2j2)/(2j)(23) 计算 z z z: z ∣ ∣ C A ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ A P 1 ⃗ ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ C P 1 ⃗ ∣ ∣ 2 r 1 2 − ( x 2 y 2 ) r 1 2 − x 2 − y 2 (24) z||\vec{CA}||\sqrt{||\vec{AP_1}||^2-||\vec{CP_1}||^2}\sqrt{r_1^2-(x^2y^2)}\sqrt{r_1^2-x^2-y^2} \tag {24} z∣∣CA ∣∣∣∣AP1 ∣∣2−∣∣CP1 ∣∣2 r12−(x2y2) r12−x2−y2 (24) 至此三球面交点的几何解法推导完成。
三、MATLAB代码
function [A, B, sta] calc_intersection_points_of_three_spheres2(P1, P2, P3, r1, r2, r3)
sta 0;
A [];
B [];x1 P1(1);
y1 P1(2);
z1 P1(3);x2 P2(1);
y2 P2(2);
z2 P2(3);x3 P3(1);
y3 P3(2);
z3 P3(3);a11 2 * (x3 - x1);
a12 2 * (y3 - y1);
a13 2 * (z3 - z1);
b1 (r1 r3) * (r1 - r3) (x3 x1) * (x3 - x1) (y3 y1) * (y3 - y1) (z3 z1) * (z3 - z1);a21 2 * (x3 - x2);
a22 2 * (y3 - y2);
a23 2 * (z3 - z2);
b2 (r2 r3) * (r2 - r3) (x3 x2) * (x3 - x2) (y3 y2) * (y3 - y2) (z3 z2) * (z3 - z2);temp a11 * a22 - a12 * a21;
if abs(temp) 1.0e-10sta 1;return;
endp1 (a12 * a23 - a13 * a22) / temp;
q1 (a22 * b1 - a12 * b2) / temp;
p2 (a13 * a21 - a11 * a23) / temp;
q2 (a11 * b2 - a21 * b1) / temp;a p1^2 p2^2 1;
b 2 * (p1 * q1 - z3 p2 * q2 - p1 * x3 - p2 * y3);
c q1^2 - 2 * q1 * x3 q2^2 - 2 * q2 * y3 - r3^2 x3^2 y3^2 z3^2;delta b^2 - 4 * a * c;
if delta 0sta 1;return;
endz [(-b sqrt(delta)) / (2 * a); (-b - sqrt(delta)) / (2 * a)];
x p1 * z q1;
y p2 * z q2;
A [x(1), y(1), z(1)];
B [x(2), y(2), z(2)];endfunction [A, B, sta] calc_intersection_points_of_three_spheres(P1, P2, P3, r1, r2, r3)
sta 0;
A [];
B [];%计算e_x
vectorP1P2 P2 - P1;
d norm(vectorP1P2);
if abs(d) 1.0e-10sta 1;return;
end
e_x vectorP1P2 / d;%计算e_y
vectorP1P3 P3 - P1;
i dot(e_x, vectorP1P3);
vectorEP3 vectorP1P3 - i * e_x;
if norm(vectorEP3) 1.0e-10sta 1;return;
end
e_y vectorEP3 / norm(vectorEP3);%计算e_z
e_z cross(e_x, e_y);%计算x
x (r1*r1 d*d - r2*r2) / (2*d);%计算y
j dot(e_y, vectorP1P3);
if abs(j) 1.0e-10sta 1;return;
end
y (r1*r1 - r3*r3 -2*i*x i*i j*j) / (2*j);%计算z
temp r1*r1 - x*x - y*y;
if temp 0.0sta 1;return;
end
z sqrt(temp);%计算交点坐标
A P1 x*e_x y*e_y z*e_z;
B P1 x*e_x y*e_y - z*e_z;endclc
clear
close allfigure(color, w)
[xs,ys,zs] sphere(50);
h surf(xs 0,ys 0.5,zs 1);
set(h, FaceAlpha, 0.2, LineWidth, 0.1)hold on
h surf(xs 0.5,ys 0,zs 1);
set(h, FaceAlpha, 0.2, LineWidth, 0.1)h surf(xs 1,ys 1,zs 0);
set(h, FaceAlpha, 0.2, LineWidth, 0.1)axis equal tight
shading interp
axis offP1 [0 0.5 1];
P2 [0.5 0 1];
P3 [1 1 0];
r1 1;
r2 1;
r3 1;[p_12_a, p_12_b, sta] calc_intersection_points_of_three_spheres(P1, P2, P3, r1, r2, r3)
[p_12_A, p_12_B, sta] calc_intersection_points_of_three_spheres2(P1, P2, P3, r1, r2, r3)plot3([P1(1), P2(1), P3(1), P1(1)], [P1(2), P2(2), P3(2), P1(2)], [P1(3), P2(3), P3(3), P1(3)], -o, linewidth, 1)
plot3(p_12_a(1), p_12_a(2), p_12_a(3), , linewidth, 2)
plot3(p_12_b(1), p_12_b(2), p_12_b(3), , linewidth, 2)
text(P1(1)-0.1, P1(2)0.1, P1(3), P_1)
text(P2(1), P2(2)-0.1, P2(3), P_2)
text(P3(1), P3(2)-0.1, P3(3), P_3)
text(p_12_a(1), p_12_a(2), p_12_a(3)0.2, A)
text(p_12_b(1), p_12_b(2)-0.2, p_12_b(3), B)view(0,49)
