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求前束范式的一般步骤#xff1a;
利用等值公式消去“ → \rightarrow →”和“ ↔ \leftrightarrow ↔”否定深入改名前移量词
仅含有全称量词的前束范式称为SKOLEM标准形。 SKOLEM标准形的求解算法#xff1a;
先求谓词演算公式的前束范式使用n元函数干掉存在…数理逻辑
求前束范式的一般步骤
利用等值公式消去“ → \rightarrow →”和“ ↔ \leftrightarrow ↔”否定深入改名前移量词
仅含有全称量词的前束范式称为SKOLEM标准形。 SKOLEM标准形的求解算法
先求谓词演算公式的前束范式使用n元函数干掉存在量词从左至右重复上述过程直至公式中不含有存在量词
量词消去/引入规则
全称量词消去规则全称量词引入规则存在量词消去规则存在量词引入规则
集合论
空集是唯一的 幂集定义 A是一个集合存在一个集合它是由A的所有子集为元素构成的集合称它为集合A的幂集合记为P(A)也记为 2 A 2^A 2A。 P({Ø,{Ø}}){Ø,{Ø},{{Ø}}, {Ø,{Ø}}} A是一个含有n个元素的集合则幂集 2 A 2^A 2A 中A的子集总数为 2 n 2^n 2n。 集合的基本运算 并运算交运算相对补运算差运算绝对补运算补运算对称差
加法公式 ∣ A 1 ∪ A 2 ∣ ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ − ∣ A 1 ∩ A 2 ∣ |A_1\cup A_2||A_1||A_2|-|A_1\cap A_2| ∣A1∪A2∣∣A1∣∣A2∣−∣A1∩A2∣ 减法公式 ∣ A − B ∣ ∣ A ∣ − ∣ A ∩ B ∣ |A-B||A|-|A\cap B| ∣A−B∣∣A∣−∣A∩B∣ 包含排斥原理多退少补公式 集合关系 设是从到的一个二元关系即 R ⊆ A × B R\subseteq A\times B R⊆A×B 若 R ∅ R\varnothing R∅称为空关系。 若 R A × B RA\times B RA×B称为全域关系。 当AB时将全域关系记作 E A E_A EA即 E A A 2 E_AA^2 EAA2 当AB时记 I A { x , x ∣ x ∈ A } I_A\{ x,x|x\in A \} IA{x,x∣x∈A}称之为A上的恒等关系。 F ∘ G { x , y ∣ ∃ z ( x , z ∈ G ∧ z , y ∈ F ) } F\circ G\{ x,y|\exist z(x,z\in G\wedgez,y\in F) \} F∘G{x,y∣∃z(x,z∈G∧z,y∈F)} 显然 F ∘ G ⊆ A × F F\circ G\subseteq A\times F F∘G⊆A×F是一个从A到C的二元关系称之为F与G的合成关系也称为复合关系。 二元关系的表示方法 有序二元组表关系图关系矩阵 域、限制、像 设A和B是两个集合R是从A到B的一个二元关系即 R ⊆ A × B R\subseteq A\times B R⊆A×B。令 d o m R { x ∣ ∃ y ( x , y ∈ R ) } domR\{ x| \exist y(x,y\in R) \} domR{x∣∃y(x,y∈R)} r a n R { y ∣ ∃ x ( x , y ∈ R ) } ranR\{ y|\exist x(x,y\in R) \} ranR{y∣∃x(x,y∈R)} f l d R d o m R ∪ r a n R fldRdomR\cup ranR fldRdomR∪ranR 分别称之为R的定义域、值域、域。 R R R在 A ′ A A′上的限制 R ↾ A ′ { x , y ∣ x , y ∈ F ∧ x ∈ A ′ } R\upharpoonright A\{ x,y|x,y\in F\wedge x\in A \} R↾A′{x,y∣x,y∈F∧x∈A′} R R R在 A ′ A A′上的像 R [ A ′ ] r a n ( R ↾ A ′ ) R[A]ran(R\upharpoonright A) R[A′]ran(R↾A′) d o m R − 1 r a n R domR^{-1}ranR domR−1ranR r a n R − 1 d o m R ranR^{-1}domR ranR−1domR 复合的逆等于逆的复合但次序要交换 关系的性质 自反性反自反性对称性反对称性传递性 等价关系、等价类、商集 等价关系自反、对称、传递 若R是非空集合A上的等价关系x是A中任意一个元素令 [ x ] R { y ∣ x ∈ A ∧ x , y ∈ R } [x]_R\{y |x\in A\wedgex,y\in R \} [x]R{y∣x∈A∧x,y∈R} [ x ] R [x]_R [x]R为x关于R的等价类简记为 [ x ] [x] [x]。