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写在前面的话
针对于局部平面不完美的情况#xff0c;提出了一种对称式ICP目标函数#xff0c;相较于传统的ICP方法#xff0c;增大了收敛域#xff0c;提高了收敛速度。论文理论说明不甚清楚#xff0c;实验较少#xff0c;但代码开源。
理论
对称目标函数…对称式ICP
写在前面的话
针对于局部平面不完美的情况提出了一种对称式ICP目标函数相较于传统的ICP方法增大了收敛域提高了收敛速度。论文理论说明不甚清楚实验较少但代码开源。
理论
对称目标函数
在icp中对于一对对应点pq在点到法线的度量中 ( p − q ) ⋅ n q (3) (p-q) \cdot n_q\tag{3} (p−q)⋅nq(3) 只有当局部表面是一个完美平面时上式才成立因此提出一种标准对称式度量 ( p − q ) ⋅ ( n p n q ) . (4) (p-q) \cdot\left(n_pn_q\right) .\tag{4} (p−q)⋅(npnq).(4)
如图1所示只要p,q位于圆弧上此时向量p-q垂直于向量(np-nq)等式4恒成立。
图2中当 p 相对于 q 移动时只要存在某个与 p、q、np 和 nq 一致的圆弧性质 (p − q) · (np nq ) 0 就成立。点到面当 p 位于 q 和 nq 定义的平面中时无论 np 如何点到平面度量为零。 对于等式4而言在 3D 中也成立只要 p 和 q 及其法线与某个圆柱体一致方程 4 的计算结果就为零。 此外4.1 节研究了一个不同的属性只要 p 和 q 与位于它们之间的局部二阶曲面一致方程 4 也成立。虽然此约束仍然为 (p, np ) 相对于 (q, nq ) 移动提供了更大的自由度但它是比点到平面度量提供的“更有用”的自由形式。增大了收敛域更容易找到全局最优变换。 对于目标函数而言大多数先前的工作仅将刚体变换应用于其中一个表面例如点到面中的变换仅应用于 p但我们考虑变换的对称形式我们想象在一个固定的“中性”坐标中既不在p坐标系也不在q坐标系中评估度量并对 P 和 Q 应用相反的变换。因此我们可以将对称目标制定为 E s y m m − R N ∑ i [ ( R i − R − 1 q i t ) ⋅ ( R n p , i R − 1 n q , i ) ] 2 , (5) \mathcal{E}_{s y m m-R N}\sum_i\left[\left(\mathrm{R}_i-\mathrm{R}^{-1} q_it\right) \cdot\left(\mathrm{R} n_{p, i}\mathrm{R}^{-1} n_{q, i}\right)\right]^2,\tag{5} Esymm−RNi∑[(Ri−R−1qit)⋅(Rnp,iR−1nq,i)]2,(5) 我们还探索了该目标的一个更简单的版本其中法线不旋转。也就是说每个点对的最小化方向保持固定而点本身沿相反方向旋转 E s y m m ∑ i [ ( R i − R − 1 q i t ) ⋅ ( n p , i n q , i ) ] 2 (6) \mathcal{E}_{s y m m}\sum_i\left[\left(\mathrm{R}_i-\mathrm{R}^{-1} q_it\right) \cdot\left(n_{p, i}n_{q, i}\right)\right]^2\tag{6} Esymmi∑[(Ri−R−1qit)⋅(np,inq,i)]2(6) 为什么这是一个合理的简化考虑二维中两个单位长度向量的总和。对向量应用相反的旋转可以保留它们的总和的方向以便每个点对对目标的两个变体的贡献在一定程度上是相同的。在 3D 中并非所有旋转轴都如此但当 np 接近 nq 时这一点也接近正确。 4.3 节中的实验表明两个目标导致相似的收敛但 Esymm 导致更简单的推导和实现。因此本文的其余部分采用 Esymm 作为对称目标。
线性化
我们从 Rodrigues 旋转公式开始的线性化以了解旋转 R 对向量 v 的影响 R v v cos θ ( a × v ) sin θ a ( a ⋅ v ) ( 1 − cos θ ) (7) \mathrm{R} vv \cos \theta(a \times v) \sin \thetaa(a \cdot v)(1-\cos \theta)\tag{7} Rvvcosθ(a×v)sinθa(a⋅v)(1−cosθ)(7) 其中 a 和 θ 是旋转轴和角度。我们观察到(7) 中的最后一项与增量旋转角 θ 成二次方因此我们将其丢弃以进行线性化 R v ≈ v cos θ ( a × v ) sin θ cos θ ( v ( a ~ × v ) ) , (8) \begin{aligned} \mathrm{R} v \approx v \cos \theta(a \times v) \sin \theta \\ \cos \theta(v(\tilde{a} \times v)), \end{aligned}\tag{8} Rv≈vcosθ(a×v)sinθcosθ(v(a~×v)),(8)
