在线网站你们会回来感谢我的,平面设计网上接单,创业公司做网站,鹿邑网站建设前言 Textlive版本#xff1a;2023 textstudio版本#xff1a;4.6.3 名字和日期在以下地方修改: 图片下载地址; figures.zip LiangCha_Xyy/Source - Gitee.com 如下图#xff0c;.tex文件和figures文件夹放在同一路径下即可 .tex代码
\documentclass[UTF8]{ctexart}
\usep…前言 Textlive版本2023 textstudio版本4.6.3 名字和日期在以下地方修改: 图片下载地址; figures.zip · LiangCha_Xyy/Source - Gitee.com 如下图.tex文件和figures文件夹放在同一路径下即可 .tex代码
\documentclass[UTF8]{ctexart}
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\usepackage{caption2} %标题居中
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\geometry{a4paper,left2.5cm,right2.5cm,top2.5cm,bottom2.5cm}
\setlength{\parindent}{0em}
\lstset{numbersleft, %设置行号位置numberstyle\tiny, %设置行号大小keywordstyle\color{blue}, %设置关键字颜色commentstyle\color[cmyk]{1,0,1,0}, %设置注释颜色escapeinside, %逃逸字符(1左面的键)用于显示中文%breaklines, %自动折行extendedcharsfalse, %解决代码跨页时章节标题页眉等汉字不显示的问题xleftmargin1em,xrightmargin1em, aboveskip1em, %设置边距tabsize4, %设置tab空格数showspacesfalse %不显示空格
}
\title{ }
\author{自己的名字}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\arabic{subsection}}\begin{document}\begin{titlepage}\centering\vspace*{4cm} % 调整标题与图片的垂直间距\includegraphics[scale0.08]{logo.png} \\{\Huge Beijing University of Chemical Technology\\} % 使用 \Huge 调整字体大小{\Huge Computing Methods\\ } \rule{15cm}{1.2pt}{\Huge\bfseries 计算方法课程实验\\}\rule{15cm}{1.2pt} \\[2cm] % 调整标题与作者信息之间的垂直间距{\Large 名字\\[1cm]} % 调整作者信息的垂直间距{\Large 日期\\}
\end{titlepage}
%实验二
\section{Lagrange插值方法}\subsection{实验目的}(1)熟悉简单的一阶和二阶 Lagrange插值方法\\(2)学会计算 Lagrange基函数\\(3)正确构造插值多项式\\(4)对插值结果进行合理分析\\\subsection{实验原理}$p_n(x)\sum_{k0}^n y_k l_k(x)\sum_{k0}^n\left(\prod_{\substack{j0 \\ j \neq k}}^n \frac{x-x_j}{x_k-x_j}\right) y_k$ \\\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\\\subsection{实验内容}\setstretch{1.5}\centering\begin{tabular}{|l|l|}\hline$x$ $f(x)$ \\\hline 24 1.888175 \\26 1.918645 \\28 1.947294 \\30 1.961009 \\\hline\end{tabular} \\表 1.1: 数据样本表\\\vspace{0.5cm} % 插入垂直空白使用 Lagrange插值多项式计算 f(25),f(27),f(29)并给出插值多项式。\\修改程序直至运行成功查看运行结果并和如下真实值进行比较。\\ \vspace{0.5cm} % 插入垂直空白\begin{tabular}{|l|l|}\hline$x$ $f(x)$ \\\hline 25 1.90365393871587 \\27 1.933182044931763 \\29 1.961009057454548 \\\hline\end{tabular} \\表 1.2: 数据真实值\\\raggedright %左对齐\vspace{5cm} \subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#includeiostream
#includecmath
using namespace std;
int main()
{ //输入程序int m;cout请输入有几个采样点endl;cinm;pairdouble,double points[m];for(int i0;im;i){double x,y;cout插值点;cinxy;points[i] {x,y};coutendl;}//程序处理int n;cout请输入待预测的点的个数endl;cinn;for(int i0;in;i){double x_pred;cinx_pred;double res 0;for(int j0;jm;j){ // 使用 m 而不是 ndouble a 1, b 1;for(int k0;km;k){ // 修改内层循环变量名为 kif(j!k){a * (x_pred - points[k].first);b * (points[j].first - points[k].first);}}res a * points[j].second / b;}cout插值点(x,y)(x_pred,res)endl;}
