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首先让我们来回忆一下辐射度量学中关于irradiance和radiance的定义#xff1a; 我们在这里定义光源(source)在x-z平面#xff0c;因此入射光就可以只用θi\theta_{i}θi来描述。dAs\mathrm{d}A_{s}dAs是表面积。定义dΦi\mathrm{d}\Phi_{i}dΦ…Radiometric Definitions
首先让我们来回忆一下辐射度量学中关于irradiance和radiance的定义 我们在这里定义光源(source)在x-z平面因此入射光就可以只用θi\theta_{i}θi来描述。dAs\mathrm{d}A_{s}dAs是表面积。定义dΦi\mathrm{d}\Phi_{i}dΦi是入射光在dAs\mathrm{d}A_{s}dAs上从θi\theta_{i}θi方向上来的能量。d2Φi\mathrm{d}_{}^{2}\Phi_{i}d2Φi是从(θr,ϕr)(\theta_{r},\phi_{r})(θr,ϕr)方向反射的能量。
那么我们就可以定义在表面上的irradianceirradianceirradiance
IsdΦidAsI_{s} \frac{\mathrm{d}\Phi_{i}}{\mathrm{d}A_{s}}IsdAsdΦi
可以理解为单位面积上所吸收的能量。是一个单位量。
对于从(θr,ϕr)(\theta_{r},\phi_{r})(θr,ϕr)方向反射出去的radianceradianceradiance我们可以定义为:
Lrd2ΦidωrdAscosθiL_{r} \frac{\mathrm{d}_{}^{2}\Phi_{i}}{\mathrm{d}\omega_{r}\mathrm{d}A_{s}cos\theta_{i}}LrdωrdAscosθid2Φi
dωr\mathrm{d}\omega_{r}dωr为出射方向的立体角。这也是一个单位量即从单位面积上立体角方向所发出的能量。
如果对于为什么radianceradianceradiance的dAscosθi\mathrm{d}A_{s}cos\theta_{i}dAscosθi会有cosθicos\theta_{i}cosθi项不清楚的话可以想成irradianceirradianceirradiance是因为我们从接收者的角度去看而radianceradianceradiance是从发送者的角度去看那么对于发射出的能量的有效面积自然是对于θi\theta_{i}θi方向的投影面积因为我们想要的一种能够描述的度量量。
好了我们已经清楚了irradianceirradianceirradiance和radianceradianceradiance的定义之后那么BRDFBRDFBRDF我们可以定义为
frIsLrf_{r} \frac{I_{s}}{L_{r} }frLrIs
即入射的irradianceirradianceirradiance除以出射的radianceradianceradiance。
表面模型
这里我们将了解两种表面模型的细节和解释粗糙度与反射之间的关系。
高度分布模型
对于一个表面来说一般是不可能绝对光滑的即表面上有着微小的高度变化对于这样的变化我们可以用一个高度的概率分布来描述。(这里是假设了一种高度概论分布)
ph(h)12πσhe−h22σh2p_{h}(h) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{h}}e_{}^{-\frac{h_{}^{2}}{2\sigma_{h}^{2}}}ph(h)2πσh1e−2σh2h2
σh\sigma_{h}σh是关于hhh的均方根不一样的表面描述模型也不一样。但这种描述分布不能告诉我们表面上山谷和山丘的距离。 这种函数是关于位置(x,y)(x,y)(x,y)的分布。
这种函数仅仅能描述一种概论分布但对于两种有着同样的概论分布但有可能实际表面有很大不同这就存在着巨大问题那么我们就引入一种自相关系数C(τ)C(\tau)C(τ)来区别这两种表面。 τ\tauτ决定了在表面上两个随机的高度的距离。TTT是相关距离。 aaa的相关距离就小于bbb图。自此从高度来建模需要至少两个参数才能描述一种表面。
