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一.邻接矩阵
1.无向图编辑
2.有向图
补充#xff1a;网#xff08;有权图#xff09;的邻接矩阵表示法
二.邻接表
1.无向图
2.有向图
三.邻接矩阵与邻接表的关系 一.邻接矩阵
1.无向图
#xff08;1#xff09;对角线上是每一个顶点与自身之间的关系网有权图的邻接矩阵表示法
二.邻接表
1.无向图
2.有向图
三.邻接矩阵与邻接表的关系 一.邻接矩阵
1.无向图
1对角线上是每一个顶点与自身之间的关系没有到自身的边所以对角线上为0
2无向图的邻接矩阵是对称的
两个顶点之间如果有边的话那么两个顶点互为邻接关系值为1
3顶点i的度第i行列中1的个数
注完全图的邻接矩阵对角元素为0其余为1
2.有向图 1在有向图的邻接矩阵中
第i行含义以结点为尾的弧即出度边
顶点的出度第i行元素之和
第i列含义以结点为头的弧即入度边
顶点的入度第i列元素之和
顶点的度第i行元素之和第i列元素之和
2有向图的邻接矩阵可能是不对称的
补充网有权图的邻接矩阵表示法 邻接矩阵存储
#define MaxInt 32767
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef char VerTexType; //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType; //假设边的权值类型为整型typedef struct{VerTex vex[MVNum]; //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前点数和边数
}AMGraph; 以无向网为例
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1int i;for(i0;iG.vexnum;i)//有几条边就循环多少次{if(uG.vexs[i])return i;return -1;}
}Status CreateUDN(AMGraph G)
{int i;cinG.vexnumG.arcnum;//总顶点,总边数for(i0;iG.vexnum;i)cinG.vexs[i];//依次输入点的信息for(i0;iG.vexnum;i)//初始化邻接矩阵{for(int j0;jG.vexnum;j){G.arcs[i][j]MaxInt;//边的权值均置为极大值}}for(int k0;kG.arcnum;k)//构造邻接矩阵{cinv1v2w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值iLocateVex(G,v1);jLocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]w;//边v1,v2的权值置wG.arcs[j][i]G.arcs[i][j];//v1,v2的对称边v2,v1的权值也为w}return OK;
}
无向图有向网,有向图与无向网是类似的
•对于无向图而言其与无向网相比没有权值 初始化邻接矩阵时w0 构建邻接矩阵时w1 Status CreateUDG(AMGraph G)
{int i;cinG.vexnumG.arcnum;//总顶点,总边数for(i0;iG.vexnum;i)cinG.vexs[i];//依次输入点的信息for(i0;iG.vexnum;i)//初始化邻接矩阵{for(int j0;jG.vexnum;j){G.arcs[i][j]0;//边的权值均置为0}}for(int k0;kG.arcnum;k)//构造邻接矩阵{cinv1v2;//输入一条边所依附的顶点int w1;//1表示连接、0表示无连接iLocateVex(G,v1);jLocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]w;//边v1,v2的权值置wG.arcs[j][i]G.arcs[i][j];//v1,v2的对称边v2,v1的权值也为w}return OK;
}
•对于有向网而言与无向网不同的是其每一条弧都是从一个顶点指向另外一个顶点的 仅为G.arcs[i][j]赋值不为G.arcs[j][i]赋值 Status CreateDN(AMGraph G)
{int i;cinG.vexnumG.arcnum;//总顶点,总边数for(i0;iG.vexnum;i)cinG.vexs[i];//依次输入点的信息for(i0;iG.vexnum;i)//初始化邻接矩阵{for(int j0;jG.vexnum;j){G.arcs[i][j]MaxInt;//边的权值均置为极大值}}for(int k0;kG.arcnum;k)//构造邻接矩阵{cinv1v2w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值iLocateVex(G,v1);jLocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]w;//边v1,v2的权值置w}return OK;
}
•对于有向图而言只需要将无向图和有向网的修改结合一下就行 没有权值连接两个顶点的边是弧 Status CreateDG(AMGraph G)
{int i;cinG.vexnumG.arcnum;//总顶点,总边数for(i0;iG.vexnum;i)cinG.vexs[i];//依次输入点的信息for(i0;iG.vexnum;i)//初始化邻接矩阵{for(int j0;jG.vexnum;j){G.arcs[i][j]0;//边的权值均置为0}}for(int k0;kG.arcnum;k)//构造邻接矩阵{cinv1v2;//输入一条边所依附的顶点int w1;//1表示连接、0表示无连接iLocateVex(G,v1);jLocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]w;//边v1,v2的权值置w}return OK;