}\end{lstlisting}\vspace{5cm} 运行结果如下\\\includegraphics[scale0.8]{output1.png} \\%实验二
\section{牛顿插值方法}\subsection{实验目的}(1)理解牛顿插值方法\\(2)学会计算差商\\(3)正确构造插值多项式\\(4)设计程序并调试得到正确结果\subsection{实验原理}$f\left(x_0, x_1, \cdots, x_n\right)\sum_{k0}^n \frac{f\left(x_k\right)}{\prod_{\substack{j0 \\ j \neq k}}^n\left(x_k-x_j\right)}$ \\$n$ 次插值多项式:\\$\begin{aligned}p_{n}(x) f\left(x_0\right)f\left(x_0, x_1\right)\left(x-x_0\right)f\left(x_0, x_1, x_2\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots \\ f\left(x_0, x_1, \cdots, x_n\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\end{aligned}$\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\subsection{实验内容}计算以下积分值\\\setstretch{1.5}\centering$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x 0.4 0.55 0.65 0.8 0.9 \\\hline f(x) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 \\\hline\end{array}$$\raggedright %左对齐\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#includeiostream
#includecmath
using namespace std;
const int N 4;//插值点数-1
pairdouble,doublepoints[]{{0.4,0.41075},{0.55,0.57815},
{0.65,0.69675},{0.8,0.88811},{0.9,1.02652}};
//差商计算 数据点更新
void func(int n)
{double f[n];//差商表for(int k1;kn;k){f[0] points[k].second;for(int i0;ik;i) f[i1] (f[i]-points[i].second)/(points[k].first-points[i].first);points[k].second f[k];}
}
int main()
{ double x 0.895;double b 0;func(N);for(int iN-1;i0;i--){b b*(x-points[i].first)points[i].second;coutbendl;}coutNn(x)bendl;}\end{lstlisting}运行结果如下\\\includegraphics[scale1]{output2.png} \\\vspace{5cm} \section{Newton-Cotes方法}\subsection{实验目的}(1)掌握Newton-Cotes算法\\(2)要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Newton-Cotes算法中的加速收敛过程\\(3)编写程序分析实验结果\subsection{实验原理}设将求积区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 等分, 选取等分点$$x_iai h, \quad h\frac{b-a}{n}, \quad i0,1,2, \cdots, n$$作为求积节点构造求积公式$$\int_a^b f(x) d x \approx(b-a) \sum_{i0}^n \lambda_i f\left(x_i\right)$$\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\subsection{实验内容}$\begin{aligned} \mathrm{I}\int_0^\frac{1}{4} \sqrt{4-sin^2x} d x \quad(I \approx 0.4987111175752327) \\ \mathrm{I}\int_0^1 \frac{\sin x}{x} d x \quad(f(0)1, \quad I \approx 0.9460831) \\ \mathrm{I}\int_0^1 \frac{e^x}{4x^2} d x \\ \mathrm{I}\int_0^1 \frac{\ln (1x)}{1x^2} d x\end{aligned}$\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#includeiostream
#includecmath
using namespace std;
#define MAXSIZE 7
long c[MAXSIZE][MAXSIZE5] {{2,1,1}, {6,1,4,1}, {8,1,3,3,1}, {90,7,32,12,32,7}, {288,19,75,50,50,75,19}, {840, 41,216,27,272,27,216,41}, {17280,751,3577,1323,2989,2989,1323,3577,751}};
double func(double x) //原函数
{return log(1x)/(1x*x);
}
int main()
