d0906网站建设与管理,广州企业网站模板购买,怎么样给自己做网站,js 访问网站统计刷新不增加次数第15讲 子空间投影Projections onto subspaces网易公开课open.163.com投影#xff08;射影#xff09;Projections投影问题的几何解释就是#xff1a;如何在向量a的方向上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出#xff0c;这个距离最近的点p就位于穿过b点并与向量a正…第15讲 子空间投影Projections onto subspaces网易公开课open.163.com投影射影Projections投影问题的几何解释就是如何在向量a的方向上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出这个距离最近的点p就位于穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是b在a上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似则长度eb-p就是这一近似的误差。因为p在向量a的方向上因此可以令pxa而因为它和e正交我们可以得到方程 。解得x p 。如果b变为原来的2倍则p也变为原来的2倍。而如果a变为原来的2倍p不发生变化。从几何上和计算中都会得到验证。本单元前半部分的核心内容就是射影。上一单元我们最核心的内容是认识消元法对于线性方程组的意义并用矩阵的数学语言实现了消元过程在那里最核心的策略就是利用矩阵乘法中的行操作来实现这一过程。这里面临类似的情况我们有一个明确的几何目标要将向量投影到已知子空间而这里的策略就是误差向量和已知子空间正交即两者求点积为0。投影矩阵 Projections matrix我们将投影问题用投影矩阵的方式进行描述即为pPb其中P为投影矩阵。p 。则有P 。其分子 是一个矩阵而分母 是一个数。观察这个矩阵可知矩阵P的列空间就是向量a所在的直线矩阵的秩是1。投影矩阵P是一个对称矩阵。另一方面如果做两次投影则有 这是因为第二次投影还在原来的位置。因此矩阵P有如下性质 。为什么要投影 Why Project如前所述方程Axb有可能无解我们需要得到方程的“最优解”。这里的问题在于向量Ax一定在矩阵A的列空间之内但是b不一定因此我们希望将b投影到A的列空间得到p将问题转化为求解 。在高维投影 Projection in higher dimensions在R3空间内如何将向量b投影到它距离平面最近的一点p如果a1和a2构成了平面的一组基则平面就是矩阵A[a1 a2]的列空间。已知向量p在平面内则有p 。而 与投影平面正交重点因此e与a1和a2均正交因此可以得到 并且 。因为a1和a2分别为矩阵A的列向量即和为矩阵的行向量所以将两个方程式写成矩阵形式即为。这与一维投影的方程形式相同。向量 存在于矩阵的零空间N()里从上一讲讨论子空间的正交性可知向量e与矩阵A的列空间正交这也正是方程的意义。将方程改写可得。两侧左乘得到因为矩阵A不是方阵无法简单的用 对投影矩阵公式进行化简。若A是可逆方阵则化简得到PI。此时A的列空间就是整个Rn空间b到这个空间的投影就是其本身投影矩阵等于单位阵。对 用矩阵乘法的结合律和矩阵乘积的转置公式可以证明投影矩阵的性质 。最小二乘法 Least Squares应用投影矩阵求方程组最优解的方法最常用于“最小二乘法”拟合曲线。有三个数据点{(1,1), (2,2), (3,2)}求直线方程bCDt要求直线尽量接近于三个点。把三个点的数据代入方程则有C D1C2D2C3D2矩阵形式为 这个的方程Axb是无解的解决办法就是求其最优解即方程的解。
