丰都网站建设费用,个人网站设计怎么做,女生做网站后期维护工作好吗,阿里云安装wordpress数据库错误算法中的最优化方法课程复习 单模函数、拟凸函数、凸函数证明证明一个线性函数与一个凸函数的和也是凸的 梯度线性规划标准形式以及如何标准化标准形式常见标准化方法线性化技巧 单纯形法二次规划无约束优化Nelder-Mead线搜索FR共轭梯度法例题 优化算法的选择、停止准则算法选择… 算法中的最优化方法课程复习 单模函数、拟凸函数、凸函数证明证明一个线性函数与一个凸函数的和也是凸的 梯度线性规划标准形式以及如何标准化标准形式常见标准化方法线性化技巧 单纯形法二次规划无约束优化Nelder-Mead线搜索FR共轭梯度法例题 优化算法的选择、停止准则算法选择停止准则例题 单模函数、拟凸函数、凸函数
单模函数 注意符号是小于等于可以取等于号。 拟凸函数
凸函数 例子1 根据上面的性质判断这个函数同时是拟凸函数、单模函数但不是凸函数。 例子2 根据上面的性质判断函数是单模函数、拟凸函数但并不是凸函数。
证明
证明一个线性函数与一个凸函数的和也是凸的
设 f ( x ) g ( x ) h ( x ) f(x) g(x) h(x) f(x)g(x)h(x)其中 g ( x ) g(x) g(x)是一个凸函数 h ( x ) h(x) h(x)是一个线性函数(下面我们可以看出线性函数也是凸函数)。 因此有以下性质 g ( λ x ( 1 − λ ) y ) λ g ( x ) ( 1 − λ ) g ( y ) g(\lambda x(1-\lambda )y) \lambda g(x) (1-\lambda)g(y) g(λx(1−λ)y)λg(x)(1−λ)g(y)以及 h ( λ x ( 1 − λ ) y ) λ h ( x ) ( 1 − λ ) h ( y ) h(\lambda x(1-\lambda )y) \lambda h(x) (1-\lambda)h(y) h(λx(1−λ)y)λh(x)(1−λ)h(y) 开始证明: f ( λ x ( 1 − λ ) y ) g ( λ x ( 1 − λ ) y ) h ( λ x ( 1 − λ ) y ) λ g ( x ) ( 1 − λ ) g ( y ) λ h ( x ) ( 1 − λ ) h ( y ) λ ( g ( x ) h ( x ) ) ( 1 − λ ) ( g ( y ) h ( y ) ) λ ( f ( x ) ) ( 1 − λ ) ( f ( y ) ) f(\lambda x(1-\lambda )y) \\ \qquad \qquad \qquad g(\lambda x(1-\lambda )y) h(\lambda x(1-\lambda )y) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \lambda g(x) (1-\lambda)g(y) \lambda h(x) (1-\lambda)h(y) \\ \qquad \qquad \qquad \lambda (g(x)h(x)) (1-\lambda)(g(y)h(y)) \\ \lambda (f(x)) (1-\lambda)(f(y)) f(λx(1−λ)y)g(λx(1−λ)y)h(λx(1−λ)y)λg(x)(1−λ)g(y)λh(x)(1−λ)h(y)λ(g(x)h(x))(1−λ)(g(y)h(y))λ(f(x))(1−λ)(f(y))得证 其他如凸函数于凸函数的和仍为凸函数也是如此证明。
梯度
负梯度方向是从当前来看函数值下降最快的方向所以V1是负梯度方向而梯度方向与负梯度方向相反。所以V5是梯度方向。梯度方向与负梯度方向垂直于等值线的切线
线性规划标准形式以及如何标准化
标准形式
目标函数最小化 Minimize c ⊤ x \text{Minimize} \quad \mathbf{c}^\top \mathbf{x} Minimizec⊤x 约束条件 Subject to A x b x ≥ 0 \begin{align*} \text{Subject to} \quad \mathbf{Ax} \mathbf{b} \\ \mathbf{x} \geq \mathbf{0} \end{align*} Subject toAxbx≥0
其中 c \mathbf{c} c 是目标函数的系数向量 x \mathbf{x} x 是决策变量向量 A \mathbf{A} A 是约束系数矩阵 b \mathbf{b} b 是约束右端项向量。
常见标准化方法