是一个值的集合。 集合A关于等价关系R的商集 A / R { [ X ] R ∣ x ∈ A } A/R\{ [X]_R|x\in A \} A/R{[X]R∣x∈A} x叫代表元 A{1,2,3} R{1,1, 2,2, 3,3, 1,2, 2,1} A / R { [ 1 ] R , [ 2 ] R , [ 3 ] R } { { 1 , 2 } , { 3 } } A/R\{ [1]_R,[2]_R,[3]_R \}\{ \{1,2\},\{3\} \} A/R{[1]R,[2]R,[3]R}{{1,2},{3}} 集合的划分 若给定集合A上的一个划分π可以在A上定义一个二元关系R使得R成为A上的一个等价关系且有 A / R π A/R\pi A/Rπ 偏序关系、偏序集 设A是一个非空集合R是A上的一个二元关系若R有自反性、反对称性、传递性则称R是A上的一个偏序关系。并称(A,R)是一个偏序集。 一个偏序集通常用符号 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)来表示 一个偏序集 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)包含集合A与集合A上的偏序关系 ≤ \leq ≤。
不允许 x ∈ ( A , ≤ ) x\in(A,\leq) x∈(A,≤)出现而仅有 x ∈ A x\in A x∈A或 x , y ∈ ≤ x,y\in\leq x,y∈≤。
谈到元素是从A中取讲到关系是在 ≤ \leq ≤中取。 对于任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,y∈A若 x ≤ y x\leq y x≤y或者 y ≤ x y\leq x y≤x则说x与y可比否则说x与y不可比。
A{1,2,3,4}R{1,1,2,2,3,3,4,4,1,2,1,3,1,4,2,4}
R是A上一个偏序关系。3与4不可比。 覆盖、哈斯图(Hasse Diagram) 设偏序集 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)A是一个有限集|A|n。 如果不存在 z ∈ A z\in A z∈A使得 x ≤ z x\leq z x≤z且 z ≤ y z\leq y z≤y那么称y覆盖x或称y盖住x。 哈斯图这个图形有n个顶点每一个顶点表示A中一个元素两个顶点x与y若有y覆盖x则点x在点y的下方且两点之间有一条直线相连结。 设A{{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,5},{3,6},{4,6},{0,3,6},{1,5,8},{0,3,4,6}} R是A上的一个偏序关系对于任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,y∈A x , y ∈ R x,y\in R x,y∈R当且仅当 x ⊆ y x\subseteq y x⊆y。 如果A中的任意两个元素都是可比的那么称 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)为全序集并称 ≤ \leq ≤为 A A A上的全序关系。 一个有限的偏序集一定有极大元和极小元但不一定有最大元和最小元。 设a和b是A中的两个元素。如果A一个元素c满足 a ≤ c a\leq c a≤c且 b ≤ c b\leq c b≤c说c是a和b的上界。 如果c是a和b的上界并且若存在a和b的任意一个上界d则有 c ≤ d c\leq d c≤d称c为元素a和b的最小上界least upper bound记为lub{a,b}c。 如果A一个元素c满足 c ≤ a c\leq a c≤a且 c ≤ b c\leq b c≤b说c是a和b的下界。 如果c是a和b的上界并且若存在a和b的任意一个下界d则有 d ≤ c d\leq c d≤c称c为元素a和b的最大下界greatest lower bound记为glba,bc。 若对于任意的元素a和b属于A在A中存在a和b的最小上界及最大下界则称 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)是一个格。