C(τ)e−τ2T2C(\tau) e_{}^{-\frac{\tau_{}^{2}}{T_{}^{2}}}C(τ)e−T2τ2
坡度(Slope)分布模型
这里就引入了我们熟悉的微表面模型我们假设表面是由无数个微小完美镜面组成。 每一个微表面都有着自己的法线方向同时与表面法线有着一个夹角α\alphaα。那么我们就可以对参数α\alphaα进行建模如果表面是各项同性的(isotropic)那么参数α\alphaα是关于法线旋转对称的例如我们假设平均值α0\alpha 0α0和标准差σα\sigma_{\alpha}σα:
p(α)12πσαe−α22σα2p(\alpha) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\alpha}}e^{-\frac{\alpha^{2}}{2\sigma_{\alpha}^{2}}}p(α)2πσα1e−2σα2α2
表面模型就可以被一个单一参数σα\sigma_{\alpha}σα所决定不需要像高度描述所需要两个参数。 对于σα\sigma_{\alpha}σα值比较大的常用来建模粗糙表面。对于散射光被发现依赖于表面的微表面坡度分布而不是高度分布。虽然对于高度分布模型来说微表面法线分布模型的理解比较模糊但可以直接使用在表面反射中。 微表面法线分布与slope分布在这里指代同一种分布因为微表面法线与表面法线的夹角就是slopeα\alphaα。
粗糙表面 (Rough Surface)
这里我们将解释什么是粗糙度当了解了粗糙度对于光滑表面来说就是粗糙度比较小的情况。
表面反射理论是这么定义粗糙度的粗糙度是是关于表面不规则度入射光波长和出射角度有关。对于给定入射光波长粗糙表面将入射光散射到不同的角度。如果表面不规则度小于入射波长那么将有一部分入射光将被反射到单一方向形成高光(specularly)。换句话说如果表面的不规则度大于入射波长那么入射光将被散射到任意方向。也就是说一个表面所表现出来的粗糙质感是与入射光的波长和表面的不规则度有关。 对于入射光1和2以相同的β\betaβ角度入射到表面假设每个微表面是绝对镜面反射。这里假设出射光垂直于source表面反射光垂直于detector表面(请回忆radiance和irradiance)。 那么对于射线1和射线2的光传播路程是不相等的我们将射线2等价于射线3以便于分析路程差。 这里我们定义表面高度HHH。那么路程差△d\bigtriangleup d△d将可以通过射线1和射线3计算可得
△d2Hsinβ\bigtriangleup d 2Hsin\beta△d2Hsinβ.
这从图5可以很简单的分析得出。 我们定义入射光波长为λ\lambdaλ。那么对于delector面接收到的反射光的相位(phase)差就可以被定义为(似乎是高中物理光学公式)
△Ω4πHsinβλ\bigtriangleup \Omega \frac{4\pi Hsin\beta}{\lambda}△Ωλ4πHsinβ △Ω2πλ△d\bigtriangleup \Omega \frac{2\pi }{\lambda} \bigtriangleup d△Ωλ2π△d也许这个比较眼熟…
当△Ω\bigtriangleup \Omega△Ω非常小的时候接收平面(delector)所从两条射线接受到的能量是非常接近的可以认为近似相等那么平面所接受到的能量就可以对两条射线所携带的能量进行求和这种情况反射光将形成高光。 如果相位差等于π\piπ的时候那么这两条光线将会相互抵消即高中我们所学的波的相消现象。那么能量去哪了根据能量守恒定律来说能量不会凭空消失也不会突然增多。如果能量没有沿着反射方向传播那么只会分布在其他任意方向。 因此我们似乎就知道了两个规律
△Ω\bigtriangleup \Omega△Ω 0的时候表面反射形成高光(specular)表现出光滑的性质。(smooth)△Ω\bigtriangleup \Omega△Ω π\piπ的时候表面将散射入射光表现出粗糙表面的特性。(rough)
