建设厅考试网站,网站二级目录打不开,十堰网络公司排名,做网站微信公众号文章目录夹逼收敛定理(P45):单调收敛定理(P50):闭区间套定理(P56)#xff1a;有限覆盖定理(P59)#xff1a;可数集(P62)#xff1a;聚点(P62)#xff1a;聚点原理(P62)#xff1a;波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(P64)柯西序列柯西收敛准则(P65)压缩映照原理(P67)上下极限…
文章目录夹逼收敛定理(P45):单调收敛定理(P50):闭区间套定理(P56)有限覆盖定理(P59)可数集(P62)聚点(P62)聚点原理(P62)波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(P64)柯西序列柯西收敛准则(P65)压缩映照原理(P67)上下极限判定(P70)定理2.5.2(P72)上下极限的保序性P74施笃兹定理P80定理3.1.7函数极限与序列极限(P96)极限存在性定理(P97)定理3.1.8柯西收敛准则P98两个重要极限P99函数连续与间断的定义(P103)间断点分类P105连续函数的性质(P108)谢邀已经学不明白了。 感觉这是一门严谨的学科可以用一些看起来很显然的结论“踏实”地推出一些非常神秘的结论。 相比于重结论轻证明的OI是有很大差异的。 性感理解显然
定理和概念好多啊脑子内存不够了。 这里当个备忘录吧想不起来就看看。 只写一些感觉需要写的吧似乎是废话 随时可能会鸽
夹逼收敛定理(P45): 若 limanlimbnw,∃N0→∀nN0,an≤cn≤bn\lim a_n\lim b_nw,\exists N_0\to \forall nN_0,a_n\le c_n\le b_nlimanlimbnw,∃N0→∀nN0,an≤cn≤bn那么就有 limcnw\lim c_nwlimcnw。 感觉很难想到这个。
单调收敛定理(P50): 单调有界序列必收敛。 太常用了。
闭区间套定理(P56) 设 {[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]} 为一列闭区间且满足 1.[an,bn]⊇[an1,bn1],n1,2,...[a_n,b_n]\supseteq [a_{n1},b_{n1}],n1,2,...[an,bn]⊇[an1,bn1],n1,2,... 2.lim(bn−an)0\lim(b_n-a_n) 0lim(bn−an)0 则存在唯一 c∈Rc\in \Rc∈R使得 ∩n∞[an,bn]c\cap_n^{\infty}[a_n,b_n]c∩n∞[an,bn]c 注意必须是闭区间。
有限覆盖定理(P59) 如果 {Eλ},λ∈Λ\{E_\lambda\},\lambda\in \Lambda{Eλ},λ∈Λ 是 [a,b][a,b][a,b] 的一个开覆盖那么其必存在一个子集是 [a,b][a,b][a,b] 的有限覆盖。 覆盖需要是开的区间必须是闭的。
可数集(P62) 若一个数集 EEE 只有有限个元素或可以将它的所有元素排成一个序列则称其为一个可数集。 聚点(P62) 对于一个实数集 EEE若对于 x∈Rx\in\Rx∈R∀δ0,U0(x,δ)∩E̸∅\forall \delta0,U_0(x,\delta)\cap E\not \emptyset∀δ0,U0(x,δ)∩E∅则称 xxx 是 EEE 的一个聚点。如果 EEE 的一个元素 yyy 不是 EEE 的聚点则称之为 EEE 的孤立点。 xxx 是 EEE 的聚点和以下命题等价 ∀δ0\forall \delta0∀δ0U(x,δ)U(x,\delta)U(x,δ) 中有 EEE 的无穷多个点。存在一个不重序列 {yn}⊆E\{y_n\}\subseteq E{yn}⊆Elimynx\lim y_nxlimynx 聚点原理(P62) 有界无穷集合 EEE 必然存在至少一个聚点。(P62) 这个感觉就不是很显然了。 可以用有限覆盖定理或闭区间套定理证明。
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(P64) 有界序列必存在收敛的子序列。 可以用聚点定理证明。
柯西序列柯西收敛准则(P65) 对于一个序列 {xn}\{x_n\}{xn}如果 ∀ε0,∃N,∀n,mN,∣xn−xm∣ε\forall \varepsilon0,\exists N,\forall n,mN,|x_n-x_m|\varepsilon∀ε0,∃N,∀n,mN,∣xn−xm∣ε那么就称其为一个柯西序列。 一个序列收敛的充要条件是它是一个柯西序列。 必要性显然充分性用到了波魏定理。