{cout计算3.4函数积分值endl;double a,b;int n;cout请输入积分边界;cinab;cout请输入积分节点数;cinn;double h (b-a)/(n-1);double f[n],x[n];for(int i0;in;i){//计算积分节点纵坐标x[i] ai*h;f[i] func(x[i]);}double integral 0;//积分值for(int i0;in;i){integral c[n-2][i1]*func(x[i]);}integral * (b-a)/c[n-2][0];printf(积分值为%lf, integral);}\end{lstlisting}运行结果如下\\\begin{figure}[ht]\centering\begin{adjustbox}{width0.24\textwidth,height2cm}\includegraphics{output31.png}\end{adjustbox}\begin{adjustbox}{width0.24\textwidth,height2cm}\includegraphics{output32.png}\end{adjustbox}\begin{adjustbox}{width0.24\textwidth,height2cm}\includegraphics{output33.png}\end{adjustbox}\begin{adjustbox}{width0.24\textwidth,height2cm}\includegraphics{output34.png}\end{adjustbox}\caption{计算函数积分值}\end{figure}\subsection{实验分析}\begin{figure}[ht]\centering\includegraphics[scale0.42]{py.png}\caption{函数(3.1)的图像}\end{figure}应用 Newton-Cotes 公式得到近似积分值为\\$$I 0.498711$$积分精确值为 0.4987111175752327由此可见两者是非常接近的\section{求非线性方程根的牛顿法}\subsection{实验目的}(1)掌握求非线性方程根的牛顿法\\(2)进一步了解牛顿法的改进算法\\(3)编写程序分析实验结果\subsection{实验原理}牛顿法迭代公式为\\$$x_{k1}x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f\left(x_k\right)}$$\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\\\subsection{实验内容}用牛顿迭代法求$ xe^x − 1 0 $的根迭代初始值为 $x_0 0.5。$\raggedright %左对齐\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#includeiostream
#includecmath
using namespace std;
double f(double x)//原函数
{return x*exp(x)-1;
}
double df(double x)//导函数
{return exp(x) x*exp(x);
}
int main()
{double x;double eplison;cout请输入精度要求endl;cineplison;cout请输入迭代初值endl;cinx;double x0 x;double x1 x0 - f(x0)/df(x0);while(fabs(x1-x0)eplison){double temp x1;x1 x0 - f(x0)/df(x0);x0 temp;}coutf(x)0的根xx1endl;}\end{lstlisting}运行结果如下\\\includegraphics[scale1]{output4.png} \\\section{解线性方程组的迭代法}\subsection{实验目的}(1) 掌握雅可比迭代和 Seidel 迭代来求解方程组\\(2) 掌握常用的几种迭代格式\\(3) 编写程序实现上述迭代方法\\(4) 分析实验结果并估计误差\subsection{实验原理}有如下线性方程组 Ax b 如下\\$$\left(\begin{array}{cccc}a_{11} a_{12} \cdots a_{1 n} \\a_{21} a_{22} \cdots a_{2 n} \\\vdots \vdots \ddots \vdots \\a_{n 1} a_{n 2} \cdots a_{n n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b_1 \\b_2 \\\vdots \\b_n\end{array}\right)$$使用迭代法进行求解主要迭代方法为雅可比迭代和 Gauss-Seidel 迭代\\\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\\\subsection{实验内容}使用高斯-赛德尔迭代法求解下列方程组\\$\left\{\begin{array}{l}10x_1 - x_2 - 2x_3 7.2 \\-x_1 10x_2 - 2x_3 8.3 \\-x_1 - x_2 5x_3 4.2 \\\end{array}\right. $\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#include iostream
using namespace std;
void input(int n, double b[], double **coefficient){cout请输入系数矩阵endl;for(int i0;in;i){for(int j0;jn;j) cincoefficient[i][j];}cout请输入常数矩阵;for(int i0;in;i) cinb[i];
}
int main()
