php网站建设培训,做国外网站汇款用途是什么,青岛黄岛区做网站设计的,电子商务网站建设实验原理目录 文章目录 前言 1.算法效率 1.1 如何衡量一个算法的好坏 1.2 算法的复杂度 2.时间复杂度 2.1 时间复杂度的概念 2.2 大O的渐进表示法 2.3常见时间复杂度计算 3.空间复杂度 4.常见复杂度对比 总结 前言 C语言的学习篇已经结束#xff0c;今天开启新的篇章——数据结构和算… 目录 文章目录 前言 1.算法效率 1.1 如何衡量一个算法的好坏 1.2 算法的复杂度 2.时间复杂度 2.1 时间复杂度的概念 2.2 大O的渐进表示法 2.3常见时间复杂度计算 3.空间复杂度 4.常见复杂度对比 总结 前言 C语言的学习篇已经结束今天开启新的篇章——数据结构和算法。本期主要内容是对数据结构和算法入门知识——复杂度进行讲解。 1.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
如何衡量一个算法的好坏呢比如对于以下斐波那契数列
long long Fib(int N)
{if(N 3)return 1;return Fib(N-1) Fib(N-2);
} 这个斐波那契数列的递归实现方式非常简洁但简洁一定好吗那该如何衡量算法好与坏呢 答案是一个程序中算法的复杂度才是衡量一个程序好坏的标准。 1.2 算法的复杂度 算法在编写成可执行程序后运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏一般是从时间和空间两个维度来衡量的即时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。 在计算机发展的早期计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
算法的复杂度在校招中也是极为重要的考察点。
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义 在计算机科学中算法的时间复杂度是一个函数它定量描述了该算法的运行时间。 一个算法执行所耗费的时间从理论上说是不能算出来的只有你把你的程序放在机器上跑起来才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗是可以都上机测试但是这很麻烦所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。 找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式就是算出了该算法的时间复杂度。来看一下下面这段代码
void Func1(int N)
{int count 0;for (int i 0; i N ; i){for (int j 0; j N ; j){count;}}for (int k 0; k 2 * N ; k){count;}int M 10;while (M--){count;}printf(%d\n, count);
} 计算一下Func1的基本执行次数
N 10 F(N) 130N 100 F(N) 10210N 1000 F(N) 1002010 它们的关系式 FNN*N2*N10我们发现随着N的增大2*N和10对执行次数的影响在逐渐减小。 实际中我们计算时间复杂度时我们其实并不一定要计算精确的执行次数而只需要大概执行次数那么这里我们使用大O的渐进表示法。 2.2 大O的渐进表示法
大O符号是用于描述函数渐进行为的数学符号。 推导大O阶的基本方法
用常数1取代运行时间中的所有加法常数任何常数有确切数字且不超int最大范围都算。在修改后的运行次数函数中只保留最高阶项。如果最高阶项存在且不是1则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶如果有常数项除去常数项 使用大O的渐进表示法以后Func1的时间复杂度为N平方。
N 10 F(N) 100N 100 F(N) 10000N 1000 F(N) 1000000 通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项简洁明了的表示出了执行次数。 另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况
最坏情况任意输入规模的最大运行次数(上界)平均情况任意输入规模的期望运行次数最好情况任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如在一个有N个数据的数组当中查找一个数字X 最好情况1次找到 最坏情况N次找到 平均情况N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) 2.3常见时间复杂度计算
例1
void Func2(int N)
{int count 0;for (int k 0; k 2 * N ; k){count;}int M 10;while (M--){count;}printf(%d\n, count);
} 这个代码的时间复杂度是多少呢 Func2基本操作执行了2N10次通过推导大O阶方法知道时间复杂度为 O(N) 例2
void Func3(int N, int M)
{int count 0;for (int k 0; k M; k){count;}for (int k 0; k N ; k){count;}printf(%d\n, count);
} 这个程序的时间复杂度是多少呢 Func3基本操作执行了MN次由于M和N都是未知所以时间复杂度为 O(NM) 例3
void Func4(int N)
{int count 0;for (int k 0; k 100; k){count;}printf(%d\n, count);
} 计算该程序的时间复杂度 Func4基本操作执行了100次通过推导大O阶方法时间复杂度为 O(1) 例4
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end n; end 0; --end){int exchange 0;for (size_t i 1; i end; i){if (a[i-1] a[i]){Swap(a[i-1], a[i]);exchange 1;}}if (exchange 0)break;}
} 我们来看一下这个冒泡排序的时间复杂度是多少 冒泡排序是相邻两元素进行比较再进行交换排序。并且交换的比较的次数依次减少。冒泡详细过程可参考下边博客其中有对冒泡排序详细过程介绍。——冒泡排序详细过程 时间复杂度是算法中的基本操作的执行次数。 排序一个数最多需要比较并交换执行n-1次第二个数需要进行n-2次……直到排序结束总的执行次数也就是等差数列的和。根据等差数列求和公式我们可以得出最坏执行了(N*(N1)/2次。通过推导大O阶方法时间复杂度一般看最坏所以冒泡排序的时间复杂度为 O(N^2)。 例5