接下来以几个例子说明常见的标准化方法 m a x 7 x 1 2 x 2 − 2 x 3 8 s . t . x 1 − 2 x 2 3 x 3 − 8 x 4 6 x 1 − x 3 5 0 x 1 9 x 2 1 max \qquad 7x_1 2x_2 - 2x_3 8 \\s.t. \qquad x_1-2x_23x_3-8x_46 \\ \qquad x_1 - x_35 \\ \qquad 0x_19 \\ \qquad x_21 max7x12x2−2x38s.t.x1−2x23x3−8x46x1−x350x19x21
通过目标函数统一乘以-1将max优化问题转为min优化问题对于的不等式约束加上一个非负的变量使其变为等式约束对于的不等式约束减去一个非负的变量使其变为等式约束对于x0之类的约束变为 -x0对于x正负无限制的变量利用两个非负变量令 x x 1 − x 2 , x 1 0 , x 2 0 x x_1-x_2 ,x_10,x_20 xx1−x2,x10,x20化为非负变量 因此上面的线性规划问题可以标准化如下 m a x 7 x 1 2 x 2 − 2 x 3 8 s . t . x 1 − 2 x 2 3 x 3 − 8 x 4 x 5 6 x 1 − x 3 x 6 5 x 1 x 7 9 x 2 x 8 1 x 1 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 0 max \qquad 7x_1 2x_2 - 2x_3 8 \\s.t. \qquad x_1-2x_23x_3-8x_4x_56 \\ \qquad x_1 - x_3 x_65 \\ \qquad x_1 x_79 \\ \qquad x_2 x_81 \\ \qquad x_1,x_5,x_6,x_7,x_80 max7x12x2−2x38s.t.x1−2x23x3−8x4x56x1−x3x65x1x79x2x81x1,x5,x6,x7,x80 由于 x 2 , x 3 , x 4 x_2,x_3,x_4 x2,x3,x4并没有非负性的限制因此需要把这些变量也做一定的变换。 令 x 2 x 9 − x 10 , x 3 x 11 − x 12 , x 4 x 13 − x 14 x_2 x_9 - x_{10},x_3 x_{11}-x_{12},x_4 x_{13}-x_{14} x2x9−x10,x3x11−x12,x4x13−x14且有 x 9 . . . x 14 0 x_9...x_{14}0 x9...x140 原线性规划问题可以变为 m a x 7 x 1 2 ( x 9 − x 10 ) − 2 ( x 11 − x 12 ) 8 s . t . x 1 − 2 ( x 9 − x 10 ) 3 ( x 11 − x 12 ) − 8 ( x 13 − x 14 ) x 5 6 x 1 − ( x 11 − x 12 ) x 6 5 x 1 x 7 9 ( x 9 − x 10 ) x 8 1 x 1 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 9 . . . x 14 0 max \qquad 7x_1 2(x_9 - x_{10}) - 2(x_{11}-x_{12}) 8 \\s.t. \qquad x_1-2(x_9 - x_{10})3(x_{11}-x_{12})-8(x_{13}-x_{14})x_56 \\ \qquad x_1 - (x_{11}-x_{12}) x_65 \\ \qquad x_1 x_79 \\ \qquad (x_9 - x_{10}) x_81 \\ \qquad x_1,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9...x_{14}0 max7x12(x9−x10)−2(x11−x12)8s.t.x1−2(x9−x10)3(x11−x12)−8(x13−x14)x56x1−(x11−x12)x65x1x79(x9−x10)x81x1,x5,x6,x7,x8,x9...x140
线性化技巧
有待更新
单纯形法
单纯形法详细内容见这篇博客
二次规划
有待更新
无约束优化
多维无约束优化牛顿法、BFGS、DFP、Levenberg-Marquardt
Nelder-Mead
Nelder-Mead方法在优化过程中不需要用到导数但是在优化变量个数较多时相对没那么高效。
线搜索 FR共轭梯度法 例题
什么是最速下降法?最速下降法的步聚是什么?最速下降法是不是一定能够最快搜索到最优解?如果是请阐述原因如果不是请说明什么情况下不能可以采用什么方法更高效为什么?