{int n;double epsilon;cout 请输入未知数个数;cin n;double b[n];double x0[n];double x1[n];double **coefficient new double*[n];for (int i 0; i n; i) {coefficient[i] new double[n];}input(n, b, coefficient);cout请输入迭代初值;for(int i0;in;i) cinx0[i];cout请输入精度要求;cinepsilon;while(true){for(int i0;in;i){double res 0;for(int j0;ji-1;j){res coefficient[i][j]*x1[j];}for(int ji1;jn;j){res coefficient[i][j]*x0[j];}x1[i] (b[i]-res)/coefficient[i][i];}if(abs(x1[0]-x0[0])epsilon) break;for(int i0;in;i) x0[i] x1[i];}cout解为;for(int i0;in;i) coutx1[i] ;for (int i 0; i n; i) {delete[] coefficient[i];}delete[] coefficient;return 0;
}\end{lstlisting}运行结果如下\\\includegraphics[scale1]{output5.png} \\\section{线性方程组的高斯消元法}\subsection{实验目的}(1) 掌握高斯消元法求解方程组\\(2) 掌握列主元高斯消元法求解方程组\\(3) 分析实验结果并估计误差\subsection{实验原理}有线性方程组 Ax b \\$\left\{\begin{aligned}x_n \frac{b_n^{(n)}}{a_{n n}^{(n)}} \\x_i \frac{b_i^{(i)}-\sum_{ji1}^n a_{i j}^{(i)} x_j}{a_{i i}^{(i)}} \quad in-1, n-2, n-3, \cdots, 2,1\end{aligned}\right.$\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\\\subsection{实验内容}使用高斯消元法求解下列方程组\\$$\left\{\begin{array}{l}10 x_1-x_2-2 x_37.2 \\-x_110 x_2-2 x_38.3 \\-x_1-x_25 x_34.2\end{array}\right.$$\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#include iostream
using namespace std;
void input(int n, double b[], double **a){cout请输入增广矩阵endl;for(int i1;in;i){for(int j1;jn;j) cina[i][j];cinb[i];}}
int main()
{int n;cout 请输入未知数个数;cin n;double b[n1];double **a new double*[n1];for (int i 0; i n; i) {a[i] new double[n1];}input(n,b,a);for(int k1;kn;k){for(int jk1;jn;j)a[k][j]/a[k][k];//计算行乘子b[k]/a[k][k];for(int ik1;in;i){for(int jk1;jn;j){a[i][j]-a[i][k]*a[k][j];}}for(int ik1;in;i) b[i]-a[i][k]*b[k];}for(int in-1;i1;i--){double temp 0;for(int ji1;jn;j) tempa[i][j]*b[j];b[i] - temp;}cout解为;for(int i1;in;i) printf(%.4lf ,b[i]);for (int i 0;in; i) {delete[] a[i];}delete[] a;return 0;
}\end{lstlisting}运行结果如下\\\includegraphics[scale1]{output6.png} \\\section{线性方程组的矩阵分解法}\subsection{实验目的}(1) 掌握采用矩阵 LU 分解方法来求解线性方程组\\(2) 编程实现矩阵 LU 分解算法\subsection{实验原理}矩阵的 LU 分解定理:\\设A为n阶方阵如果A的顺序主子矩阵 $A_1, A_2, · · · , A_{n-1}$均非奇异则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积即A LU且这种分解是唯一的。\\其中 L 和 U 的计算公式为\\$$\left\{\begin{array}{l}u_{1 j}a_{1 j}, \quad j1,2,3, \cdots, n \\l_{i 1}\frac{a_{i 1}}{u_{11}}, \quad i2,3,4, \cdots, n \\u_{i j}a_{i j}-\sum_{k1}^{i-1} l_{i k} u_{k j}, \quad ji, i1, \cdots, n \\l_{i j}\frac{a_{i j}-\sum_{k1}^{j-1} l_{k k} u_{k j}}{u_{j j}}, \quad j1,2, \cdots, i-1\end{array}\right.$$\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\\\subsection{实验内容}(1) 写出矩阵 LU 分解法解线性方程组算法编一程序上机调试出结果要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题即能解决这一类问题而不是某一个问题。\\(2) 使用矩阵 Doolittle 分解法求解下列方程组\\$$\left\{\begin{array}{l}10 x_1-x_2-2 x_37.2 \\-x_110 x_2-2 x_38.3 \\-x_1-x_25 x_34.2\end{array}\right.$$\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,basicstyle\small]
#include iostream
using namespace std;
void input(int n, double b[], double **a){cout请输入增广矩阵endl;for(int i0;in;i){for(int j0;jn;j) cina[i][j];cinb[i];}}
