公司免费网站制作,南县做网站推荐,ui中国网站,网站建设模板哪里下载平面PH曲线的构造及其相应性质 平面PH曲线的构造及其相应性质PH曲线理论三次PH曲线的构造及性质四次PH曲线的构造及性质五次PH曲线的构造及性质非尖点五次PH曲线尖点五次PH曲线 参考文献 平面PH曲线的构造及其相应性质
过渡曲线常需要满足在连接点处位置连续、曲率连续以及切线… 平面PH曲线的构造及其相应性质 平面PH曲线的构造及其相应性质PH曲线理论三次PH曲线的构造及性质四次PH曲线的构造及性质五次PH曲线的构造及性质非尖点五次PH曲线尖点五次PH曲线 参考文献 平面PH曲线的构造及其相应性质
过渡曲线常需要满足在连接点处位置连续、曲率连续以及切线方向向量连续的三个条件。关于过渡曲线的构造前文已经总结了Béizer曲线和多项式曲线本文主要对PH曲线构造的相关问题进行分析总结。
PH曲线理论
定义若平面n次贝塞尔曲线P(t)(x(t),y(t))的速端曲线具有PH性质则称它为n次PH曲线。即存在多项式σ(t)使得 x ′ 2 y ′ 2 σ 2 ( t ) x^{2}y^{2}\sigma^2(t) x′2y′2σ2(t) 则称多项式P(t)为n次PH曲线。
贝塞尔曲线方程表达形式为 P ( t ) ∑ j 0 n p j B j n ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 P(t)\sum_{j0}^n p_j B_j^n (t) , 0≤t≤1 P(t)j0∑npjBjn(t),0≤t≤1其中伯恩斯坦基函数的形式为 B j n ( t ) C n j ( 1 − t ) n − j t j , 0 ≤ t ≤ 1 B_j^n(t)C_n^j(1-t)^{n-j}t^j , 0≤t≤1 Bjn(t)Cnj(1−t)n−jtj,0≤t≤1
关于贝塞尔曲线的求导参考知乎上的一篇文章我在文末会放上参考网址。 贝塞尔曲线在 t 处的一阶导数为 C ′ ( t ) ∑ i 0 n − 1 p i ( 1 ) B i , n − 1 ( t ) C^{}(t)\sum_{i0}^{n-1} p_i^{(1)} B_{i,n-1}(t) C′(t)i0∑n−1pi(1)Bi,n−1(t) p i ( 1 ) n ( p i 1 − p i ) p_i^{(1)}n(p_{i1}-p_i) pi(1)n(pi1−pi)
三次PH曲线的构造及性质
设三次Bezier曲线为 P ( t ) ∑ j 0 3 P j B j 3 ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 P(t)\sum_{j0}^3 P_jB_j^3 (t) , 0≤t≤1 P(t)j0∑3PjBj3(t),0≤t≤1 1x’(t)和y’(t)的形式验证
为确保P(t)为一个PH曲线定义x‘(t)和y’(t)的形式如下 x ′ ( t ) w ( t ) [ u 2 ( t ) − v 2 ( t ) ] x^{}(t)w(t)[u^2(t)-v^2(t)] x′(t)w(t)[u2(t)−v2(t)] y ′ 2 w ( t ) u ( t ) v ( t ) y^{}2w(t)u(t)v(t) y′2w(t)u(t)v(t) 其中w(t)1 u ( t ) u 0 b 0 1 ( t ) u 1 b 1 1 ( t ) u(t)u_0b_0^1(t)u_1b_1^1(t) u(t)u0b01(t)u1b11(t) v ( t ) v 0 b 0 1 ( t ) v 1 b 1 1 ( t ) v(t)v_0b_0^1(t)v_1b_1^1(t) v(t)v0b01(t)v1b11(t) 代入Bernstein系数因此有 因此验证得 x ′ ( t ) [ u 2 ( t ) − v 2 ( t ) ] y ′ 2 u ( t ) v ( t ) x^{}(t)[u^2(t)-v^2(t)]y^{}2u(t)v(t) x′(t)[u2(t)−v2(t)]y′2u(t)v(t) 2控制顶点关系验证 由贝塞尔曲线的一阶导数公式有 x ′ ( t ) 3 ( p 1 x − p 0 x ) b 0 2 ( t ) 3 ( p 2 x − p 1 x ) b 1 2 ( t ) 3 ( p 3 x − p 2 x ) b 2 2 ( t ) x^{}(t)3(p_{1x}-p_{0x})b_0^2(t) 3(p_{2x}-p_{1x})b_1^2(t) 3(p_{3x}-p_{2x})b_2^2(t) x′(t)3(p1x−p0x)b02(t)3(p2x−p1x)b12(t)3(p3x−p2x)b22(t) y ′ ( t ) 3 ( p 1 y − p 0 y ) b 0 2 ( t ) 3 ( p 2 y − p 1 y ) b 1 2 ( t ) 3 ( p 3 y − p 2 y ) b 2 2 ( t ) y^{}(t)3(p_{1y}-p_{0y})b_0^2(t)3(p_{2y}-p_{1y})b_1^2(t)3(p_{3y}-p_{2y})b_2^2(t) y′(t)3(p1y−p0y)b02(t)3(p2y−p1y)b12(t)3(p3y−p2y)b22(t) 因此联立两式有 p 1 x − p 0 x 1 3 ( u 0 2 − v 0 2 ) , p 2 x − p 1 x 1 3 ( u 0 u 1 − v 0 v 1 ) , p 3 x − p 2 x 1 3 ( u 1 2 − v 1 2 ) p_{1x}-p_{0x}\frac{1}{3}(u_0^2-v_0^2),p_{2x}-p_{1x}\frac{1}{3}(u_0u_1-v_0v_1),p_{3x}-p_{2x}\frac{1}{3}(u_1^2-v_1^2) p1x−p0x31(u02−v02),p2x−p1x31(u0u1−v0v1),p3x−p2x31(u12−v12) p 1 y − p 0 y 1 3 ( 2 u 0 v 0 ) , p 2 y − p 1 y 1 3 ( u 0 v 1 u 1 v 0 ) , p 3 y − p 2 y 1 3 ( 2 u 1 v 1 ) p_{1y}-p_{0y}\frac{1}{3}(2u_0v_0),p_{2y}-p_{1y}\frac{1}{3}(u_0v_1u_1v_0),p_{3y}-p_{2y}\frac{1}{3}(2u_1v_1) p1y−p0y31(2u0v0),p2y−p1y31(u0v1u1v0),p3y−p2y31(2u1v1) 因此控制顶点满足的关系整理如下 3验证三次贝塞尔曲线称为PH曲线的充要条件是 L 2 L 1 L 3 且 θ 1 θ 2 L_2\sqrt{L_1L_3} 且\theta_1\theta_2 L2L1L3 且θ1θ2 其中几何边和角的位置分布如图所示 定义d01表示p0和p1的距离d12表示p1和p2的距离d23表示p2和p3的距离。因此有
因此可验证得到 L 2 L 1 L 3 L_2\sqrt{L_1L_3} L2L1L3 接下来就是证明 θ 1 θ 2 \theta_1\theta_2 θ1θ2 4三次PH曲线的参数速率表示为 σ ( t ) ∑ i 0 2 σ i B i 2 ( t ) \sigma(t)\sum_{i0}^2\sigma_iB_i^2(t) σ(t)i0∑2σiBi2(t) 由弧长的定义 S ( t ) ∫ 0 t σ ( τ ) d τ S(t)\int_0^t\sigma(\tau) d\tau S(t)∫0tσ(τ)dτ S ( t ) ∑ i 0 3 S i B i 3 ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 S(t)\sum_{i0}^3S_iB_i^3(t),0≤t≤1 S(t)i0∑3SiBi3(t),0≤t≤1 其中 S 0 0 , S i 1 3 ∑ 0 i − 1 σ j , i 1 , 2 , 3 S_00,S_i\frac{1}{3} \sum_0^{i-1} \sigma_j ,i1,2,3 S00,Si310∑i−1σj,i1,2,3 三次PH曲线的全弧长为 S S ( 1 ) 1 3 ∑ 0 2 σ i SS(1)\frac{1}{3} \sum_0^2 \sigma_i SS(1)310∑2σi
四次PH曲线的构造及性质
令平面四次PH曲线 P ( t ) ∑ t 0 4 p t B t 4 ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 P(t)\sum_{t0}^4p_tB_t^4(t), 0≤t≤1 P(t)t0∑4ptBt4(t),0≤t≤1为了使P(t)为PH曲线则作如下假设 其中
代入公式计算有 四次PH曲线的性质
五次PH曲线的构造及性质
五次PH曲线有两种非尖点五次PH曲线和尖点五次PH曲线。
非尖点五次PH曲线 尖点五次PH曲线 参考文献
以上内容主要参考以下文献。 [1]: 知乎贝塞尔曲线的求导https://zhuanlan.zhihu.com/p/130247362 [2]: Pythagorean hodographs [3]: 一类五次PH曲线Hermite插值的几何方法 [4]: PH曲线的研究及其应用 [5]: PH曲线的构造及相关问题研究 [6]:基于PH曲线的Delta机器人轨迹规划方法 [7]: 基于PH曲线的无人机路径规划算法