函数
设A和B是两个非空集合f是 A × B A\times B A×B的一个子集即 f ⊆ A × B f\subseteq A\times B f⊆A×B。若对于任意的x∊A存在唯一的 y ∈ B y\in B y∈B使得 x , y ∈ f x,y\in f x,y∈f则称f是从A到B的一个函数(映射)。 d o m f A domfA domfA r a n f ⊆ B ranf\subseteq B ranf⊆B
函数相等 f g ⇔ f ⊆ g ∧ g ⊆ f fg\Leftrightarrow f\subseteq g\wedge g\subseteq f fg⇔f⊆g∧g⊆f B A B^A BA读作“B上A”所有从A到B的函数构成的集合。 B A { f ∣ f : A → B } B^A\{ f|f:A\rightarrow B \} BA{f∣f:A→B} 如果 ∣ A ∣ m ( ≠ 0 ) |A|m(≠0) ∣A∣m(0) ∣ B ∣ n ( ≠ 0 ) |B|n(≠0) ∣B∣n(0)则 ∣ B A ∣ n m |B^A|n^m ∣BA∣nm。 像、像源集 设 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B A ′ ⊆ A A\subseteq A A′⊆A令 f ( A ′ ) { f ( x ) ∣ x ∈ A ′ } f(A)\{ f(x)|x\in A \} f(A′){f(x)∣x∈A′}称为 A ′ A A′在 f f f下的像。 当 A ′ A AA A′A时称 f ( A ′ ) f ( A ) r a n f f(A)f(A)ranf f(A′)f(A)ranf是函数的像值域 设 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B B ′ ⊆ B B\subseteq B B′⊆B令 f − 1 ( B ′ ) { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B ′ } ⊆ A f^{-1}(B)\{ x\in A|f(x)\in B \}\subseteq A f−1(B′){x∈A∣f(x)∈B′}⊆A称之为 B ′ B B′的像源集。 单射、满射、双射 f单射意味着 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⇒ x 1 x 2 f(x_1)f(x_2)\Rightarrow x_1x_2 f(x1)f(x2)⇒x1x2 若 r a n f f ( A ) B ranff(A)B ranff(A)B则 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是满射函数。 若f既是单射函数又是满射函数则称f是双射函数也叫一一对应的函数。 常函数、恒等函数恒等关系、单调函数 常函数值是个常数 恒等函数 I A ( x ) x I_A(x)x IA(x)x 单调函数 特征函数有就是1没有就是0 自然映射 g ( a ) [ a ] , ∀ a ∈ A g(a) [a],\forall a\in A g(a)[a],∀a∈A 设AB是两个集合若存在f:A→B且f是双射函数则称集合A与集合B的势相等记为|A||B| 设A为可数无限集记 ∣ A ∣ ℵ 0 |A|\aleph_0 ∣A∣ℵ0读作“阿列夫零” 复合函数、反函数 函数的复合二元关系的复合 反函数不等于二元关系的逆双射函数才有反函数 函数的逆关系不一定是个函数。 双射函数的逆关系是一个双射函数。
图 无序积、多重集 无序积中的元素是两个元素的集合{a,b}其中a与b不分次序。不宜将{a,b}记作为(a,b)一般认为(a,b)a,b中a与b是有次序的。 A B { { x , y } ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A\B\{\{x,y\}|x\in A\wedge y\in B\} AB{{x,y}∣x∈A∧y∈B}
约定一个多重集是一些对象的总体但这些对象不必不同。一个元素的重数是它在该多重集里出现的次数。集合仅是多重集中重数仅为0和1的特殊情况
