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1.树概念及结构
1.1树的概念 1.2 树的相关概念
1.3 树的表示
2.二叉树概念及结构
2.1概念
2.2 特殊的二叉树
2.4 二叉树的存储结构
3.二叉树顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构
3.2 堆的概念及结构
1.树概念及结构
1.1树的概念
前面我们学习的都是组成简…目录
1.树概念及结构
1.1树的概念 1.2 树的相关概念
1.3 树的表示
2.二叉树概念及结构
2.1概念
2.2 特殊的二叉树
2.4 二叉树的存储结构
3.二叉树顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构
3.2 堆的概念及结构
1.树概念及结构
1.1树的概念
前面我们学习的都是组成简单的结构它们存在一些优缺点。
例如顺序表它的本质是数组 链表 我们容易发现顺序表和链表本质上是互补的数据结构。 数组可以看作数据结构的一种基础在它之上进行各种“加工”能够产生多种复杂的数据结构。 上面提到的是简单的结构线性表下面我们将认识更为复杂的结构二叉树多叉树。 为什么叫树因为它的结构倒过来的形状像一棵树。 树是一种 非线性 的数据结构它是由 n n0 个有限结点组成一个具有层次关系的集合 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的 。 有一个 特殊的结点称为根结点 根节点没有前驱结点 除根节点外 其余结点被分成 M(M0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm 其中每一个集合 Ti(1 i m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有 0 个或多个后继 因此 树是 递归定义 的。 为什么称树是递归定义的 因为递归定义是将大问题一步一步化成类似的小问题最后解决并逐步返回的而树也能拆成若干个子树最终拆到叶节点就不能再拆了。
注意树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构 1.2 树的相关概念 节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度 如上图A的度为6 叶节点或终端节点 度为0的节点 称为叶节点 如上图 B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点 非终端节点或分支节点 度不为0 的节点 如上图 D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点 双亲节点或父节点 若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点 如上图 A 是 B 的父节点 孩子节点或子节点 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点 如上图 B 是 A 的孩子节点 亲兄弟节点 具有相同父节点 的节点互称为亲兄弟节点 如上图 B 、 C 是兄弟节点 树的度 一棵树中 最大的节点的度 称为树的度 如上图树的度为 6 节点的层次 从根开始定义起 根为第1层根的子节点为第2层以此类推 树的高度或深度 树中节点的最大层次 如上图树的高度为 4 堂兄弟节点 双亲在同一层(非同一个 的节点互为堂兄弟如上图 H 、 I 互为兄弟节点 节点的祖先 从根到该节点所经分支上的所有节点如上图 A 是所有节点的祖先 子孙 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是 A 的子孙 森林 由 m m0 棵互不相交的树的集合称为森林 1.3 树的表示
树的存储方式 树结构相对线性表就比较复杂了要存储表示起来就比较麻烦了既然保存值域也要保存结点和结点之间 的关系实际中树有很多种表示方式如双亲表示法孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。 孩子表示法 兄弟孩子表示法
typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};
如果想要找到一个节点的所有孩节点 先通过A节点的第一个孩子指针找到它的第一个孩节点再通过这个孩节点的下一个兄弟指针找到下一个兄弟重复找兄弟的过程直到找不到兄弟下一个兄弟指针为空A的下一个兄弟指针也为空。
双亲表示法
设下标 -1 代表没有父亲节点 两个节点在不在同一棵树如何判断 找根根相同则在同一棵树。 2.二叉树概念及结构
2.1概念 一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合 : 1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 注意对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的 从上图可以看出 1. 二叉树不存在度大于 2 的结点最多两个孩子也可以是一个或零个。 2. 二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树。 2.2 特殊的二叉树 1. 满二叉树一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说如果一个二叉树的层数为K且结点总数是 则它就是满二叉树。 高度为 h 的满二叉树有 F(h)2^h-1 个节点。 相反假设一颗满二叉树的节点数为N个那么 N2^h-1它就有 hlog2(N1)层。 2. 完全二叉树完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。假设它的高度为 h前 h-1 层是满的最后一层不一定满但从左到右是连续的 假设完全二叉树的高度为 h 它的节点数范围是 [2^(h-1)2^h -1]最少情况为 h-1 层多一个节点最多为满二叉树 2.4 二叉树的存储结构
将二叉树以数组的方式一层一层的存在数组中
对满二叉树完全二叉树适合 | 对非满二叉树不适合用数组存储 3.二叉树顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构 普通的二叉树是不适合用数组来存储的因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事一个是数据结构一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。 3.2 堆的概念及结构 堆在内存中的区域划分 堆的性质 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值 小堆树中的任意一个父亲都孩子 大堆树中的任意一个父亲都孩子 堆总是一棵完全二叉树 。 例 画出 A 选项的堆图答案显而易见。 底层堆的物理存储结构上是数组逻辑结构想象出来的上是完全二叉树。 大小堆的应用
