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(3) 当 a1时, ylogax是定义域上的增函数. 并且当01时, y0.(4) 当 0ax是定义域上的减函数. 并且当00; 当x1时, y0.(5) 对数函数的图象无限靠近y轴.练习: (1). 求函数yloga(3x)(a0且a≠1)的定义域. (2). 比较log33.8与log37的大小.指数函数与对数函数的关系. 我们知道在函数的定义中, 对于自变量x的每一个取值, 根据对应法则都有唯一一个y值和它对应. 反过来, 每一个y值可能对应自变量x的多个取值. 比如二次函数yx2, y4对应x2和-2. 因此y到x的对应不是函数.但是对于指数函数yax(a0且a≠1), 每一个y值也都唯一对应一个x值, 也就是从y到x的对应也是一个函数, 这个函数就是对数函数xlogay(a0且a≠1) 它叫做指数函数yax的反函数. 函数xlogay(a0且a≠1)的定义域是(0, ∞), 值域是R, 函数yax的定义域是R,值域是(0, ∞).一般地, 设函数的定义域是集合A, 值域是集合B. 并且对B中任意一个y值, 都有A中唯一一个x值和它对应, 即有唯一的x满足那么称这个函数是A到B的一一对应. 此时由y到x的对应也是一个函数, 记作它叫做原函数的反函数, 定义域是B, 值域是A.对数函数xlogay是指数函数yax的反函数, 指数函数yax也是对数函数xlogay的反函数, 因此对数函数和指数函数互为反函数. 使用函数习惯的表示方法, 将反函数xlogay写成形式ylogax. 注意ylogax的定义域是yax的值域, ylogax的值域是yax的定义域. 设(u, v)是yax图象上的任意一点, 那么(v, u)就是ylogax图象上的点. 这两个点关于直线yx对称, 并且可以证明这两个函数图象关于直线yx对称. 幂函数. 一般地, 称函数叫做幂函数(power function), 其中x是自变量, a是常数. 幂函数的定义域与a的取值有关.幂函数的图象和性质. a1时的幂函数就是一次函数yx. a2时的幂函数就是二次函数yx2. 常数a取不同的值, 会得到不同图象和性质的幂函数. 例: 分别取a3, 2, 1/2, -1, 画出幂函数yx3、yx2、yx1/2和yx-1图象, 见下图. yx2是偶函数, 定义域是R, 值域是[0, ∞), 图象关于y轴对称. yx3是奇函数, 定义域是R, 值域也是R, 图象关于原点对称.yx1/2的定义域是[0, ∞), 值域也是[0, ∞), 在区间[0, ∞)上是增函数. yx-1的定义域是(∞, 0)U(0, ∞), 不包含0. 值域是(∞, 0)U(0, ∞), 也不包含0.通过观察上面的图象, 我们发现这四个函数的图象差别较大, 定义域、值域、单调性和奇偶性各有不同, 因此只能归纳出幂函数yxa(a∈R)最基本的性质:(1) 幂函数yxa(a∈R)的图象都经过点(1, 1), 这是因为当x1时, y1a1.(1) 当 a0时, 幂函数的图象经过原点, 在区间[0, ∞)上是增函数. (3) 当 a0时, 幂函数在区间(0, ∞)上是减函数, 且在第一象限内无限逼近x轴和y轴.练习:(1). 比较21.5与31.5的大小. (2). 讨论函数 yx2/3的定义域、奇偶性并作出它的图象.最后, 请熟记这三个基本初等函数: 指数函数、对数函数和幂函数的解析式、文中所画图象的形状和性质.高中数学知识讲解系列十分钟学会复数集合论知识初步一次函数和二次函数(修改版)初等数列知识