}
邻接矩阵的优点 •方便检查任意一对顶点间是否存在边
•方便找任一顶点的所有“邻接点”有边直接相连的顶点
•方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”指向该点的边数为“入度”) •无向图:对应行 (或列)非0元素的个数 •有向图:对应行非0元素的个数是“出度”;对应列非0元素的个数是“入度
邻接矩阵的缺点
•不便于增加和删除顶点
•邻接矩阵的空间复杂度为O(),跟其有的边的条数无关只与其顶点数有关无论边少还是边多空间复杂度都为O()浪费空间----存稀疏图点很多而边很少有大量无效元素
•浪费时间----统计稀疏图中一共有多少条边因为必须遍历所有元素 二.邻接表
1.无向图 顶点按编号顺序存储在一维数组中 这里的一维数组和邻接矩阵中的一维数组不同数组中每个元素有两个成员 第一个是数据元素的信息第二个是指针存储的是第一个边的地址 关联同一顶点的边用线性链表存储,例如3表示邻接的顶点是下标为3的元素v4 如果有边\弧的信息还可以在表结点中增加一项 第一个表示邻接点在顶点表中的序号 第二个元素是一个指针指向的是下一条边弧 第三个元素表示边的信息权值 1邻接表是不唯一
例如“v1”指针指向的是邻接点v4和v2的下标分别为31这些边的顺序是可以改变的。
2若无向图中有n个顶点e条边则其邻接表需n个头结点和2e个表结点适宜存储稀疏图。
使用每条边时会出现两次从v1到v2和从v2到v1用的是同一条边所以有e条边就有2e个表结点 所以无向图的存储空间为O(n2e):n表示点2e表示边 有向图的存储空间为O(ne) 注对于邻接矩阵而言存储空间为O(),所以邻接表在存储稀疏图时比较节省空间 3无向图中顶点的度为第i个单链表中的结点数
•顶点的存储结构 typedef struct VNode
{VerTexType data; //顶点信息ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];
注:AdjList[MVNum]VNnode v[MVNum]
•弧(边)的结点结构 #define MVNum 100 //最大顶点数
typedef struct ArcNode //边结点
{int adjvex; //该边所指向的顶点的位置struct ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针OtherInfo info; //和边相关的信息(权值等)
}ArcNode;•图的结构定义
typedef struct
{AdjList vertices; //存放各个顶点的数组int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数
}ALGraph;•邻接表操作举例说明 ALGraph G; //定义了邻接表表示的图G
G.vexnum 5; G.arcnum 6; //图G中包含5个顶点6条边
G.vertices[1].data b; //图G中的第2个顶点是b
p G.vertices[1].firstarc; //指针p指向顶点b的第一条边结点
p-adjvex 4; //指针p所指边结点是到下标为4的结点的边2.有向图 1顶点的出度为第i个单链表中的结点个数
2顶点的入度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数 根据以上结论可以看出对于这样的每一个顶点存储出度边的有向图而言找出度是容易的找入度则比较难例如找终点为v1的边那么就需要遍历所有边结点找到邻结点为0的入度边 也可以每一个顶点存储其入度边如下图逆邻接表 和邻接表的结论相反找入度容易找出度难 1顶点的入度为第i个单链表中的结点个数 2顶点的出度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数 例题画出该邻接表对应的网络图 结果如下 用邻接表创建无向图
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1int i;for(i0;iG.vexnum;i)//有几条边就循环多少次{if(uG.vexs[i])return i;return -1;}
}Status CreateUDG(ALGraph G)
{int i, j, k;cin G.vexnum G.arcnum; // 输入总顶点数总边数for (i 0; i G.vexnum; i) // 输入各点构造表头(顶点)节点表{cin G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (k 0; k G.arcnum; k) // 输入各边构造邻接表{int v1, v2;cin v1 v2; // 输入一条边依附的两个顶点i LocateVex(G, v1);j LocateVex(G, v2);ArcNode* p1 new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p1p1-adjvex j; // 邻接点序号为jp1-nextarc G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc p1; // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)ArcNode* p2 new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p2p2-adjvex i; // 邻接点序号为ip2-nextarc G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc p2; // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)}return OK;