压缩映照原理(P67) 设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有定义f([a,b])⊂[a,b]f([a,b])\sub [a,b]f([a,b])⊂[a,b]且满足 ∣f(x)−f(y)∣≤q∣x−y∣,q∈(0,1),x,y∈[a,b]|f(x)-f(y)|\le q|x-y|,q\in (0,1),x,y\in [a,b]∣f(x)−f(y)∣≤q∣x−y∣,q∈(0,1),x,y∈[a,b]那么就存在唯一的 c∈[a,b]c\in [a,b]c∈[a,b]使得 f(c)cf(c)cf(c)c。 存在性可以通过构造一个 xn1f(xn)x_{n1}f(x_n)xn1f(xn) 然后通过柯西收敛准则证明唯一性显然。
上下极限判定(P70)
以下三个命题等价 hhh 是 {xn}\{x_n\}{xn} 的上极限。∀ε0,∃N,nN\forall \varepsilon0,\exists N,nN∀ε0,∃N,nN 时xnhεx_n h\varepsilonxnhε∀K,∃nKK,xnKh−ε\forall K,\exists n_KK,x_{n_K}h-\varepsilon∀K,∃nKK,xnKh−ε。存在 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个子序列 {xnk}\{x_{n_k}\}{xnk} 使得 lim{xnk}h\lim \{x_{n_k}\}hlim{xnk}h且对于任意子序列 {xnk}\{x_{n_k}\}{xnk}有 lim{xnk}≤h\lim \{x_{n_k}\}\le hlim{xnk}≤h。 证明思路1推22推33推1都不太难。 下极限相应同理。
定理2.5.2(P72) 若有界序列 {xn}\{x_n\}{xn} 由互不相同的数组成则其上极限 lim‾n→∞{xn}\overline{\lim}_{n\to \infty}\{x_n\}limn→∞{xn} 为其最大的聚点下极限 lim‾n→∞xn\underline{\lim}_{n\to \infty}x_nlimn→∞xn 为其最小的聚点。若 {xnk}\{x_{n_k}\}{xnk} 为 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个子序列则有lim‾xn≤lim‾xnk≤lim‾xnk≤lim‾xn\underline{\lim}x_n\le \underline{\lim}x_{n_k}\le \overline{\lim}x_{n_k}\le\overline{\lim}x_{n}limxn≤limxnk≤limxnk≤limxnlimxna\lim x_nalimxna 的充要条件是 lim‾xnlim‾xna\underline{\lim}x_n\overline{\lim}x_nalimxnlimxna。 第三条是我看到上下极限时最先想到的这个概念“存在的意义”。
上下极限的保序性P74 xn≤yn,n1,2,3,...x_n\le y_n,n1,2,3,...xn≤yn,n1,2,3,...那么就有 lim‾xn≤lim‾yn,lim‾xn≤lim‾yn\underline {\lim }x_n\le \underline{\lim } y_n,\overline {\lim }x_n\le \overline{\lim } y_nlimxn≤limyn,limxn≤limyn。lim‾(−xn)−lim‾xn,lim‾(−xn)−lim‾xn\underline{\lim}(-x_n)-\overline{\lim}x_n,\overline{\lim}(-x_n)-\underline{\lim}x_nlim(−xn)−limxn,lim(−xn)−limxn。lim‾xnlim‾yn≤lim‾(xnyn)≤lim‾xnlim‾yn≤lim‾(xnyn)≤lim‾xnlim‾yn\underline{\lim}x_n\underline{\lim}y_n\le \underline{\lim}(x_ny_n)\le \underline{\lim}x_n\overline{\lim}y_n\le \overline{\lim}(x_ny_n)\le\overline{\lim}x_n\overline{\lim}y_nlimxnlimyn≤lim(xnyn)≤limxnlimyn≤lim(xnyn)≤limxnlimynlim‾xn⋅lim‾yn≤lim‾(xn⋅yn)≤lim‾xn⋅lim‾yn≤lim‾(xn⋅yn)≤lim‾xn⋅lim‾yn\underline{\lim}x_n\cdot \underline{\lim}y_n\le \underline{\lim}(x_n\cdot y_n)\le \underline{\lim}x_n\cdot \overline{\lim}y_n\le \overline{\lim}(x_n\cdot y_n)\le\overline{\lim}x_n\cdot \overline{\lim}y_nlimxn⋅limyn≤lim(xn⋅yn)≤limxn⋅limyn≤lim(xn⋅yn)≤limxn⋅limyn 施笃兹定理P80 若 {bn}\{b_n\}{bn} 为一个严格递增且趋近于正无穷的序列且 liman−an−1bn−bn−1A\lim\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b{n-1}}Alimbn−bn−1an−an−1A就有 limanbnA\lim \frac{a_n}{b_n}AlimbnanA。 其中 AAA 可以为正负无穷或有界实数。