那么我们是不是可以找到定义光滑和粗糙表面的一个界限呢 是的通过Raleigh criterion ,我们选择π2\frac{\pi}{2}2π当作定义粗糙表面的一个阈值。那么我们就可以得出HHH的取值范围
Hλ8sinβH \frac{\lambda}{8sin\beta}H8sinβλ
在一些paper里面定义σhλ\sigma_{h} \lambdaσhλ即高度的方差远大于入射光的波长的时候将表面定义为粗糙表面。事实上我们讨论这些仅仅是为了学习对于粗糙表面的定义与学习表面反射。
反射模型
在这里我们将去讨论几何光线和波动光学。
wave optics 波动光学基于电磁波学说以及Maxwell 方程来学习光传播。几何光学我们假设入射光的波长小于表面的不规则度来简化光传输中的难题。
好了做好准备了吗 我们将从波动光学开始入手来看看入射光的能量到底是怎么算出来的
Physical(Wave) Optics Model
光是什么呢光是一种电磁波现象。但由于人们认识到这个问题其实很晚所以光学就被分成了不同的领域在我们学习粗糙和光滑表面是如何散射入射光之前让我们先来回顾一下一些学说吧
电磁波 Electromagnetic Waves
在原子学说里面电磁效应被认为是微小粒子在力的作用下相互作用的结果。如果粒子静止那么它们受到了来自电场的恒定的静电力即静电平衡。如果带点粒子开始移动那么会产生磁场即电动生磁。那么我们来定义一下EEE为电场强度HHH为磁场强度。电磁场的存在不依赖于任何介质因此电磁场的能量可以随着带电粒子的射出而携带出来即电磁波的传输。 当光从一点开始向四周发散并且观察点与点光源的距离非常大的时候我们可以假设球面波变成了平面波那么电磁场就可以被表达为
EEoe⃗e−ikreiωtE E_{o}\vec{e}e^{-ikr}e^{i\omega t}EEoee−ikreiωt HHoh⃗e−ikreiωtH H_{o}\vec{h}e^{-ikr}e^{i\omega t}HHohe−ikreiωt kkk是光传播的方向rrr是距离观测点PPP的距离向量单位向量e⃗h⃗\vec{e}\vec{h}eh代表了电场和磁场的方向复数因子EoHoE_{o}H_{o}EoHo代表了电场与磁场的能量强度但实际上电磁场被EHEHEH的实数值所决定写成复数仅仅为了数学表达和推导方便。 我们可能知道这个公式ecosθisinθe cos\theta isin\thetaecosθisinθ。 我们知道kkk的方向性代表了光传播的方向那么kkk的大小呢它代表传播常数被光的波长所决定
k2πλk \frac{2\pi}{\lambda}kλ2π
如果波长在400-700纳米之间那么就被称为单色光(monochromaticlightmonochromatic lightmonochromaticlight)可以被人眼捕捉到。
第二个指数项代表了场的强度是一个随时间震荡频率变化的函数。 方程代表了粒子所受到的力是随空间和时间而变化的。
Eo和HoE_{o}和H_{o}Eo和Ho代表了电场和磁场的强度或者说振幅它们互相依赖
HoξμEoH_{o} \sqrt{\frac{\xi}{\mu}}E_{o}HoμξEo
ξ,μ\xi ,\muξ,μ分别代表介质的介电常数(permittivity)(permittivity)(permittivity)和磁导率(permeability)(permeability)(permeability)。ξμ\sqrt{\frac{\xi}{\mu}}μξ经常被带代表波阻抗(impedance)(impedance)(impedance)因为电磁场的相互依赖我们经常可以看见电磁波被EEE或者HHH其中一个所代表。
我们非常感兴趣有多少能量被反射在任意给定的一个方向。但是我们仅仅知道了电磁场的定义那么到底有多少能量被传播呢 那么我们将定义单位面积上平均时间能量的流量 SSS
SE×HS E\times HSE×H
但我们只使用实数值
SaRe(S)12Re[E×H]S_{a} Re(S) \frac{1}{2}Re[E \times H]SaRe(S)21Re[E×H]
量纲即单位为watts/meter2watts/meter^{2}watts/meter2.