int main()
{int n;cout 请输入未知数个数;cin n;double b[n1];double **a new double*[n1];for (int i 0; i n; i) {a[i] new double[n1];}double l[n1][n1],u[n1][n1];double x[n1],y[n1];input(n,b,a);for(int i0;in;i) l[i][i] 1;//LU分解for(int k0;kn;k){for(int jk;jn;j){u[k][j] a[k][j];for(int i0;ik-1;i){u[k][j] - (l[k][i]*u[i][j]);}}for(int ik1;in;i){l[i][k] a[i][k];for(int j0;jk-1;j)l[i][k]-(l[i][j]*u[j][k]);l[i][k]/u[k][k];}}//Ly bfor(int i0;in;i){y[i] b[i];for(int j0;ji-1;j) y[i]-(l[i][j]*y[j]);}//Ux yfor(int in-1;i0;i--){x[i] y[i];for(int ji1;jn;j) x[i]-(u[i][j]*x[j]);x[i]/u[i][i];}coutL矩阵为endl;for(int i0;in;i){for(int j0;jn;j) printf(%7.4f ,l[i][j]);coutendl;}coutU矩阵为endl;for(int i0;in;i){for(int j0;jn;j) printf(%7.4f ,u[i][j]);coutendl;}cout解为;for(int i0;in;i) printf(%.4lf ,x[i]);for (int i 0;in; i) {delete[] a[i];}delete[] a;return 0;
}\end{lstlisting}运行结果如下\\\includegraphics[scale1]{output7.png} \\\section{常微分方程求解算法}\subsection{实验目的}(1) 掌握采用欧拉法来求解常微分方程\\(2) 掌握采用改进的欧拉法来求解常微分方程\\(3) 编程实现上述两个算法\subsection{实验原理}由$$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}f(x, y) \\y\left(x_0\right)y_0\end{array}\right.$$可知$$y^{\prime}\left(x_n\right)f\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)$$用向前差商代替导数:$$y^{\prime}\left(x_n\right) \approx \frac{y\left(x_{n1}\right)-y\left(x_n\right)}{h}$$代入上式得到:$$y\left(x_{n1}\right) \approx y\left(x_n\right)h f\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)$$用 $y_n$ 作为 $y\left(x_n\right)$ 的近似值, 并将所得结果作为 $y_{n1}$, 得到$$y_{n1}y_nh f\left(x_n, y_n\right)$$将 $y_{n1}$ 作为 $y\left(x_{n1}\right)$ 的近似值, 由此得到 (向前)Euler 格式:$$\left\{\begin{array}{l}y_0y\left(x_0\right) \\y_{n1}y_nh f\left(x_n, y_n\right)\end{array}\right.$$初值 $y_0$ 是已知的, 则依据上式即可逐步算出微分方程初值问题的数值解 $y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n, \cdots$ 。\subsection{实验环境}Windows 10 Visual Studio\\\subsection{实验内容}(1) 写出欧拉法或改进的欧拉法来求解常微分方程编程序上机调试出结果。\\(2) 使用常微分方程例子如下$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}3 x-2 y^2-1(0x5) \\ y(0)2\end{array}\right.$\subsection{程序代码}\begin{lstlisting}[languageC,caption{欧拉法},basicstyle\small]
#includeiostream
using namespace std;
double f(double x,double y){return 3*x-2*y*y-1;
}
int main()
{const double h 0.25;double x 0;double y 2;int idx 0;while(x5){idx;cout第idx轮x:x y:yendl;x h;y yh*f(x,y);}
}\end{lstlisting}\begin{lstlisting}[languageC,caption{改进欧拉法},basicstyle\small]
#includeiostream
using namespace std;
double f(double x,double y){return 3*x-2*y*y-1;
}
int main()
{const double h 0.25;double x 0;double y 2;double _y;int idx 0;while(x5){idx;cout第idx轮 x:x y:yendl;_y yh*f(x,y);y y(h/2)*(f(x,y)f(xh,_y));xh;}
}\end{lstlisting}\vspace{5cm} 运行结果如下\\\centering\includegraphics[scale1]{output81.png} \\欧拉法\\\includegraphics[scale0.87]{output82.png} \\改进欧拉法
\end{document}