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin 0;int end n-1;while (begin end){int mid begin ((end-begin)1);if (a[mid] x)begin mid1;else if (a[mid] x)end mid-1;elsereturn mid;
} 我们来看一看二分查找的时间复杂度。
二分查找详细介绍可参考文章这就是二分查找 二分查找每次将查找区间进行折半。
N
N/2
N/2/2
N/2/2/2
……
N/2/2……/21
最坏情况查找区间缩放只剩一个数时。
最坏情况下查找了多少次除了多少次2就查找了多少次。 我们假设查找了x次2^xNx等于log2(N,时间复杂度是算法中的基本操作的执行次数。 操作执行最好1次最坏O(logN)次时间复杂度为 O(logN) pslogN在算法分析中表示是底数为2对数为N。有些地方会写成lgN。建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的 。
例6
long long Fac(size_t N)
{if(0 N)return 1;return Fac(N-1)*N;
} 接下来我们来看看递归的时间复杂度是多少 这个递归的时间复杂度是O(N)为什么我们知道递归是调用自身函数通过观察我们发现递归函数中只执行一次但是递归调用函数调用了N1次时间复杂度是算法中的基本操作的执行次数。调用了N1次就执行了N1次所以时间复杂度是O(N)。通过递归我们会找到这样的规律递归算法的时间复杂度是多少次调用的次数累加。我们知道了这个规律那我们再来看看这个递归 。 例7
long long Fac(size_t N)
{if(0 N)return 1;for(size_t i0;iN;i){……}return Fac(N-1)*N;
} 这个递归的时间复杂度是多少 答案是O(N^2)这里递归调用了N次但每次调用都执行N次的循环注意这里的N是逐渐变小的每次调用传递的是N-1所以这个递归的执行次数也就是等差数列的和我们需要记住执行次数为等差数列的和时间复杂度就是O(N^2)。我们继续来看看这个递归。
例8
long long Fib(size_t N)
{if(N 3)return 1;return Fib(N-1) Fib(N-2);
}
它的时间复杂度是多少 它的时间复杂度是O(2^N)。递归算法的时间复杂度是多少次调用的次数累加。这个递归是双路递归它的递归路线是成树状结构的 执行次数符合2^N增长但是执行到最后也并不能完全算的上是2^N最后在右下角部分会率先递归到Fib(0)所以右下角会缺失一部分。但时间复杂度本身就是一个估算的结果所以它的时间复杂度仍为O(2^N)
3.空间复杂度
定义 空间复杂度是算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间因为这个也没太大意义所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似也使用大O渐进表示法。注意函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。 例1
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end n; end 0; --end){int exchange 0;for (size_t i 1; i end; i){if (a[i-1] a[i]){Swap(a[i-1], a[i]);exchange 1;}}if (exchange 0)break;}
}
我们再来看看上述的冒泡排序它的空间复杂度是多少 答案是O(1)为什么空间复杂度是算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。冒泡排序在解决排序问题的过程中并没有向内存申请额外的空间。所以空间复杂度为 O(1)。
例2
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n0)return NULL;long long * fibArray (long long *)malloc((n1) * sizeof(long long));fibArray[0] 0;fibArray[1] 1;for (int i 2; i n ; i){fibArray[i] fibArray[i - 1] fibArray [i - 2];}return fibArray;
}
这个程序的空间复杂度是多少 答案是O(N)。这个程序使用数组来实现斐波那契数列在程序中额外申请了n1个存储数据的空间动态开辟了N个空间空间复杂度为 O(N)。 例3
long long Fac(size_t N)
{if(N 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}
这个递归的空间复杂度是多少 答案是O(N)递归在调用自身的同时会保留当前的栈帧然后继续开辟新的函数栈帧这里递归合计开辟了N个栈帧。每个栈帧开辟常数个空间所以空间复杂度是O(N)可能还会有人问函数栈帧不是不算吗这里注意空间复杂度的定义是算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。只有第一个递归函数不算其他开辟的函数栈帧都属于额外开辟的空间。 我们可以总结一下递归与普通函数的区别普通函数只需计算当前函数中的时间和空间消耗递归函数需要计算调用的所有函数消耗的时间和空间。 例4
long long Fib(size_t N)
{if(N 3)return 1;return Fib(N-1) Fib(N-2);
} 为了大家能够更深刻的理解这里我们再来看看上述的这个双路递归它的空间复杂度是多少 答案是O(N)为什么呢注意这里计算的是空间复杂度空间和时间的区别在哪空间可以复用而时间不可以。当一个递归率先到达Fib(0)时就会返回上一层递归而返回的同时也会将空间还给操作系统这个双路递归最多会在栈区向下创建N1个函数栈帧。所以它的空间复杂度是O(N)。总结一下我们常见的程序空间复杂度一般都是O(N)或者O(1)如果空间复杂度过高会造成程序消耗内存过高程序会崩溃。
4.常见复杂度对比
一般常见的复杂度如下 增长曲线如下 总结 日常生活中我们会遇到很多问题需要算法解决在选择算法时我们需要综合考虑时间复杂度和空间复杂度找到一个合适的平衡点以满足问题的要求和资源的限制。通过分析算法复杂度我们可以评估算法的效率和可行性并选择最优的算法来解决问题。好的本期内容到此结束。最后感谢阅读