那么我们使用方程12带入到方程14中 可得 HoξμEoH_{o} \sqrt{\frac{\xi}{\mu}}E_{o}HoμξEoSaRe(S)12Re[E×H]S_{a} Re(S) \frac{1}{2}Re[E \times H]SaRe(S)21Re[E×H] Sa12μξEE12ξμHHS_{a} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\xi}}EE \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi}{\mu}}HHSa21ξμEE21μξHH
Backmann-Spizzichion 模型
Backmann-Spizzichion模型使用波动光学来分析平面波在粗糙或者光滑表面的反射特性。 考虑到平面波打在一个表面上。我们使用笛卡尔坐标系x,y,z以及原点O来定义所有的矢量。还记得表面的高度怎么定义吗hh(x,y)h h(x,y)hh(x,y)来描述表面的高度分布。 那么表面点Q会描述为
r⃗xx⃗yy⃗h(x,y)z⃗\vec r x\vec x y \vec y h(x,y)\vec zrxxyyh(x,y)z
那么入射在表面Q的电场能量会被表达成什么呢 EEoe⃗e−ikreiωtE E_{o}\vec{e}e^{-ikr}e^{i\omega t}EEoee−ikreiωt E1Eo1e1⃗e−ik1reiωtE_{1} E_{o1}\vec{e_{1}}e^{-ik_{1}r}e^{i\omega t}E1Eo1e1e−ik1reiωt
其中Eo1E_{o1}Eo1代表电场的幅值 e1⃗\vec{e_{1}}e1代表电场传播方向k1k_{1}k1代表波的传播方向。对和之前的定义是一样的。
但我们想要知道的是有多少入射平面波的能量被散射出去了。入射波的偏振会被e⃗1\vec e_{1}e1所决定。对于平行偏振和e⃗1\vec e_{1}e1方向一致垂直偏振和e⃗1\vec e_{1}e1的法线方向一致。对于其他非偏振入射波来说e⃗1\vec e_{1}e1既不垂直也不平行于偏振方向即它们的方向是随时间变化的。这里将假设入射波是垂直或者平行偏振并且入射场将被表达为
E1e⃗1E1E_{1} \vec e_{1} E_{1}E1e1E1
入射波打击在表面上发生了什么呢简单描述一下一个导体表面有着许多与原子结合十分松散的电子当入射光打击到表面入射光有着自己的电磁场将会施加力在表面电子上电子将会受力运动形成表面电流而表面电流将会形成新的电磁场与入射光的电磁场相互作用形成新的场。最终在表面点Q新的电磁场将会满足波动方程(wave)(wave)(wave):
Δ2(E)sk2(E)s0\Delta^{2}(E)_{s} k^{2}(E)_{s} 0Δ2(E)sk2(E)s0 k2πλk \frac{2\pi}{\lambda}kλ2π 这里的kkk依旧是传播常数被方程11所定义。那么有了波动方程之后我们是不是就可以解出表面点Q的电磁场呢
从任意方向散射出的电磁场都可以由表面电磁场所决定。P点是观察点我们定义R′R^{}R′是观察点到表面Q点的距离。我们能算出在P的电磁场E2E_{2}E2。让我们考虑表面S的边界V表面电磁场(E)s(E)_{s}(E)s是一个连续电磁场在V的任何一个地方都满足波动方程。并且在边界V上与 P点最接近的点会有着与P点几乎相同的电磁场。使用Green第一第二定理被散射在P点的电磁场E2E_{2}E2将会被表达为
E2(P)14π∬((E)s∂ψ∂n−ψ(∂E∂n)s)dSE_{2}(P) \frac{1}{4\pi}\iint((E)_{s}\frac{\partial\psi}{\partial n} - \psi(\frac{\partial E}{\partial n})_{s})\mathrm{dS}E2(P)4π1∬((E)s∂n∂ψ−ψ(∂n∂E)s)dSψeikR′R′\psi \frac{e^{ikR^{}}}{R^{}}ψR′eikR′
这个积分被叫做HelmholtzHelmholtzHelmholtz积分。这个积分给了我们在这个区域内部任意一点的关于波动方程的解。为了解出这个积分我们必须要知道(E)s(E)_{s}(E)s和(∂E∂n)s(\frac{\partial E}{\partial n})_{s}(∂n∂E)s。
为此我们使用KirchoffKirchoffKirchoff推论它假定表面上没有锐利的边缘在表面上的切平面上的场处处相等因此我们就知道了
