固镇网站建设,北京百度网站排名优化,石家庄新闻发布会,wordpress怎么添加文件验证文章目录 对面积的曲面积分定义曲面积分存在性 使用面积分描述问题 性质计算闭曲面上的积分公式总结和应用例 例 对面积的曲面积分 和对弧长的曲线积分的定义相仿 对面积的曲面积分对应的一个问题模型式曲面质量 m m m lim λ → 0 ∑ i 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ s i \l… 文章目录 对面积的曲面积分定义曲面积分存在性 使用面积分描述问题 性质计算闭曲面上的积分公式总结和应用例 例 对面积的曲面积分 和对弧长的曲线积分的定义相仿 对面积的曲面积分对应的一个问题模型式曲面质量 m m m lim λ → 0 ∑ i 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}\mu(\xi_{i},\eta_{i})\Delta{s_{i}} λ→0lim∑i1nμ(ξi,ηi)Δsi(0)曲线形构件质量, μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)为曲线的线密度, Δ s i \Delta{s_{i}} Δsi曲线弧元素 m m m lim λ → 0 ∑ i 1 n μ ( ξ i , η i , ζ i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}\mu(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta{s}_{i} λ→0lim∑i1nμ(ξi,ηi,ζi)Δsi(0-1),空间曲线也是类似的 m m m lim λ → 0 ∑ i 1 n μ ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}\mu(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta{S}_{i} λ→0lim∑i1nμ(ξi,ηi,ζi)ΔSi(0-2),曲面构件质量, μ ( x , y , z ) \mu(x,y,z) μ(x,y,z)为面密度, Δ S i \Delta{S_i} ΔSi为曲面面积元素 空间曲面,可以兼容平面曲面 将此问题模型具体意义抽去,抽象出对面积的曲面积分的概念
定义
设去曲面 Σ \Sigma Σ是光滑的,函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上有界,把 Σ \Sigma Σ任意分成 n n n小块 Δ S i \Delta{S_i} ΔSi,( Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi同时也表示第 i i i块小曲面的面积),设 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i,\eta_i,\zeta_i) (ξi,ηi,ζi)是 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi上任意取定的一点 作乘积 f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{S}_{i} f(ξi,ηi,ζi)ΔSi, ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n)(1),并作和 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \sum_{i1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{S}_{i} ∑i1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi(1) 若个小块曲面的直径最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0时,式(1)的极限总是存在,且与曲面 Σ \Sigma Σ的分法和点 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i,\eta_i,\zeta_i) (ξi,ηi,ζi)的取法无关,则称此极限为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在曲面 Σ \Sigma Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记为 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS Note:曲面直径指曲面上任意两点间距离最大值 即: ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS lim λ → 0 ∑ i 1 n μ ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}\mu(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta{S}_{i} λ→0lim∑i1nμ(ξi,ηi,ζi)ΔSi(2) 其中 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)为被积函数, Σ \Sigma Σ为积分曲面
曲面积分存在性
当 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在光滑曲面 Σ \Sigma Σ上连续时,对面积的曲面积分存在讨论曲面积分时,总假设 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上连续
使用面积分描述问题
