做网站要用到ps吗,敏捷开发,中国哪里建设最多,服务类网站开发转载自 Matrix67: The Aha Moments 好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人#xff0c;今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识#xff0c;只介绍矩阵乘法和相关性质。 不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色…转载自 Matrix67: The Aha Moments 好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识只介绍矩阵乘法和相关性质。 不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵得到的结果是一个n行p列的矩阵其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵其结果是一个2行3列的矩阵。其中结果的那个4等于2*20*1 下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵得到一个1 x 2的矩阵 矩阵乘法的两个重要性质一矩阵乘法不满足交换律二矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢废话交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和枚举所有的k和l。经典题目1 给定n个点m个操作构造O(mn)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转 这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转两种情况旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置总共耗时O(mn)。假设初始时某个点的坐标为x和y下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来再乘以(x,y,1)即可一步得出最终点的位置。 经典题目2 给定矩阵A请快速计算出A^nn个A相乘的结果输出的每个数都mod p。 由于矩阵乘法具有结合律因此A^4 A * A * A * A (A*A) * (A*A) A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论当n为偶数时A^n A^(n/2) * A^(n/2)当n为奇数时A^n A^(n/2) * A^(n/2) * A 其中n/2取整。这就告诉我们计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如为了算出A^25的值我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果我们可以在计算过程中不断取模避免高精度运算。经典题目3 POJ3233 (感谢rmq) 题目大意给定矩阵A求A A^2 A^3 … A^k的结果两个矩阵相加就是对应位置分别相加。输出的数据mod m。k10^9。 这道题两次二分相当经典。首先我们知道A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如当k6时有 A A^2 A^3 A^4 A^5 A^6 (A A^2 A^3) A^3*(A A^2 A^3) 应用这个式子后规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A A^2 A^3即可得到原问题的答案。经典题目4 VOJ1049 题目大意顺次给出m个置换反复使用这m个置换对初始序列进行操作问k次置换后的序列。m10, k2^31。 首先将这m个置换“合并”起来算出这m个置换的乘积然后接下来我们需要执行这个置换k/m次取整若有余数则剩下几步模拟即可。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如将1 2 3 4置换为3 1 2 4相当于下面的矩阵乘法 置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴得意之时就是你灭亡之日别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。经典题目5 《算法艺术与信息学竞赛》207页2.1代数方法和模型[例题5]细菌版次不同可能页码有偏差 大家自己去看看吧书上讲得很详细。解题方法和上一题类似都是用矩阵来表示操作然后二分求最终状态。经典题目6 给定n和p求第n个Fibonacci数mod p的值n不超过2^31 根据前面的一些思路现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,ab)。每多乘一次这个矩阵这两个数就会多迭代一次。那么我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想这个2 x 2的矩阵很容易构造出来 经典题目7 VOJ1067 我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项其对应矩阵的构造方法为在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1矩阵第n行填对应的系数其它地方都填0。例如我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) 4f(n-1) – 3f(n-2) 2f(n-4)的第k项 利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。经典题目8 给定一个有向图问从A点恰好走k步允许重复经过边到达B点的方案数mod p的值 把给定的图转为邻接矩阵即A(i,j)1当且仅当存在一条边i-j。令CA*A那么C(i,j)ΣA(i,k)*A(k,j)实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数枚举k为中转点。类似地C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理如果要求经过k步的路径数我们只需要二分求出A^k即可。经典题目9 用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案M5N2^31输出答案mod p的结果 我们以M3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满将状态转转载于:https://www.cnblogs.com/liudehao/p/4148553.html