(E)s(1F)E1(E)_{s} (1 F)E_{1}(E)s(1F)E1(∂E∂n)s(1−F)E1k1n′(\frac{\partial E}{\partial n})_{s} (1 - F)E_{1} k_{1}n^{}(∂n∂E)s(1−F)E1k1n′
n′n^{}n′是表面上这一点的法线FFF是光滑平面的FresnelFresnelFresnel反射因子。 考虑一个平面波入射到一个光滑表面反射波的强度将被表面场(E)s(E)_{s}(E)s所决定。考虑到表面的电气特性介电常数电导率磁导率。反射波的能量将由这些特性所决定。菲涅尔反射项常被写成F(θi′,η′)F(\theta_{i}^{},\eta^{})F(θi′,η′)这里的θi′\theta_{i}^{}θi′代表着入射波与表面法线的角度η′\eta^{}η′代表着由表面电磁特性所决定的复折射率。在方程15我们写出了反射能量为了模拟入射波的垂直(perpendicular)(perpendicular)(perpendicular)或者平行(parallel)(parallel)(parallel)偏振现象我们将菲涅尔项表示为 Sa12μξEE12ξμHHS_{a} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\xi}}EE \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi}{\mu}}HHSa21ξμEE21μξHH FparaY2cosθi′−(Y2−sin2θi′)Y2cosθi′(Y2−sin2θi′)F_{para} \frac{Y^{2}cos\theta_{i}^{}-\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}{Y^{2}cos\theta_{i}^{}\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}FparaY2cosθi′(Y2−sin2θi′)Y2cosθi′−(Y2−sin2θi′)Fperpcosθi′−(Y2−sin2θi′)cosθi′(Y2−sin2θi′)F_{perp} \frac{cos\theta_{i}^{}-\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}{cos\theta_{i}^{}\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}Fperpcosθi′(Y2−sin2θi′)cosθi′−(Y2−sin2θi′) 注意到θi′\theta_{i}^{}θi′和θi\theta_{i}θi的不同θi′\theta_{i}^{}θi′代表着入射波与实际碰撞点的法线的夹角因此在表面上不同的点将有不同的夹角θi\theta_{i}θi则是入射波与宏观法线的夹角。YYY是关于复折射率η′\eta^{}η′的一个函数也就是与表面材质有关的一个函数。对于导体而已YYY是无穷大的对于非导体而言YYY趋近于0。
让我们回顾方程20来继续计算这个难缠的积分。 E2(P)14π∬((E)s∂ψ∂n−ψ(∂E∂n)s)dSE_{2}(P) \frac{1}{4\pi}\iint((E)_{s}\frac{\partial\psi}{\partial n} - \psi(\frac{\partial E}{\partial n})_{s})\mathrm{dS}E2(P)4π1∬((E)s∂n∂ψ−ψ(∂n∂E)s)dS 好了我们假定一个场景以x,y,zx,y,zx,y,z为坐标系有着一个四边形表面它长2Y2Y2Y宽2X2X2X表面积A4XYA 4XYA4XY观察点PPP到表面的距离远大于表面粗糙度大小。也就意味着反射电磁场的传播方向k2k_{2}k2是一个常数。同时请看图七我们可以得到一个几何关系
kR′kR0−k2rkR^{} kR_{0} - k_{2}rkR′kR0−k2r
让我们将方程222326代入到方程20中 (E)s(1F)E1(E)_{s} (1 F)E_{1}(E)s(1F)E1(∂E∂n)s(1−F)E1k1n′(\frac{\partial E}{\partial n})_{s} (1 - F)E_{1} k_{1}n^{}(∂n∂E)s(1−F)E1k1n′ E2(P)14π∬((E)s∂ψ∂n−ψ(∂E∂n)s)dSE_{2}(P) \frac{1}{4\pi}\iint((E)_{s}\frac{\partial\psi}{\partial n} - \psi(\frac{\partial E}{\partial n})_{s})\mathrm{dS}E2(P)4π1∬((E)s∂n∂ψ−ψ(∂n∂E)s)dS 我们就可以得到E2E_{2}E2的表达式