根据上述定义,面密度为连续函数 μ ( x , y , z ) \mu(x,y,z) μ(x,y,z)的光滑曲面 Σ \Sigma Σ的质量 m m m可以表示为 m ∬ Σ μ ( x , y , z ) d S m\iint\limits_{\Sigma}\mu(x,y,z)\mathrm{d}S mΣ∬μ(x,y,z)dS即 μ ( x , y , z ) \mu(x,y,z) μ(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上对面积的曲面积分
性质 可加性 若 Σ \Sigma Σ是分片光滑的,我们规定函数在 Σ \Sigma Σ上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和 Note:分片光滑指的曲面是指,由有限个光滑曲面组成的曲面 例如:设 Σ \Sigma Σ可以分为2片光滑曲面 Σ 1 , Σ 2 \Sigma_1,\Sigma_2 Σ1,Σ2,记为 Σ Σ 1 Σ 2 \Sigma\Sigma_1\Sigma_2 ΣΣ1Σ2, ∬ Σ 1 Σ 2 f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma_1\Sigma_2}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ1Σ2∬f(x,y,z)dS ∬ Σ 1 f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma_1}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ1∬f(x,y,z)dS ∬ Σ 2 f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma_2}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ2∬f(x,y,z)dS(3) 与第一类曲线积分类似,第一类曲面积分有类似的性质
计算
设: 积分曲面 Σ \Sigma Σ由方程 z z ( x , y ) zz(x,y) zz(x,y)(4)给出, Σ \Sigma Σ在 x O y xOy xOy上的投影区域为 D x y D_{xy} Dxy 函数 z z z z ( x , y ) z(x,y) z(x,y)在 D x y D_{xy} Dxy上具有连续偏导数,被积函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 Σ \Sigma Σ上连续 按对面积的曲面积分的定义: ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS lim λ → 0 ∑ i 1 n μ ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}\mu(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta{S}_{i} λ→0lim∑i1nμ(ξi,ηi,ζi)ΔSi,即式(2) ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) (ξi,ηi,ζi)是 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi上任意一点(4-1) 设 Σ \Sigma Σ上第 i i i小块曲面为 Δ S i \Delta{S_i} ΔSi(5),( Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi同时也表示第 i i i块小曲面的面积),在 x O y xOy xOy面上的投影区域为 ( Δ σ i ) x y (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} (Δσi)xy(6),(它的面积也记为 ( Δ σ i ) x y (\Delta{\sigma_{i}})_{xy} (Δσi)xy)则式(2)中的 Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi可以表示为二重积分(曲面面积公式): Δ S i \Delta{S}_{i} ΔSi ∬ ( Δ σ i ) x y 1 z x 2 ( x , y ) z y 2 ( x , y ) d x d y \iint\limits_{(\Delta{\sigma}_{i})_{xy}} \sqrt{1z_{x}^2 (x,y)z_{y}^{2}(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y (Δσi)xy∬1zx2(x,y)zy2(x,y) dxdy(7) 利用二重积分的中值定理,式(7)写作 Δ S i \Delta{S_{i}} ΔSi 1 z x 2 ( ξ i ′ , η i ′ ) z y 2 ( ξ i ′ , η i ′ ) ( Δ σ i ) x y \sqrt{1z_{x}^2 (\xi_{i},\eta_{i})z_{y}^{2}(\xi_{i},\eta_{i})} (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} 1zx2(ξi′,ηi′)zy2(ξi′,ηi′) (Δσi)xy(8) 其中 ( ξ i ′ , η i ′ ) (\xi_{i},\eta_{i}) (ξi′,ηi′)是小闭区域 ( Δ σ i ) x y (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} (Δσi)xy上的一点又由(4-1)可知, ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) (ξi,ηi,ζi)为 Σ \Sigma Σ上一点,所以 ζ i \zeta_{i} ζi z ( ξ i , η i ) z(\xi_{i},\eta_{i}) z(ξi,ηi)(9),从而 f ( ξ i , η i , ζ i ) f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}) f(ξi,ηi,ζi) f ( ξ i , η i , z ( ξ i , η i ) f(\xi_{i},\eta_{i},z(\xi_{i},\eta_{i}) f(ξi,ηi,z(ξi,ηi)(9-1)这里 ( ξ i , η i , 0 ) (\xi_{i},\eta_{i},0) (ξi,ηi,0)也是小闭区域 ( Δ σ i ) x y (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} (Δσi)xy上的点(10) 从而,由(8,9-1) ∑ i 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \sum_{i1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta{S}_i ∑i1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi ∑ i 1 n f ( ξ i , η i , z ( ξ i , η i ) ) 1 z x 2 ( ξ i ′ , η i ′ ) z y 2 ( ξ i ′ , η i ′ ) ( Δ σ i ) x y \sum_{i1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},z(\xi_{i},\eta_{i})) \sqrt{1z_{x}^2 (\xi_{i},\eta_{i})z_{y}^{2}(\xi_{i},\eta_{i})} (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} ∑i1nf(ξi,ηi,z(ξi,ηi))1zx2(ξi′,ηi′)zy2(ξi′,ηi′) (Δσi)xy(11)由于函数 f ( x , y , z ( x , y ) ) f(x,y,z(x,y)) f(x,y,z(x,y))和 1 z x 2 ( x , y ) z y 2 ( x , y ) \sqrt{1z_{x}^2 (x,y)z_{y}^{2}(x,y)} 1zx2(x,y)zy2(x,y) 都在闭区域 D x y D_{xy} Dxy上连续,将式(11)右端 ξ i ′ , η i ′ \xi_i,\eta_{i} ξi′,ηi′用 ξ i , η i \xi_{i},\eta_{i} ξi,ηi替换,得 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i , z ( ξ i , η i ) ) 1 z x 2 ( ξ i , η i ) z y 2 ( ξ i , η i ) ( Δ σ i ) x y \sum_{i1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},z(\xi_{i},\eta_{i})) \sqrt{1z_{x}^2 (\xi_{i},\eta_{i})z_{y}^{2}(\xi_{i},\eta_{i})} (\Delta{\sigma}_{i})_{xy} ∑i1nf(ξi,ηi,z(ξi,ηi))1zx2(ξi,ηi)zy2(ξi,ηi) (Δσi)xy(11-1)当 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0时,式(11)右端的极限和式(11-1)的极限相等,在假定条件下,这个极限存在,且等于二重积分: ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 z x 2 ( x , y ) z y 2 ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1z_{x}^2 (x,y)z_{y}^{2}(x,y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬f(x,y,z(x,y))1zx2(x,y)zy2(x,y) dxdy(12)因此式(11)左端的极限,即 lim λ → 0 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta{S}_i λ→0lim∑i1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S ∬Σf(x,y,z)dS也存在,且 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S ∬Σf(x,y,z)dS ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 z x 2 ( x , y ) z y 2 ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1z_{x}^2 (x,y)z_{y}^{2}(x,y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬f(x,y,z(x,y))1zx2(x,y)zy2(x,y) dxdy(13) 公式(13)就是把对面积的曲面积分化为二重积分的公式
闭曲面上的积分
当 Σ \Sigma Σ是闭曲面时,对其曲面积分记为 ∯ Σ \Large{\oiint\limits_{\Sigma}} Σ∬
公式总结和应用
计算 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S ∬Σf(x,y,z)dS时,只需要将函数 f f f的变量 z z z换为 z ( x , y ) z(x,y) z(x,y); d S \mathrm{d}S dS换为 G 1 z x 2 z y 2 d x d y G\sqrt{1z_{x}^{2}z_{y}^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y G1zx2zy2 dxdy再确定 Σ \Sigma Σ在 x O y xOy xOy面上的投影区域 D x y D_{xy} Dxy即可化为二重积分计算若积分曲面 Σ \Sigma Σ由方程 x x ( y , z ) xx(y,z) xx(y,z)或 y y ( z , x ) yy(z,x) yy(z,x)给出,可以类似地把对面积的积分化为二重积分计算