}这里的头插法特别解释一下 p1-nextarc G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc p1; //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法) 用邻接表创建有向图 只需将边改为弧将以下代码去掉 p2 new ArcNode; //生成一个新的边结点*p2 p2-adjvex i; //邻接点序号为i p2-nextarc G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc p2; //将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法) Status CreateDG(ALGraph G)
{cin G.vexnum G.arcnum; // 输入总顶点数总边数for (int i 0; i G.vexnum; i) // 输入各点构造表头(顶点)节点表{cin G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (int k 0; k G.arcnum; k) // 输入各边构造邻接表{int v1, v2;cin v1 v2; // 输入一条边依附的两个顶点int i LocateVex(G, v1);int j LocateVex(G, v2);ArcNode* p new ArcNode; // 生成一个新的边结点*pp-adjvex j; // 邻接点序号为jp-nextarc G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc p; // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)}return OK;
}用邻接表创建有向网 只需加入weight权重值即可 cin v1 v2 weight; p-infoweight; Status CreateWeightedDN(ALGraph G)
{cin G.vexnum G.arcnum; // 输入总顶点数总边数for (int i 0; i G.vexnum; i) // 输入各点构造表头(顶点)节点表{cin G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (int k 0; k G.arcnum; k) // 输入各边构造邻接表{int v1, v2, weight;cin v1 v2 weight; // 输入一条边依附的两个顶点和权值int i LocateVex(G, v1);int j LocateVex(G, v2);ArcNode* p new ArcNode; // 生成一个新的边结点*pp-adjvex j; // 邻接点序号为jp-info weight; // 边的权值为weightp-nextarc G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc p; // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)}return OK;
}用邻接表创建无向网 只需在无向图的基础上加入weight权重值即可 cin v1 v2 weight; p1-infoweight; p2-infoweight; Status CreateWeightedUDN(ALGraph G)
{cin G.vexnum G.arcnum; // 输入总顶点数总边数for (int i 0; i G.vexnum; i) // 输入各点构造表头(顶点)节点表{cin G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (int k 0; k G.arcnum; k) // 输入各边构造邻接表{int v1, v2, weight;cin v1 v2 weight; // 输入一条边依附的两个顶点和权值int i LocateVex(G, v1);int j LocateVex(G, v2);ArcNode* p1 new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p1p1-adjvex j; // 邻接点序号为jp1-info weight; // 边的权值为weightp1-nextarc G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc p1; // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)ArcNode* p2 new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p2p2-adjvex i; // 邻接点序号为ip2-info weight; // 边的权值为weightp2-nextarc G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc p2; // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)}return OK;
}邻接表的特点
•方便找任一顶点的所有“邻接点” •节约稀疏图的空间 •需要N个头指针 2E个结点 (每个结点至少2个域)
•方便计算任一顶点的“度” 对无向图:是的 对有向图:只能计算“出度”需要构造逆邻接表(存指向自己的边)来方便计算入度
•不方便检查任意一对顶点间是否存在边 三.邻接矩阵与邻接表的关系
1.联系:邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行链表中结点个数等于一行中非零元素的个数
2.区别: ①对于任一确定的无向图邻接矩阵是唯一的 (行列号与顶点编号致)但邻接表不唯一 (链接次序与顶点编号无关与链接的算法有关头插法或尾插法)
②邻接矩阵的空间复杂度为O(,而邻接表的空间复杂度为O(ne),对于稀疏图而言用邻接表的方式存储空间复杂度更低。
3.用途邻接矩阵多用于稠密图邻接表多用于稀疏图。