定理3.1.7函数极限与序列极限(P96) 若函数 f(x)f(x)f(x) 在 U0(x0,δ0)U_0(x_0,\delta_0)U0(x0,δ0) 上有定义那么 limx→x0f(x)A\lim_{x\to x_0} f(x)Alimx→x0f(x)A 的充要条件为对于任意 U0(x0,δ0)U_0(x_0,\delta_0)U0(x0,δ0) 的序列 {xn}\{x_n\}{xn}limn→∞xnx0\lim _{n\to \infty}x_nx_0limn→∞xnx0有 limn→∞f(xn)A\lim_{n\to\infty}f(x_n)Alimn→∞f(xn)A。 用途举例证明 f(x)sin1xf(x)\sin\frac 1 xf(x)sinx1 无极限。
极限存在性定理(P97) 如果一个函数单调那么它必存在单侧广义极限。 定理3.1.8 若 f(x)f(x)f(x) 在 U0(x0,δ0)U_0^(x_0,\delta_0)U0(x0,δ0) 有定义且单调上升则有 limx→x00inf{f(x):x∈U0(x0,δ0)}\lim_{x\to x_00}\inf\{f(x):x\in U_0^(x_0,\delta_0)\}limx→x00inf{f(x):x∈U0(x0,δ0)}。 若 f(x)f(x)f(x) 在 U0(x0,δ0)U_0^(x_0,\delta_0)U0(x0,δ0) 有定义且单调下降则有 limx→x00sup{f(x):x∈U0(x0,δ0)}\lim_{x\to x_00}\sup\{f(x):x\in U_0^(x_0,\delta_0)\}limx→x00sup{f(x):x∈U0(x0,δ0)}。 柯西收敛准则P98 若 f(x)f(x)f(x) 在 U0(x0,δ0)U_0(x_0,\delta_0)U0(x0,δ0) 有定义那么 limx→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x)limx→x0f(x) 存在的充要条件为∀ε0\forall \varepsilon0∀ε0∃δ0\exists \delta0∃δ0使得 ∀x′,x′′∈U0(x0,δ),∣f(x′)−f(x′′)∣ε\forall x,x\in U_0(x_0,\delta),|f(x)-f(x)|\varepsilon∀x′,x′′∈U0(x0,δ),∣f(x′)−f(x′′)∣ε。 和序列的柯西收敛准则基本是一个东西。
两个重要极限P99 limx→0xsinx1\lim_{x\to 0}\frac {x} {\sin x}1limx→0sinxx1。limx→∞(11x)xe\lim_{x\to \infty}(1\frac 1 x)^xelimx→∞(1x1)xe。 函数连续与间断的定义(P103) 设 f(x)f(x)f(x) 在 U(x0,δ)U(x_0,\delta)U(x0,δ) 有定义若 limx→x0f(x)f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)f(x_0)limx→x0f(x)f(x0)则称 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 连续且 x0x_0x0 为 f(x)f(x)f(x) 的一个连续点否则称 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 间断且 x0x_0x0 为 f(x)f(x)f(x) 的一个间断点。 间断点分类P105 设 x0x_0x0 为 f(x)f(x)f(x) 的间断点。 若 f(x00)f(x_00)f(x00) 与 f(x0−0)f(x_0-0)f(x0−0) 都存在此时称 x0x_0x0 为 f(x)f(x)f(x) 的第一类间断点。此时若 f(x00)f(x0−0)≠f(x0)f(x_00)f(x_0-0)\ne f(x_0)f(x00)f(x0−0)f(x0)称其为可去间断点否则称其为 跳跃间断点。若 f(x00)f(x_00)f(x00) 与 f(x0−0)f(x_0-0)f(x0−0) 至少有一个不存在则称其为 f(x)f(x)f(x) 的第二类间断点。 其中的“存在”必须是有界实数不包括广义极限。
连续函数的性质(P108) 设 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处连续。 局部有界性存在 δ0\delta0δ0使得 f(x)f(x)f(x) 在 U(x0,δ)U(x_0,\delta)U(x0,δ) 上有界。局部保号性若 f(x)0f(x)0f(x)0则存在 δ0\delta0δ0使得