例
计算 I ∬ Σ 1 z d S I\iint\limits_{\Sigma} \frac{1}{z}\mathrm{d}S IΣ∬z1dS,其中 Σ \Sigma Σ是由:球面 x 2 y 2 z 2 a 2 x^2y^2z^2a^2 x2y2z2a2被平面 z h zh zh, ( 0 h a ) (0ha) (0ha)截出的顶部曲面解: Σ \Sigma Σ的方程表示为 z z z a 2 − x 2 − y 2 \sqrt{a^2-x^2-y^2} a2−x2−y2 Σ \Sigma Σ在 x O y xOy xOy面上的投影区域 D x y D_{xy} Dxy为圆形闭区域 { ( x , y ) ∣ x 2 y 2 ⩽ a 2 − h 2 } \set{(x,y)|x^2y^2\leqslant{a^2-h^2}} {(x,y)∣x2y2⩽a2−h2}, f ( x , y , z ( x , y ) ) f(x,y,z(x,y)) f(x,y,z(x,y)) 1 a 2 − x 2 − y 2 \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} a2−x2−y2 1 G 1 z x 2 z y 2 G\sqrt{1z_{x}^{2}z_{y}^{2}} G1zx2zy2 a a 2 − x 2 − y 2 \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} a2−x2−y2 a 由曲面积分公式: I I I ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) G d σ \iint\limits_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))G\mathrm{d}\sigma Dxy∬f(x,y,z(x,y))Gdσ ∬ D x y a a 2 − x 2 − y 2 d σ \iint\limits_{D_{xy}}\frac{a}{a^2-x^2-y^2}\mathrm{d}\sigma Dxy∬a2−x2−y2adσ 化为极坐标计算: I I I ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a 2 − h 2 a a 2 − r 2 r d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{a^2-h^2}}\frac{a}{a^2-r^2}r\mathrm{d}r ∫02πdθ∫0a2−h2 a2−r2ardr 2 π a − 1 2 [ ln ∣ a 2 − r 2 ∣ ] 0 a 2 − h 2 2\pi{a}\frac{-1}{2}[\ln|a^2-r^2|]_{0}^{\sqrt{a^2-h^2}} 2πa2−1[ln∣a2−r2∣]0a2−h2 2 π a ln a h 2\pi{a}\ln\frac{a}{h} 2πalnha
例
计算 I ∯ Σ x y z d S I{\oiint\limits_{\Sigma}} xyz\mathrm{d}S IΣ∬ xyzdS,其中 Σ \Sigma Σ由平面 x 0 , y 0 , z 0 x0,y0,z0 x0,y0,z0以及 x y z 1 xyz1 xyz1所围成的四面体的整个边界曲面解 该积分曲面 Σ \Sigma Σ是分片光滑的闭曲面可将其分为4个部分,并将:平面 x 0 , y 0 , z 0 x0,y0,z0 x0,y0,z0以及 x y z 1 xyz1 xyz1这4个平面上的部分分别记为 Σ 1 \Sigma_{1} Σ1, Σ 2 \Sigma_2 Σ2, Σ 3 \Sigma_3 Σ3, Σ 4 \Sigma_{4} Σ4令 I i I_i Ii ∯ Σ i x y z d S {\oiint\limits_{\Sigma_{i}}} xyz\mathrm{d}S Σi∬ xyzdS, i 1 , 2 , 3 , 4 i1,2,3,4 i1,2,3,4;于是 I I I I 1 I 2 I 3 I 4 I_1I_2I_3I_4 I1I2I3I4而在 Σ 1 , Σ 2 , Σ 3 \Sigma_1,\Sigma_2,\Sigma_3 Σ1,Σ2,Σ3上,被积函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) x y z xyz xyz均为0,从而 I 1 I 2 I 3 0 I_1I_2I_30 I1I2I30对于 Σ 4 \Sigma_{4} Σ4,其方程 z 1 − x − y z1-x-y z1−x−y;对应的投影 D x y D_{xy} Dxy { ( x , y ) ∣ x 0 , y 0 , x y 1 围成的闭区域 } \set{(x,y)|x0,y0,xy1围成的闭区域} {(x,y)∣x0,y0,xy1围成的闭区域} f ( x , y , z ( x , y ) ) f(x,y,z(x,y)) f(x,y,z(x,y)) x y ( 1 − x − y ) xy(1-x-y) xy(1−x−y) G G G 1 z x 2 z y 2 \sqrt{1z_{x}^{2}z_{y}^{2}} 1zx2zy2 1 1 1 \sqrt{111} 111 3 \sqrt{3} 3 由曲面积分公式: I 4 I_{4} I4 ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x 3 x y ( 1 − x − y ) d y \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{1-x}\sqrt{3}xy(1-x-y)\mathrm{d}y ∫01dx∫01−x3 xy(1−x−y)dy 3 6 ∫ 0 1 ( x − 3 x 2 3 x 3 − x 4 ) d x \frac{\sqrt{3}}{6}\int_{0}^{1}(x-3x^23x^3-x^4)\mathrm{d}x 63 ∫01(x−3x23x3−x4)dx 3 120 \frac{\sqrt{3}}{120} 1203