{a,a,a,b,b,c} 无向图、有向图 设V是一个非空有限集合E是无序积VV的一个多重子集则称二元组G(V,E)是一个无向图。 设V是一个非空有限集合E是笛卡尔积V×V的一个多重子集则称二元组G(V,E)是一个无向图。 多重图、简单图 通常用G表示无向图D表示有向图也常用G泛指无向图和有向图。 V(G),E(G),V(D),E(D)G和D的顶点集, 边集 **n**阶图n个顶点的图 零图: E ∅ E\varnothing E∅ 平凡图1阶零图 空图 V ∅ V\varnothing V∅ 端点、相邻、关联次数、孤立点、环 在无向图中如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点则称这些边为平行边平行边的条数称为重数。 在有向图中如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点则称这些边为有向平行边简称平行边平行边的条数称为重数。 含平行边的图称为多重图。 既无平行边也无环的图称为简单图。 度、握手定理 点的入度、出度、度 图的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度、最大度、最小度 悬挂顶点、悬挂边 握手定理 Σ d ( v ) 2 ∣ E ∣ \Sigma d(v)2|E| Σd(v)2∣E∣ 在一个图中度数为奇数的顶点必有偶数个。 顶点度序列顶点度序列是一组正整数每一个数对应某一个顶点的度数。 完全图 n阶无向完全图每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图 n阶有向完全图每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图 子图、母图、生成子图、真子图、导出子图 补图 无向图的同构 任意两个同构的无向图一定有一个同样的顶点度序列。 一个无向简单图如果同构于它的补图则称这个图为自互补图。 通路、回路、图的连通性 通路顶点序列、边序列、顶点与边的交替序列。 称一条通路经过的边的多少为这条通路的长度。 称两个顶点间的最短通路的长度为该两个顶点间的距离。 称一条通路为简单通路如果它的每一条边都不重复出现。 称一条通路为初等通路如果它的每一个顶点都不重复出现。 若一个回路中边不重复出现则称之为简单回路。 若一个回路中顶点不重复出现则称之为初等回路又称之为圈。 环是长度为1的圈 两条平行边构成长度为2的圈 在无向简单图中, 所有圈的长度 ≥ 3 \geq3 ≥3 在有向简单图中, 所有圈的长度 ≥ 2 \geq2 ≥2 在n阶图G中若从顶点u到v ( u ≠ v ) (u\neq v) (uv)存在通路则从u到v存在长度小于等于 n − 1 n-1 n−1的初级通路 在n阶图G中若存在v到自身的简单回路则存在v到自身长度小于等于n的初级回路 连通无向图中有通路 可达有向图中有通路 连通是等价关系规定u与自身总连通 可达具有自反性和传递性规定u到自身总是可达的 连通图 连通分支、连通分支数 强连通 ⇒ \Rightarrow ⇒单向连通 ⇒ \Rightarrow ⇒弱连通 强连通与单向连通图判别法
D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路。D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路。 点割集(割点)点连通度 如果全部擦除 V ′ V V′中的顶点以及相应的边所剩下的图的连通分支个数增加并且部分擦除 V ′ V V′中的顶点以及相应的边所剩下的图的连通分支个数不变。 当点割集 V ′ V V′为单点集 { v 1 } \{ v_1 \} {v1}时称该顶点 v 1 v_1 v1为割点。 称点割集中最小顶点数 m i n ∣ V ′ ∣ min|V| min∣V′∣为点连通度。 边割集 (割边/桥)边连通度 如果全部擦除 E ′ E E′中的边所剩下的图的连通分支个数增加并且部分擦除 E ′ E E′中的边所剩下的图的连通分支个数不变。 当割边集 E ′ E E′为单点集 { e 1 } \{ e_1 \} {e1}时称该边 e 1 e_1 e1为割边或桥。 称边割集中的最小边数 m i n ∣ E ′ ∣ min|E| min∣E′∣为边连通度。 点连通度 ≤ \leq ≤边连通度 ≤ \leq ≤顶点最小度 无向图的关联矩阵