最速下降法用于寻找多元函数的局部最小值。它的核心思想是沿着目标函数的梯度方向迭代地调整参数值以达到逐渐接近最优解的目的。 步骤
初始值设置 选择初始点 x 0 \mathbf{x}_0 x0。计算梯度 在当前点计算目标函数的梯度 ∇ f ( x ) \nabla f(\mathbf{x}) ∇f(x)。更新参数 沿着负梯度方向调整参数值计算下一个点的位置 x k 1 x k − α k ∇ f ( x k ) \mathbf{x}_{k1} \mathbf{x}_k - \alpha_k \nabla f(\mathbf{x}_k) xk1xk−αk∇f(xk)其中 α k \alpha_k αk 是步长学习率。重复迭代 重复步骤 2 和步骤 3直到满足收敛条件或达到迭代次数上限。
最速下降法的步骤通常是沿着梯度方向最陡峭的下降方向更新参数。但它不一定能够最快地搜索到最优解。这是因为最速下降法可能会受到以下几个限制或问题的影响
初始点选择若初始点选择不当可能会导致收敛到局部最优解而非全局最优解。学习率的选取学习率过大或过小都可能导致算法的性能不佳。过大的学习率可能导致振荡或错过最优解而过小的学习率会导致收敛速度慢。目标函数的形状在目标函数非凸或存在高度不规则的情况下最速下降法可能陷入局部最优解而无法到达全局最优解。
在存在这些问题的情况下可以考虑使用其他更高效的优化算法例如
牛顿法和拟牛顿法这些方法利用了目标函数的二阶导数信息能够更快地收敛并且对于某些情况下能够避免最速下降法所遇到的问题。启发式算法使用模拟退火算法、遗传算法等启发式算法可以消除局部最优点的影响。也可以在启发式算法结果的基础上进一步做基于梯度的精确优化算法。多起点局部优化选择多个初始点分别基于这些初始点进行优化。
因此最速下降法并不总是能够最快搜索到最优解特别是在目标函数复杂、非凸或存在不良条件数的情况下。针对不同的问题需要综合考虑目标函数的特性并根据实际情况选择合适的优化算法。
优化算法的选择、停止准则
算法选择
目标函数和约束都是线性的单纯形法或者内点法变量或者约束个数1000目标函数二次的凸线性约束改进的单纯形法或者内点法目标函数和约束都是凸的椭圆法、割平面法、内点法有多个局部极小点:多初始值优化、模拟退火算法、遗传算法非线性、非凸优化、无约束Levenberg-Marquardt 、Newton、quasi-Newton 、steepest descent、 Powell’s perpendicular method (or Nelder-Mead)非线性、非凸优化、有约束
等式约束:elimination, Lagrange method线性约束:gradient projection or SQP非线性约束:SQP,or penalty or barrier function
停止准则
单纯形法:可以在有限步迭代内收敛凸优化算法: ∣ f ( x ∗ ) − f ( x k ) ∣ ⩽ ε f , g ( x k ) ⩽ ε g ∥ x ∗ − x k ∥ 2 ⩽ ε x (for ellipsoid) \begin{aligned} \left|f\left(x^*\right)-f\left(x_k\right)\right| \leqslant \varepsilon_f, \quad g\left(x_k\right) \leqslant \varepsilon_g \\ \left\|x^*-x_k\right\|_2 \leqslant \varepsilon_x \quad \text { (for ellipsoid) } \end{aligned} ∣f(x∗)−f(xk)∣∥x∗−xk∥2⩽εf,g(xk)⩽εg⩽εx (for ellipsoid) 无约束非线性优化: ∥ ∇ f ( x k ) ∥ 2 ⩽ ε ∇ \left\|\nabla f\left(x_k\right)\right\|_2 \leqslant \varepsilon_{\nabla} ∥∇f(xk)∥2⩽ε∇有约束非线性优化: ∥ ∇ f ( x k ) ∇ g ( x k ) μ ∇ h ( x k ) λ ∥ 