移动版网站开发,网站建设费用有哪些方面,杭州网站建站推广,私人定制app正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5748 题目大意
求将nnn的排列分成若干个无序非空集合的方案。
输出答案对998244353998244353998244353取模。 1≤n≤105,1≤T≤10001\leq n\leq 10^5,1\leq T\leq 10001≤n≤105,1≤T≤1000 解题思路
就是求划分数 分成ii…正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5748 题目大意
求将nnn的排列分成若干个无序非空集合的方案。
输出答案对998244353998244353998244353取模。
1≤n≤105,1≤T≤10001\leq n\leq 10^5,1\leq T\leq 10001≤n≤105,1≤T≤1000 解题思路
就是求划分数 分成iii个集合的方案是(ex−1)i(e^x-1)^i(ex−1)i所以答案的生成函数就是 ∑i0∞(ex−1)ii!\sum_{i0}^{\infty}\frac{(e^x-1)^i}{i!}i0∑∞i!(ex−1)i emmmmmmmmmmm… 怎么看上去这么眼熟所以 ∑i0∞(ex−1)ii!eex−1\sum_{i0}^{\infty}\frac{(e^x-1)^i}{i!}e^{e^x-1}i0∑∞i!(ex−1)ieex−1
然后写个多项式exp就好了
时间复杂度O(nlogn)O(n\log n)O(nlogn)
到此本题目已经结束了但是我们可以换一种方式来做
我们知道{nm}\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}{nm}是把nnn分成mmm个非空集合的方案数 所以这这题其实是在求 ∑i1n{ni}\sum_{i1}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i1∑n{ni} 这个东西应该也很好做斯特林数有通项 {nm}1m!∑k0m(−1)m−kkn(mk)\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\frac{1}{m!}\sum_{k0}^m(-1)^{m-k}k^n\binom{m}{k}{nm}m!1k0∑m(−1)m−kkn(km) ∑i1n1i!∑j0i(−1)i−jjn(ij)\sum_{i1}^n\frac{1}{i!}\sum_{j0}^i(-1)^{i-j}j^n\binom{i}{j}i1∑ni!1j0∑i(−1)i−jjn(ji) 然后拆开组合数化简一下就是 ∑i0n∑j0ijnj!×(−1)i−j(i−j)!\sum_{i0}^n\sum_{j0}^i\frac{j^n}{j!}\times \frac{(-1)^{i-j}}{(i-j)!}i0∑nj0∑ij!jn×(i−j)!(−1)i−j 然后卷积就好了。 具体化简过程和P4091-求和很像这里就不多赘述了。 code
#includecstdio
#includecstring
#includealgorithm
#define ll long long
using namespace std;
const ll N8e510,P998244353;
ll T,n,f[N],g[N],r[N];
ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans1;while(b){if(b1)ansans*x%P;xx*x%P;b1;}return ans;
}
void GetL(ll l){n1;while(nl)n1;for(ll i0;in;i)r[i](r[i1]1)|((i1)?(n1):0);return;
}
void NTT(ll *f,ll op){for(ll i0;in;i)if(ir[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p2;pn;p1){ll lenp1,tmppower(3,(P-1)/p);if(op-1)tmppower(tmp,P-2);for(ll k0;kn;kp){ll buf1;for(ll ik;iklen;i){ll ttf[ilen]*buf%P;f[ilen](f[i]-ttP)%P;f[i](f[i]tt)%P;bufbuf*tmp%P;}}}if(op-1){ll invnpower(n,P-2);for(ll i0;in;i)f[i]f[i]*invn%P;}return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){if(m1){g[0]power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,m1);GetL(m);for(ll i0;im;i)t1[i]g[i],t2[i]f[i];NTT(t1,1);NTT(t2,1);for(ll i0;in;i)t1[i]t1[i]*t1[i]%P*t2[i]%P;NTT(t1,-1);for(ll i0;im;i)g[i](2*g[i]-t1[i]P)%P;for(ll i0;in;i)t1[i]t2[i]0;return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll m){for(ll i0;im-1;i)g[i]f[i1]*(i1)%P;g[m-1]0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll m){for(ll i1;im;i)g[i]f[i-1]*power(i,P-2)%P;g[0]0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){GetD(f,t3,m);GetInv(f,t4,m);GetL(m);NTT(t3,1);NTT(t4,1);for(ll i0;in;i)t3[i]t3[i]*t4[i]%P;NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);for(ll i0;in;i)t3[i]t4[i]0;for(ll im;in;i)g[i]0;return;
}
void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){if(m1){g[0]1;return;}GetExp(f,g,m1);GetLn(g,t5,m);for(ll i0;im;i)t6[i]f[i];GetL(m);NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);for(ll i0;in;i)g[i]g[i]*(1-t5[i]t6[i]P)%P;NTT(g,-1);for(ll im;in;i)g[i]0;for(ll i0;in;i)t5[i]t6[i]0;return;
}
signed main()
{ll m1;while(m1e5)m1;f[1]1;GetExp(f,g,m);(g[0]P-1)%P;f[1]0;GetExp(g,f,m);for(ll i1,F1;im;i,FF*i%P)f[i]f[i]*F%P;scanf(%lld,T);while(T--){scanf(%lld,n);printf(%lld\n,f[n]);}return 0;
}
