做投票网站,怎么开发软件挣钱,沧州高端网站建设公司,济南互联网网站建设价格二阶线性微分方程进行Laplace变换 前言正文代码实现 前言
二阶线性微分方程: 一个二阶线性微分方程通常可以写成如下形式: y ′ ′ ( t ) p ( t ) y ′ ( t ) q ( t ) y ( t ) f ( t ) y^{\prime \prime}(t)p(t) y^{\prime}(t)q(t) y(t)f(t) y′′(t)p(t)y′(t)q(t)y(t)f(… 二阶线性微分方程进行Laplace变换 前言正文代码实现 前言
二阶线性微分方程: 一个二阶线性微分方程通常可以写成如下形式: y ′ ′ ( t ) p ( t ) y ′ ( t ) q ( t ) y ( t ) f ( t ) y^{\prime \prime}(t)p(t) y^{\prime}(t)q(t) y(t)f(t) y′′(t)p(t)y′(t)q(t)y(t)f(t)
其中 y ( t ) y(t) y(t) 是未知函数 y ′ ( t ) y^{\prime}(t) y′(t) 和 y ′ ′ ( t ) y^{\prime \prime}(t) y′′(t) 分别是它的一阶和二阶导数。 p ( t ) 、 q ( t ) p(t) 、 q(t) p(t)、q(t) 和 f ( t ) f(t) f(t) 是给定的函数它们分别表示一阶导数的系数、二阶导数的系数和非齐次项。这是一个线性微分方程因为未知函数及其导数的次数最高为 1 。
解决这种微分方程的目标是找到一个函数 y ( t ) y(t) y(t) 满足方程并且满足一些初值或边界条件。
传递函数: 传递函数是一个表示线性时不变系统输入和输出关系的数学表达式。对于一个线性时不变系统输入信号 u ( t ) u(t) u(t) 和输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 之间的关系可以通过传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 描述其中 s s s 是复变量。传递函数通常表示为: H ( s ) Y ( s ) U ( s ) H(s)\frac{Y(s)}{U(s)} H(s)U(s)Y(s)
其中 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号的 Laplace 变换 U ( s ) U(s) U(s) 是输入信号的 Laplace 变换。传递函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应。
在频域中传递函数可以分解为幅度和相位。这使得传递函数成为分析和设计线性时不变系统的有力工具。
在控制工程和信号处理领域传递函数通常用于分析系统的稳定性、响应特性以及进行控制器设计。
正文
对于给定的二阶微分方程: y ′ ′ ( t ) ( 1 t 2 ) y ′ ( t ) e t y ( t ) sin ( t ) y^{\prime \prime}(t)\left(1t^2\right) y^{\prime}(t)e^t y(t)\sin (t) y′′(t)(1t2)y′(t)ety(t)sin(t) 将二阶线性微分方程转化为传递函数通常需要进行 Laplace 变换。假设输入信号是 u ( t ) u(t) u(t) 输出信号是 y ( t ) y(t) y(t) 二阶微分方程可以表示为: y ′ ′ ( t ) ( 1 t 2 ) y ′ ( t ) e t y ( t ) sin ( t ) y^{\prime \prime}(t)\left(1t^2\right) y^{\prime}(t)e^t y(t)\sin (t) y′′(t)(1t2)y′(t)ety(t)sin(t)
首先我们对整个方程进行 Laplace 变换: L { y ′ ′ ( t ) } ( 1 t 2 ) L { y ′ ( t ) } e t L { y ( t ) } L { sin ( t ) } \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(t)\right\}\left(1t^2\right) \mathcal{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}e^t \mathcal{L}\{y(t)\}\mathcal{L}\{\sin (t)\} L{y′′(t)}(1t2)L{y′(t)}etL{y(t)}L{sin(t)}
在 Laplace 变换中导数的变换规则为: L { y ′ ( t ) } s Y ( s ) − y ( 0 ) L { y ′ ′ ( t ) } s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) \begin{aligned} \mathcal{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}s Y(s)-y(0) \\ \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(t)\right\}s^2 Y(s)-s y(0)-y^{\prime}(0) \end{aligned} L{y′(t)}sY(s)−y(0)L{y′′(t)}s2Y(s)−sy(0)−y′(0)
其中 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 的 Laplace 变换。 代入这些变换我们得到: s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) ( 1 t 2 ) ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) e t Y ( s ) 1 s 2 1 s^2 Y(s)-s y(0)-y^{\prime}(0)\left(1t^2\right)(s Y(s)-y(0))e^t Y(s)\frac{1}{s^21} s2Y(s)−sy(0)−y′(0)(1t2)(sY(s)−y(0))etY(s)s211
整理上述方程得到传递函数的形式: Y ( s ) U ( s ) 1 s 2 1 ( 1 t 2 ) s e t \frac{Y(s)}{U(s)}\frac{1}{s^21\left(1t^2\right) se^t} U(s)Y(s)s21(1t2)set1
其中 U ( s ) U(s) U(s) 是输入信号 u ( t ) u(t) u(t) 的 Laplace 变换。
因此通过 Laplace 变换得到传递函数: H ( s ) Y ( s ) U ( s ) 1 s 2 1 ( 1 t 2 ) s e t H(s)\frac{Y(s)}{U(s)}\frac{1}{s^21\left(1t^2\right) se^t} H(s)U(s)Y(s)s21(1t2)set1
这里 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 的 Laplace 变换 U ( s ) U(s) U(s) 是输入信号 u ( t ) u(t) u(t) 的 Laplace 变换。
由于涉及到非常数的系数 t t t 所以传递函数也包含 t t t 。在 MATLAB 中通过 ilaplace’函数进行逆变换可以得到一个包含 t t t 的表达式。
上述 MATLAB 代码示例中使用 ilaplace - 函数逆变换得到的传递函数 H ( t ) H(t) H(t) 将包含 t t t 具体的表达式将在 MATLAB 中显示。因此您可以运行上述代码查看输出结果。
代码实现
syms s t% 定义 Laplace 变换
Y laplace(D2y (1 t^2)*Dy exp(t)*y - sin(t), t, s);% 逆变换得到传递函数
H ilaplace(1 / (s^2 1 (1 t^2)*s exp(t)), s, t);% 显示传递函数
disp(传递函数:);
disp(H);