E2EoikeikRo4πRo∫−XX∫−YY(ahx′chy′−b)eivrdxdyE_{2} \frac{E_{o}ike^{ik}R_{o}}{4\pi R_{o}} \int_{-X}^{X}\int_{-Y}^{Y}(ah_{x}^{}ch_{y}^{}-b)e^{ivr}\mathrm{d}x\mathrm{d}yE24πRoEoikeikRo∫−XX∫−YY(ahx′chy′−b)eivrdxdy v(vx,vy,vz)k(sinθi−sinθrcosϕr)x⃗k(sinθrsinϕr)y⃗−k(cosθicosθr)z⃗v (v_{x}, v_{y},v_{z}) k(sin\theta_{i} - sin\theta_{r}cos\phi_{r})\vec{x} k(sin\theta_{r}sin\phi_{r})\vec{y} - k(cos\theta_{i} cos\theta_{r})\vec{z}v(vx,vy,vz)k(sinθi−sinθrcosϕr)xk(sinθrsinϕr)y−k(cosθicosθr)z a(1−F)sinθi(1F)sinθrcosϕra (1 - F)sin\theta_{i} (1F)sin\theta_{r}cos\phi_{r}a(1−F)sinθi(1F)sinθrcosϕr b(1F)cosθr−(1−F)cosθib (1F)cos\theta_{r}-(1-F)cos\theta_{i}b(1F)cosθr−(1−F)cosθi c−(1F)sinθrsinϕrc -(1F)sin\theta_{r}sin\phi_{r}c−(1F)sinθrsinϕr
对于粗糙表面来说θi′\theta_{i}^{}θi′是依赖于slope的也即是说在方程27中a,b,ca,b,ca,b,c不是一个常数因此方程20的积分在粗糙表面上是难以计算的并且没有解析解这就导致我们将继续假设表面被假定为是一种完美的导体那么Y→∞Y\to \inftyY→∞对于方程25和25将有 FparaY2cosθi′−(Y2−sin2θi′)Y2cosθi′(Y2−sin2θi′)F_{para} \frac{Y^{2}cos\theta_{i}^{}-\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}{Y^{2}cos\theta_{i}^{}\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}FparaY2cosθi′(Y2−sin2θi′)Y2cosθi′−(Y2−sin2θi′)Fperpcosθi′−(Y2−sin2θi′)cosθi′(Y2−sin2θi′)F_{perp} \frac{cos\theta_{i}^{}-\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}{cos\theta_{i}^{}\sqrt{(Y^{2}-sin^{2}\theta_{i}^{})}}Fperpcosθi′(Y2−sin2θi′)cosθi′−(Y2−sin2θi′) Fpara1和Fperp−1F_{para} 1和F_{perp}-1Fpara1和Fperp−1
我们总是假定入射光是垂直偏振光即FparaFperp−1F_{para} F_{perp}-1FparaFperp−1。那么在方程27中a,b,ca,b,ca,b,c将于x,yx,yx,y轴无关因为只与θi\theta_{i}θi有关可以回想一下关于θ与ϕ\theta与\phiθ与ϕ在球面中是怎么定义的。
在方程27中hx′h_{x}^{}hx′与hy′h_{y}^{}hy′代表了表面h(x,y)h(x,y)h(x,y)的两个轴向的导数。对于一个完美光滑的表面来说h0h 0h0所以hx′hy′0h_{x}^{} h_{y}^{} 0hx′hy′0并且反射光仅仅会在镜面方向(specular−direction)(specular -direction)(specular−direction)。那么视口方向与反射方向的点积就等于零v⋅r0v\cdot r 0v⋅r0。因此,在完美光滑导体表面的镜面反射方向的电磁场E2ssE_{2ss}E2ss将被表达为:
