做有趣的网站,网页版微信可以转账吗,wordpress标签无法显示,友山建站优化知识点理解 关于正交分解可以看这个视频#xff1a; https://www.bilibili.com/video/BV1qV411C7u6/ 记住两个完备正交函数集#xff1a; 一个是正余弦三角函数#xff0c;非零不同频率项乘积为0#xff0c;非零同频率项乘积积分为T/2#xff0c;零频率项乘积积分为T。 一… 知识点理解 关于正交分解可以看这个视频 https://www.bilibili.com/video/BV1qV411C7u6/ 记住两个完备正交函数集 一个是正余弦三角函数非零不同频率项乘积为0非零同频率项乘积积分为T/2零频率项乘积积分为T。 一个是复指数函数不同项乘积积分为T。 记住这两个以后公式中的一些常系数值就能记住了。 周期信号对应傅里叶级数非周期信号对应傅里叶变换。 积分区间
时域积分周期信号(-T/2, T/2)非周期信号周期无穷大所以是(-∞∞)。统一来说就是时域积分区间是一个周期。频域积分区间(0, ∞)。复频域积分区间(-∞∞)。 什么是复频域 复频域是一个又包含复数又包含频率的数值域即F(jw)j代表复数w代表频率统称复频域。 把它理解成是一个特殊的数值平面即可把这个平面任意替换成其他任何平面逻辑都是一样的只要能从时域映射/变换过去就行了。由此也可以看出数学就是研究变换的唯一不变的只有变。 具体含义不用研究。不要尝试理解其物理或者几何意义没啥意义只是一个解决问题的数学工具而已。因为代数的一个特点就是将一个常用中间量用一个符号表示用来参与运算运算到最后如果被消除掉就说明结果与此中间量无关这就是代数中把无当做有的待定技术。 傅里叶变换是由非周期函数的傅里叶级数推导出来的那么怎么又可以对周期信号进行傅里叶变换怎么理解 对周期信号进行傅里叶变换就是将周期信号看成是一个巨大的非周期信号来处理。 不知道该怎么利用傅里叶变换的性质解题怎么办 用一张图来计划你的计算路线
题目中一般都是由一个函数求另外一个函数的傅里叶变换只需要根据上图应用傅里叶变换的性质沿着转换路线向目标进行推导即可求解。 题外话上图有点像线代中的矩阵相似变换的模型是一样的。 推荐阅读
一篇文章理解信号与系统以及数字信号处理 专题 冲激函数解读
误区
像以下几种说法
信号f(t)是由一个一个冲激函数组成的输入信号f(t)可以分解为无限个不同时刻的单位冲激函数放大f(t)倍组成任意连续信号都可以分解为一系列加权的移位冲激函数之和等等
以上几种说法 有的来自网络有的来自课本。 我认为以上描述都是不正确的。冲激函数不是一个又一个无限高的脉冲吗而f(t)是有限高的怎么就可以组成f(t)了 实际上公式是最靠谱的根据公式 上图中x(t)也可以写成f(t)是一样的。 显而易见上面的几种说法直接无视了积分变量dτ。只有冲激函数的无穷大幅度乘上积分变量这个无穷小值才会变成1根据单位冲激函数的定义。这样才会被f(t)加权变成f(t)函数。
所以不要用以上的描述去理解冲激函数不然你会误认为冲激函数和单位序列是一样的不要被某些不正确的描述坑了。正确的描述应该是 f(τ)对单位冲激函数加权并在(-∞,∞)对dτ积分才能得到f(t)。 另外冲激和单位序列的区别 冲激函数的图像是一个面积为1高度为无穷大的矩形 单位序列是高度为1宽度为0的一个点而已。 关于变换
从级数开始
周期函数可以展开为级数当周期为无穷大时级数就成了变换。
级数是属于周期信号特有的变换可以针对一切信号。因为变换是级数的推广周期信号也可以看成是非周期信号。 级数可以帮助我们理解频率所以可以花点时间看看。
几种变换公式的记忆方法
首先提一句变换是由级数推导出来的。
变换公式的要素总共有5点
积分、求和类型积分、求和区间积分变量积分函数基常系数
下面分别进行描述
积分还是求和 等号右边的域时域或频域连续就用积分 等号右边的域离散就用求和。
记忆口诀 一个域周期对应另一个域离散 一个域非周期对应另一个域连续 一个域离散对应另一个域周期 一个域连续对应另一个域非周期。
简记 离周周离连非非连
图示 积分/求和区间 选定等号右边的域 如果是周期的区间为一个周期 如果不是周期的区间为(-∞,∞)。 积分变量是什么 时域dt频域dωdθ 积分函数是什么 符号上正变换对应负指数。变量由周期非周期决定。 连续周期exp(-jt * nΩ)连续非周期exp(-jt * ω)周期序列exp(-jk * nΩ)非周期序列exp(-jk * θ) 常系数 因为拉氏变换可以看做连续傅氏变换的推广z变换可以看做是离散傅氏变换的推广所以可以把拉氏变换和z变换统称为“推广傅氏变换”自己起的名字便于记忆。所以有 傅氏变换、推广傅氏变换常系数都为1逆傅氏变换常数都为1/2π逆推广傅氏变换常系数都为1/2πj。
级数公式记忆
连续周期信号傅里叶级数
傅里叶逆级数展开频域为离散非周期所以计算形式为求和区间为(-∞,∞)常系数为1。傅里叶正级数求系数时域为连续周期所以计算形式为积分区间为(-T/2,T/2)常系数为1/T。