where a ~ a tan θ \tilde{a}a \tan \theta a~atanθ. Substituting into (6), E symm ≈ ∑ i [ cos θ ( p i − q i ) ⋅ n i cos θ ( a ~ × ( p i q i ) ) ⋅ n i t ⋅ n i ] 2 ∑ i cos 2 θ [ ( p i − q i ) ⋅ n i ( ( p i q i ) × n i ) ⋅ a ~ n i ⋅ t ~ ] 2 , (9) \begin{aligned} \mathcal{E}_{\text {symm }} \approx \sum_i\left[\cos \theta\left(p_i-q_i\right) \cdot n_i\right. \\ \left.\cos \theta\left(\tilde{a} \times\left(p_iq_i\right)\right) \cdot n_it \cdot n_i\right]^2 \\ \sum_i \cos ^2 \theta {\left[\left(p_i-q_i\right) \cdot n_i\right.} \\ \left.\left(\left(p_iq_i\right) \times n_i\right) \cdot \tilde{a}n_i \cdot \tilde{t}\right]^2, \end{aligned}\tag{9} Esymm ≈i∑cos2θi∑[cosθ(pi−qi)⋅nicosθ(a~×(piqi))⋅nit⋅ni]2[(pi−qi)⋅ni((piqi)×ni)⋅a~ni⋅t~]2,(9) 其中 n i n p , i n q , i n_in_{p, i}n_{q, i} ninp,inq,i and t ~ t / cos θ \tilde{t}t / \cos \theta t~t/cosθ。现在我们对目标进行额外的近似加权 1/cos2 θ 对于较小的 θ 该值接近 1。 为了数值稳定性进一步考虑归一化等式9变为如下形式 ∑ i [ ( p ~ i − q ~ i ) ⋅ n i ( ( p ~ i q ~ i ) × n i ) ⋅ a ~ n i ⋅ t ~ ] 2 (10) \sum_i\left[\left(\tilde{p}_i-\tilde{q}_i\right) \cdot n_i\left(\left(\tilde{p}_i\tilde{q}_i\right) \times n_i\right) \cdot \tilde{a}n_i \cdot \tilde{t}\right]^2\tag{10} i∑[(p~i−q~i)⋅ni((p~iq~i)×ni)⋅a~ni⋅t~]2(10) where p ~ i p i − p ˉ \tilde{p}_ip_i-\bar{p} p~ipi−pˉ and q ~ i q i − q ˉ \tilde{q}_iq_i-\bar{q} q~iqi−qˉ. This is a least-squares problem in a ~ \tilde{a} a~ and t ~ \tilde{t} t~, and the final transformation from P \mathcal{P} P to Q Q Q is: trans ( q ˉ ) ∘ rot ( θ , a ~ ∥ a ~ ∥ ) ∘ trans ( t ~ cos θ ) ∘ rot ( θ , a ~ ∥ a ~ ∥ ) ∘ trans ( − p ˉ ) , (11) \operatorname{trans}(\bar{q}) \circ \operatorname{rot}\left(\theta, \frac{\tilde{a}}{\|\tilde{a}\|}\right) \circ \operatorname{trans}(\tilde{t} \cos \theta) \circ \operatorname{rot}\left(\theta, \frac{\tilde{a}}{\|\tilde{a}\|}\right) \circ \operatorname{trans}(-\bar{p}),\tag{11} trans(qˉ)∘rot(θ,∥a~∥a~)∘trans(t~cosθ)∘rot(θ,∥a~∥a~)∘trans(−pˉ),(11) where θ tan − 1 ∥ a ~ ∥ \theta\tan ^{-1}\|\tilde{a}\| θtan−1∥a~∥. 理论到此结束后面我会对代码进行分析测试。