2 ⩽ ε K T , 1 ∣ μ T g ( x k ) ∣ ⩽ ε K T , 2 μ ⩾ − ε K T , 3 ∥ h ( x k ) ∥ 2 ⩽ ε K T , 4 g ( x k ) ⩽ ε K T , 5 \begin{aligned} \left\|\nabla f\left(x_k\right)\nabla g\left(x_k\right) \mu\nabla h\left(x_k\right) \lambda\right\|_2 \leqslant \varepsilon_{\mathrm{KT}, 1} \\ \left|\mu^T g\left(x_k\right)\right| \leqslant \varepsilon_{\mathrm{KT}, 2} \\ \mu \geqslant-\varepsilon_{\mathrm{KT}, 3} \\ \left\|h\left(x_k\right)\right\|_2 \leqslant \varepsilon_{\mathrm{KT}, 4} \\ g\left(x_k\right) \leqslant \varepsilon_{\mathrm{KT}, 5} \end{aligned} ∥∇f(xk)∇g(xk)μ∇h(xk)λ∥2 μTg(xk) μ∥h(xk)∥2g(xk)⩽εKT,1⩽εKT,2⩾−εKT,3⩽εKT,4⩽εKT,5模拟退火、遗传算法:达到最大迭代次数。
例题 max x ∈ R 3 4 x 1 5 x 2 − 6 x 3 s.t. log ∣ 2 x 1 7 x 2 5 x 3 ∣ ⩽ 1 x 1 , x 2 , x 3 ⩾ 0 \begin{aligned} \max _{x \in \mathbb{R}^3} 4 x_15 x_2-6 x_3 \\ \text { s.t. } \log \left|2 x_17 x_25 x_3\right| \leqslant 1 \\ x_1, x_2, x_3 \geqslant 0 \\ \end{aligned} x∈R3max4x15x2−6x3 s.t. log∣2x17x25x3∣⩽1x1,x2,x3⩾0 约束可以逐步简化 先简化为 ∣ 2 x 1 7 x 2 5 x 3 ∣ ⩽ e \left|2 x_17 x_25 x_3\right| \leqslant e ∣2x17x25x3∣⩽e 在简化为 2 x 1 7 x 2 5 x 3 ⩽ e − 2 x 1 − 7 x 2 − 5 x 3 ⩽ e 2 x_17 x_25 x_3 \leqslant e \\ -2 x_1-7 x_2-5 x_3 \leqslant e 2x17x25x3⩽e−2x1−7x2−5x3⩽e 这样约束就变为了一个线性化约束可以在化为标准型之后用单纯性法求解也可以用内点法求解。 单纯形法在有限步会求得最终结果而内点法收敛条件为 ∣ f ( x ∗ ) − f ( x k ) ∣ ⩽ ε f \left|f\left(x^*\right)-f\left(x_k\right)\right|\leqslant \varepsilon_f ∣f(x∗)−f(xk)∣⩽εf min x ∈ R 3 max ( cosh ( x 1 x 2 x 3 ) , ( 5 x 1 − 6 x 2 7 x 3 6 ) 2 ) s.t. ∥ x ∥ 2 ⩽ 10 R e m a r k : cosh x e x e − x 2 \begin{aligned} \min _{x \in \mathbb{R}^3} \max \left(\cosh \left(x_1x_2x_3\right),\left(5 x_1-6 x_27 x_36\right)^2\right) \\ \text { s.t. }\|x\|_2 \leqslant 10 \end{aligned} \\Remark: \cosh x\frac{e^xe^{-x}}{2} x∈R3minmax(cosh(x1x2x3),(5x1−6x27x36)2) s.t. ∥x∥2⩽10Remark:coshx2exe−x 