E2ssEoikeikRo4πRo∫XX∫−YY2cosθidxdyE_{2ss} \frac{E_{o}ike^{ikR_{o}}}{4\pi R_{o}}\int_{_X}^{X}\int_{-Y}^{Y}2cos\theta_{i}\mathrm{d}x\mathrm{d}yE2ss4πRoEoikeikRo∫XX∫−YY2cosθidxdy E2ssEoikeikRocosθiAλRoE_{2ss} \frac{E_{o}ike^{ikR_{o}}cos\theta_{i}A}{\lambda R_{o}}E2ssλRoEoikeikRocosθiA
对E2ssE_{2ss}E2ss取模可得:
∣E2ss∣EoAcosθiλRo\left|E_{2ss}\right| \frac{E_{o}Acos\theta_{i}}{\lambda R_{o}}∣E2ss∣λRoEoAcosθi
对于一个完美光滑镜面来说,计算散射电磁场是十分容易的。但这是不存在的或者说是粗糙表面的一个极限情况。在实际情况中我们往往假设我们的表面有着一种随机的不规则度的分布。通过对粗糙度的建模我们可以预测表面反射的一些特性。通过高度模型的PDF来描述表面一点是不够精确的。由此Beckmann和Spizzichino的讨论,他们发现通过对表面法线建模是更加重要的。
回想我们之前讨论过的高度分布其标准差σh\sigma_{h}σh和相关距离TTT。 ph(h)12πσhe−h22σh2p_{h}(h) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{h}}e_{}^{-\frac{h_{}^{2}}{2\sigma_{h}^{2}}}ph(h)2πσh1e−2σh2h2 E2EoikeikRo4πRo∫−XX∫−YY(ahx′chy′−b)eivrdxdyE_{2} \frac{E_{o}ike^{ik}R_{o}}{4\pi R_{o}} \int_{-X}^{X}\int_{-Y}^{Y}(ah_{x}^{}ch_{y}^{}-b)e^{ivr}\mathrm{d}x\mathrm{d}yE24πRoEoikeikRo∫−XX∫−YY(ahx′chy′−b)eivrdxdy 可以看出方程27是和高度分布相关的这里我们引入一个散射因子ρEsE2ss\rho \frac{E_{s}}{E_{2ss}}ρE2ssEs这个因子可以帮助我们简化对方程27的计算。对于一个给定的入射角度E2ssE_{2ss}E2ss是一个常数那么我们就可以表达出E2E_{2}E2。对于E2E_{2}E2来说在镜面反射方向的能量不为0同时越偏离θr\theta_{r}θr能量的衰减越快。请不要忘记EsE_{s}Es代表了一个复数场的平均能量但我们只使用实数值即我们可以计算E2E2∗∣E2∣2E_{2}E_{2}^{*} |E_{2}|^{2}E2E2∗∣E2∣2的能量。对于给定的一个入射角θi\theta_{i}θi平均散射在(θr,ϕr)(\theta_{r},\phi_{r})(θr,ϕr)方向有着一个给定的正态高度分布的一个粗糙表面的平均能量可以表示为
E2E2∗Eo2A2cos2θiλ2Ro2e−g(ρo2πT2D2A∑m1m∞gmm!me−vxy2T24m)E_{2}E_{2}^{*} \frac{E_{o}^{2}A^{2}cos^{2}\theta_{i}}{\lambda^{2}R_{o}^{2}}e^{-g}(\rho_{o}^{2}\frac{\pi T^{2} D^{2}}{A}\sum_{m1}^{m\infty}\frac{g^{m}}{m!m}e^{-v_{xy}^{2}\frac{T^{2}}{4m}})E2E2∗λ2Ro2Eo2A2cos2θie−g(ρo2AπT2D2∑m1m∞m!mgme−vxy24mT2)g(2πρhλ(cosθicosθr))2g (2\pi \frac{\rho_{h}}{\lambda}(cos\theta_{i}cos\theta_{r}))^{2}g(2πλρh(cosθicosθr))2ρosinc(vxX)sinc(vyY)\rho_{o} sinc(v_{x}X)sinc(v_{y}Y)ρosinc(vxX)sinc(vyY)D(1cosθicosθr−sinθisinθrcosϕrcosθi(cosθicosθr))D (\frac{1cos\theta_{i}cos\theta_{r}-sin\theta_{i}sin\theta_{r}cos\phi_{r}}{cos\theta_{i}(cos\theta_{i}cos\theta_{r})})D(cosθi(cosθicosθr)1cosθicosθr−sinθisinθrcosϕr)vxyvx2vy2v_{xy} \sqrt{v_{x}^{2} v_{y}^{2}}vxyvx2vy2
