玉门市住房和城乡建设局网站,湛江网站建设的详细过程,网站建设内容是经营项目吗,重庆建设银行网站首页在我读高中的时候#xff0c;数学课程里是没有微积分的#xff0c;当时自学微积分#xff0c;用的是一种很简明的数学手册#xff0c;里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候#xff0c;怎么也想不明白这个 \( ye^x\) 的导数 \( y’e^x\) 是怎么求出来的。在当时那…在我读高中的时候数学课程里是没有微积分的当时自学微积分用的是一种很简明的数学手册里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候怎么也想不明白这个 \( ye^x\) 的导数 \( y’e^x\) 是怎么求出来的。在当时那个信息闭塞的时代我没有办法直接找到问题的答案所有的证明都得依靠自己努力思考才能使很多问题的证明在一定程度上得以补全这其中包括指数函数求导、牛顿-莱布尼茨公式、反正切函数的泰勒展式等等都是通过自己的思考来做出的所谓的”证明”当然都是不严格的但大多数只缺少其中的某个环节罢了比如 \( \arctan xx-\frac{x^3}{3}\frac{x^5}{5}-\dots\)当时想到了两边同时求导只是对两个重要的环节苦思不解幂级数逐项积分的合理性和 \( x1\) 时怎么证明右边还等于左边。\( ye^x\) 的导数也是自己想出的”证明”因 \( \frac{\Delta y}{\Delta x}e^x\cdot\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\)所以只需要证明极限\( \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}1\)即可。怎么证明这个极限是 1 呢那就要用到 “e” 这个数的定义了因为不是所有指数函数的导数都是它本身的。那么 “e” 表示什么呢它是一个极限\( \displaystyle e\lim_{n\to\infty}(1\frac{1}{n})^n\)我把它换一种写法表示\( \displaystyle e\lim_{\Delta x\to 0}(1\Delta x)^\frac{1}{\Delta x}\)这样这里的 \( \Delta x\) 正好和导数极限里的指数 \( \Delta x\) 相互抵消得到\( \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(1\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}\cdot \Delta x}-1}{\Delta x}1\)这样就算”证明”出了这个极限确实是1。当时也有些顾虑不知道这样的替换是否合理但对于一个高中生能用一种自己可以接受的方式去理解这个东西已经很不错了。到大学之后ε-δ语言成了数学学院师生们炫耀的资本严格性是权威教授们手里挥舞的大棒我自己对这个问题的想法被告知”不严格”不得不抛弃掉。取而代之的是一般数学分析教材中的做法先求另一个重要极限\( \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1x)}{x}\lim_{x \to 0}\ln(1x)^\frac{1}{x}1\)然后再设 \( xe^t-1\)令 \( t \to 0\) 则 \( x \to 0\)这样就得出了\( \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{t}{e^t-1}\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1x)}{x}1\)不可否认的是这种方法非常巧妙也确实是这个问题的最简洁的证法但总觉得在思路上显得不够直接有点绕难道求一个关于指数函数的极限就必须先绕到对数那里再通过变量替换绕回来吗自己的思路就真的一无是处无法补救吗就没有一个想法上更直接的同时也很严格的证明指数函数导数的方式吗一直对这个问题耿耿于怀直到最近在复习数学分析的时候有了一些思路应该可以不借助对数函数而直接求出指数函数的导数而这思路就是把高中时那个粗浅的证明方法的漏洞补全。我们依然从 e 的定义开始。众所周知e 在通常的分析教材中被定义为\( \displaystyle e\lim_{n \to \infty}(1\frac{1}{n})^n\)右边的极限的存在性是教材中单调有界原理的例题。我们这里稍微用一点小技巧先证明序列 \( (1\frac{1}{n})^n\) 严格递增序列 \( (1\frac{1}{n})^{n1}\) 严格递减且有下界从而有极限而这两个序列极限相等定义为常数 e这样既可以避免繁琐的二项式展开又可以证明一个重要不等式\( (1\frac{1}{n})^n证明当 \( n1\) 时利用均值不等式有\( \displaystyle \frac{1\frac{1}{n}}{1\frac{1}{n-1}}\frac{n-1\frac{n-1}{n}}{n}(\frac{n-1}{n})^\frac{1}{n}\)因此\( \displaystyle(1\frac{1}{n})^n(1\frac{1}{n-1})^{n-1}\)同样的\( \displaystyle \frac{1\frac{1}{n-1}}{1\frac{1}{n}}\frac{n\frac{n}{n-1}}{n1}(\frac{n}{n-1})^\frac{1}{n1}\)因此\( \displaystyle(1\frac{1}{n-1})^n(1\frac{1}{n})^{n1}\)而 \( (1\frac{1}{n})^{n1}\) 有一个自然的下界 1从而这个序列有极限。那么显然 \( (1\frac{1}{n})^n\) 也有极限并且两个序列的极限相等记为 e且由于它们的单调性有\( \displaystyle(1\frac{1}{n})^n证毕。利用这个不等式我们可以证明\( \displaystyle\lim_{n \to \infty}n(e^\frac{1}{n}-1)1\)证明设 \( a_n(1\frac{1}{n})^n,b_n(1\frac{1}{n})^{n1},f(x,n)n(x^\frac{1}{n}-1)\)那么\( 0接下来就是研究右边这个关于 n 的极限设\( (1\frac{1}{n})^\frac{1}{n}-1t\)那么根据伯努力不等式有\( 1\frac{1}{n}(1t)^n \ge 1nt\)从而有 \( nt \le \frac{1}{n}\)因此有\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}(f(e,n)-f(a_n,n))0\)。因为 \( f(a_n,n)1\)所以 \( \lim_{n \to \infty}f(e,n)1\)这就证明了结论。进一步的将离散的变量 n 变为连续变量 x再变为倒数 1/t这些步骤比较简单不一一赘述。8月31日更新昨天又想到一种新的做法也是不需要对数函数的。根据幂函数在 \( (0,\infty)\) 的连续性和 \( \lim_{x\to \infty}(1\frac{1}{x})^xe\) 有\( \displaystyle \forall t \in \mathbf R, \lim_{n \to \infty}(1\frac{t}{n})^ne^t\)用这个事实可以把要求的极限写成\( \displaystyle \lim_{t \to 0}\lim_{n \to \infty}\frac{(1\frac{t}{n})^n-1}{t}\)做不等式估计当 \( |t|1\) 时有\( \displaystyle \left| \frac{(1\frac{t}{n})^n-1}{t}-1 \right|\left| \frac{\mathrm C_n^2}{n^2}t\dots\frac{\mathrm C_n^n}{n^n}t^{n-1} \right|依次令 \( n \to \infty\) 和 \( t \to 0\) 可得结论。进一步的一般的数学分析教材中都会在数列极限部分证明\( \displaystyle e11\frac{1}{2!}\dots\frac{1}{m!}\cdots\)用完全相同的方法可以证明当 \( t \ge 0\) 时\( e^t\) 的麦克劳林展式也成立\( \displaystyle e^t1t\frac{t^2}{2!}\dots\frac{t^m}{m!}\cdots\)这是不用微分学证明的级数展开式。可惜的是我现在没有找到 \( t0\) 时的简洁证法。可以利用幂级数取倒数的方法但这种方法一般的数学分析教程里没有。