问题仍然可以做简化令 t cosh ( x 1 x 2 x 3 ) t ( 5 x 1 − 6 x 2 7 x 3 6 ) 2 t \cosh \left(x_1x_2x_3\right)\\ t\left(5 x_1-6 x_27 x_36\right)^2 tcosh(x1x2x3)t(5x1−6x27x36)2化为 min x ∈ R 3 t s.t. ∥ x ∥ 2 ⩽ 10 t cosh ( x 1 x 2 x 3 ) t ( 5 x 1 − 6 x 2 7 x 3 6 ) 2 \begin{aligned} \min _{x \in \mathbb{R}^3} t \\ \text { s.t. }\|x\|_2 \leqslant 10\\ t \cosh \left(x_1x_2x_3\right)\\ t\left(5 x_1-6 x_27 x_36\right)^2 \end{aligned} x∈R3mint s.t. ∥x∥2⩽10tcosh(x1x2x3)t(5x1−6x27x36)2 问题变为了常见的含约束凸优化问题可以用切平面法、椭球法、内点法 收敛条件: ∣ f ( x ∗ ) − f ( x k ) ∣ ⩽ ε f , g ( x k ) ⩽ ε g ∥ x ∗ − x k ∥ 2 ⩽ ε x (for ellipsoid) \begin{aligned} \left|f\left(x^*\right)-f\left(x_k\right)\right| \leqslant \varepsilon_f, \quad g\left(x_k\right) \leqslant \varepsilon_g \\ \left\|x^*-x_k\right\|_2 \leqslant \varepsilon_x \quad \text { (for ellipsoid) } \end{aligned} ∣f(x∗)−f(xk)∣∥x∗−xk∥2⩽εf,g(xk)⩽εg⩽εx (for ellipsoid) max x ∈ R 2 e − x 1 2 − x 2 2 ( x 1 2 x 1 x 2 6 x 1 ) \max _{x \in \mathbb{R}^2} e^{-x_1^2-x_2^2}\left(x_1^2x_1 x_26 x_1\right) x∈R2maxe−x12−x22(x12x1x26x1) 无约束非线性问题用LM牛顿法那几种共轭梯度法最速下降法方向一维搜索法NM法等 LM牛顿法那几种共轭梯度法最速下降法方向一维搜索法收敛条件: ∥ ∇ f ( x k ) ∥ 2 ⩽ ε ∇ \left\|\nabla f\left(x_k\right)\right\|_2 \leqslant \varepsilon_{\nabla} ∥∇f(xk)∥2⩽ε∇ NM法收敛条件: ∣ f ( x ∗ ) − f ( x k ) ∣ ⩽ ε f , ∥ x ∗ − x k ∥ 2 ⩽ ε x \begin{aligned} \left|f\left(x^*\right)-f\left(x_k\right)\right| \leqslant \varepsilon_f,\\ \left\|x^*-x_k\right\|_2 \leqslant \varepsilon_x \end{aligned} ∣f(x∗)−f(xk)∣∥x∗−xk∥2⩽εf,⩽εx max x ∈ R 3 x 1 x 2 x 3 1 x 1 6 x 2 4 x 3 2 s.t. x 1 x 2 x 3 1 \begin{aligned} \max _{x \in \mathbb{R}^3} \frac{x_1 x_2 x_3}{1x_1^6x_2^4x_3^2} \\ \text { s.t. } x_1x_2x_31 \end{aligned} x∈R3max1x16x24x32x1x2x3 s.t. x1x2x31 由于有多个局部最优点使用模拟退火算法、遗传算法、以及多起点优化算法每个起点可分别用内点法之类的优化算法。 模拟退火算法、遗传算法在达到最大迭代次数之后算法退出。