离散周期序列傅里叶级数
傅里叶逆级数展开频域为离散周期所以计算形式为求和区间为(0,N-1)常系数为1/N。傅里叶正级数求系数时域为离散周期所以计算形式为求和区间为(0,N-1)常系数为1。
变换公式推导的基本思想
基本思想是
周期信号可以看做是周期为无穷大的非周期信号周期信号傅里叶变换非周期信号可以看做是周期为无穷大的周期信号傅里叶变换有限长序列可以通过周期延拓变成周期信号离散傅里叶变换。注意没有把有限长序列变成非周期无限长序列因为这样变的话根据上面的口诀可知变换到频域是连续的无法使用计算机处理只能周期延拓变成周期序列。
几种变换的关系
一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系
几种变换防止混淆的记忆方法
输入信号就那么几种类型
离散还是连续周期还是非周期对于离散信号是有限长还是无限长。级数还是变换普通傅氏变换还是推广傅氏变换 频域周期与非周期性、频域混叠的解释 A visual explanation of aliasing and repetition with the DTFT 老外的文章需要翻墙老外做学问的态度值得学习。 知乎如何理解傅里叶变换时域连续对应频域非周期时域离散对应频域周期 奈奎斯特频率等于实际采样信号频率的一半。在满足奈奎斯特采样定律时可以认为是信号的最大频率。 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换就是有条件的傅里叶变换这个条件就是收敛域。可以认为它是推广后的傅氏变换。收敛域要写成 Re[s] a即写出实部。 【必读】从另一个角度看拉普拉斯变换速记指数型因果收敛域大于极点非因果小于极点。大于小于号和图像方向一致。
【拉普拉斯逆变换】
部分分式展开 其中 分式和整式是相对的概念。类似于分数和整数之间的关系区别在于分式和整式都是多项式。真分式从数值的角度去理解分数一般都是分子比分母小这样的分式叫真分数意思就是真的分数。但是一个整或者一个整数分式也可以写成分数形式这样的式子是伪装成真分式的所以叫假分式假分数可以反过来化成整数分数。把上面所说的分数换成分式即可理解什么是真分式假分式。 这一部分涉及到复数运算。 关于复数的理解可能有人会向我一样钻牛角尖怎么也理解不了这个东西这里再次提及一下。 虚数英文原名是Imaginary想象的虚构的。这个数是想象出来的在现实生活中没有实际意义。就算没有虚数可能还有其他概念来替换它为什么因为这是计算需要。它是一个代数指代一个不存在的东西。并不是说代数只能指代存在的东西代数就是一切皆可替代。 虚数没有实际意义当然也就没有几何意义。但是书上还总是提到实数虚数构成的复平面实数为横轴虚数为竖轴这是为什么既然虚数是想象的为什么不多想一步呢干脆想象出一个不存在的平面我们现实世界的数只存在于这个平面的实数轴上面。这样虚数瞬间变得形象起来了。可能很多人和我一样非要想象复数或复平面对应的实际物理意义或者几何意义其实紧紧把握住其Imaginary的思想就可以理解了。 这里提及一下共轭。共轭复数是复数关于实数轴的一个对称点相反数是实数关于虚轴的对称点。 【z变换】 z的范围和表达式共同决定收敛性。所以z变换的题目中只有同时确定了因果性和z的收敛域才能确定z变换表达式。 反过来如果已知z变换表达式如何确定原函数呢z逆变换由上可知只有确定了z的收敛域才能确定原函数只有这样才能保持收敛。 因果是右序列非因果是左序列双边即两边序列。 【系统稳定性】
为什么系统稳定性和极点有关系 参考系统稳定性和零极点的关系 参考传递函数的零点、极点怎么解释有什么用 下面是我个人的简单理解 我们知道系统函数H(s)是变换到时域是冲激响应。 H(s)的极点逆变换到时域在时域看来就是用原信号f(t)乘上一个指数加权函数作为冲激响应。 同理在z域H(z)相当于在时域乘上极点的n次方。 加权函数如果是随着时间t趋向无穷大而趋向于0的那么我们的冲激响应肯定也是随着时间慢慢消失的。 因为输入信号是不断注入的只有先前的输入产生的响应按照指数的速度衰减那么输出才不会随时间无限增大。 无限增大的系统你控制得了吗对于计算机来说无限增大会耗尽系统资源比如内存CPU硬盘网络带宽。对于电路系统来说无限增大直接会烧毁电路这种系统怎么用放在车辆或者飞机上你敢乘坐吗 所以只有把系统做稳定了才有应用价值才能做成可靠运行的产品。 具体怎么样才稳定怎么取值? s域取虚平面的左半开平面z域取虚平面上小于1的圆。 极点用叉表示零点用空心圆表示。 补充一下上面没提到的拉氏变换转傅里叶变换的原理。傅氏变换是Re[s]0的拉普拉斯变换所以只要拉式变换收敛域包含虚数轴就可以直接把s换成jw就可以得到傅氏变换。如果收敛域不包含虚数轴则傅氏变换不存在。如果收敛域刚好就是虚数轴那公式比较复杂直接查书就可以。 未来信号对现在的输出产生影响叫非因果系统。 【重要】理解记忆几种变换的性质
