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线性规划对偶问题的理解1.弱对偶2.强对偶曾在上课的时候多次遇到这个求一个问题的对偶形式大多是硬套公式。记一次忘一次。后来在苏大佬的博客中看到了相关阐述感觉豁然开朗可以记得就一些了遂做笔记记之。原文详见https://spaces.ac.cn/archives/6280在规划和优化问题中对偶形式 是一个非常重要的概念。一般情况下对偶是一种变换能够将原问题转换成一个等价的看起来几乎不一样的新问题 原问题⟶对偶变换对偶问题原问题\overset{\text{对偶变换}}{\longrightarrow}对偶问题原问题⟶对偶变换对偶问题
线性规划的一般目标式为 minx{cTx∣Axb,x≥0}(1)\min_x\{c^Tx|Axb, \ x\ge0\}\tag{1}xmin{cTx∣Axb, x≥0}(1)
在离散化情况下x,c∈Rnx,c \in \mathbb{R^n}x,c∈Rn(行向量)b∈Rmb \in \mathbb{R}^mb∈Rm, A∈Rm×nA\in \mathbb{R}^{m\times n}A∈Rm×n, AxbAxbAxb对应为m个等式约束。
1.弱对偶
假定式 (1)的最小值在x∗x^*x∗处取得那么将有: Ax∗bAx^*bAx∗b
在其两边个乘上一个y∈Rmy\in\mathbb{R}^my∈Rm,使其变成一个标量 yTAxyTb(2)y^TAxy^Tb\tag{2}yTAxyTb(2)
假设1 yTAcTy^TA c^TyTAcT那么有(x非负) yTAx∗cTx∗y^TAx^* c^Tx^*yTAx∗cTx∗
带入(2)式有(x在左边不见了) yTbcTx∗y^Tbc^Tx*yTbcTx∗
也就是说在假设1的条件下任意的yTby^TbyTb总是不大于(1)式即使是最大的yTby^TbyTb也一样 maxy{yTb∣yTAcT}≤minx{cTx∣ATxb,x≥0}(3)\max_y\{y^Tb | y^TA c^T\} \le \min_x\{c^Tx|A^Tx b, x\ge0\}\tag{3}ymax{yTb∣yTAcT}≤xmin{cTx∣ATxb,x≥0}(3)
即左边的最大值 不大于 右边的最小值。弱对偶只是找到了原来问题的下界就是那个极大值。这个下界可以给优化问题提供一个近似目标 用于计算。
在构造的过程中 原来的约束构了新的目标。将自变量消除了
2.强对偶
强对偶形式是说(3)式中的等号成 即 maxy{yTb∣yTAcT}minx{cTx∣ATxb,x≥0}(3)\max_y\{y^Tb | y^TA c^T\} \min_x\{c^Tx|A^Tx b, x\ge0\}\tag{3}ymax{yTb∣yTAcT}xmin{cTx∣ATxb,x≥0}(3)
强对偶形式的推到需要用到Farkas引理从等式约束中得出的得出的一个结论矩阵A和向量b 基本思路是max 可以任意程度的接近于min详见苏大神的博文。
结论强弱对偶的变换形式是一致的区别就在于等号是否能够取得到