让我们来继续讨论关于粗糙表面是如何定义的吧。 从前面的一些讨论中我们就知道了表面粗糙度是和入射波的波长和表面的不规则度相关。那么方程34就包含了这两者ρhλ\frac{\rho_{h}}{\lambda}λρh也就是说在方程33中ggg项代表了与粗糙度相关的一个比例因子。
那么对于ggg项存在着三种情况g≪1,g≈1,g≫1g\ll1,g\approx1,g\gg1g≪1,g≈1,g≫1它们分别代表了光滑平面处于之间的平面粗糙平面。这里我们依旧讨论的是表面反射。让我们再次看看方程33吧它是由两项求和组成的。对于第一项e−gρo2e^{-g}\rho_{o}^{2}e−gρo2它代表了镜面反射尖端(spike)(spike)(spike)也就是反射能量最高的一个方向不要慌后面会有图示帮助理解。当表面非常小的时候ρo\rho_{o}ρo是非常小的但由于在镜面反射尖端方向还有个因子ggg那么除了在镜面反射尖端的一个可变的狭小范围内能量不为0其余方向都会散射很少的能量由于能量守恒那么这个狭小的范围内将会散射大部分能量。
那么让我们看看第二项它被称为镜面lobe为什么不叫diffuse呢这是一个历史原因通常情况下diffuse代表了多重反射和内散射现象为了不与这个含义相冲突这里使用镜面lobe这种说法。
它代表了由于表面粗糙度所导致的能量散射。对于一个完美光滑表面来说g≪1g\ll1g≪1那么镜面lobe将会消失不见能量被反射在镜面spike方向随着表面粗糙度的增加也就是ggg的增大在镜面lobe方向反射的能量逐渐上升镜面spike方向反射的能量逐渐下降记住能量守恒这是我们分析物理模型的一个重要的武器。
其中有两个极限表达式是十分重要的也就是g≪1与g≫1g\ll1与g\gg1g≪1与g≫1的这两种情况其实都不存在毕竟不可能有绝对光滑与绝对粗糙的表面。对于这两种情况分别对应了两个方程稍微简单一点的方程
E2E2∗smoothEo2A2cos2θiλ2Ro2e−g(ρo2πT2D2gAe−vxy2T24)(g≪1)E_{2}E_{2}^{*}_{smooth} \frac{E_{o}^{2}A^{2}cos^{2}\theta_{i}}{\lambda^{2}R_{o}^{2}}e^{-g}(\rho_{o}^{2}\frac{\pi T^{2}D^{2}g}{A}e^{-v_{xy}^{2}\frac{T^{2}}{4}}) (g\ll1)E2E2∗smoothλ2Ro2Eo2A2cos2θie−g(ρo2AπT2D2ge−vxy24T2)(g≪1)E2E2∗roughEo2Acos2θiπT2D2λ2Ro2vx2σh2exp(−vxy2T24vx2σh2)(g≫1)E_{2}E_{2}^{*}_{rough} \frac{E_{o}^{2}Acos^{2}\theta_{i}\pi T^{2}D^{2}}{\lambda^{2}R_{o}^{2}v_{x}^{2}\sigma_{h}^{2}}\exp(\frac{-v_{xy}^{2}T^{2}}{4v_{x}^{2}\sigma_{h}^{2}}) (g\gg1)E2E2∗roughλ2Ro2vx2σh2Eo2Acos2θiπT2D2exp(4vx2σh2−vxy2T2)(g≫1)
我们只是将黎曼积分进行了化简然后给出了表达式对于光滑表面m1m1m1粗糙表面m≈∞m\approx \inftym≈∞。
我们终于走到了这一步这也将是我们对于波动光学方面探讨的结尾也许我们没有推导出每一个式子但我们对于反射的原理有了进一步的了解虽然中间有很多假设。
波动光学篇的总结
表面高度模型是一个正态分布。当然还有其他分布模型。表面的不规则度的曲率半径要大于入射光的波长。这将方便我们计算。当然如果表面上有一些sharp的边与点将会不成立。表面是一个完美的导体。这方便了我们对于方程27的计算。我们忽略了表面上 的masking and shadowing也就是表面上的一点接受到的入射能量和出射能量可能会被表面所遮挡。后来就有了补偿项的出现。我们假设能量到达PPP点观察点之前不会发生多次弹射即只在表面发生一次反射。入射波是一个垂直偏振光且是一个平面波。
接下来我们将会进入波动光学还没有出现的时代也就是几何光学的领域我们熟悉的一切将会再次展现在我们面前。 我们各自是从怎样的星辰朝彼此坠落而到达此处来的我们各自是从怎样的星辰朝彼此坠落而到达此处来的我们各自是从怎样的星辰朝彼此坠落而到达此处来的
