电商网站合作,淘宝上面建设网站安全么,苏州好的网站公司哪家好,电子商务网站建设规划文章目录 谱分解定理定理的运用 谱分解定理
设三阶实对称矩阵 A A A#xff0c;若矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 λ1,λ2,λ3#xff0c;对应的单位化特征向量分别为 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α… 文章目录 谱分解定理定理的运用 谱分解定理
设三阶实对称矩阵 A A A若矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 λ1,λ2,λ3对应的单位化特征向量分别为 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3 且两两正交则 A λ 1 α 1 α 1 T λ 2 α 2 α 2 T λ 3 α 3 α 3 T A \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} Aλ1α1α1Tλ2α2α2Tλ3α3α3T。 【注 1】在考研范围内只适用于实对称矩阵。 【注 2】特征向量必须两两正交且单位化 证明三阶实对称矩阵 A A A 可相似对角化存在正交矩阵 Q ( α 1 , α 2 , α 3 ) Q(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) Q(α1,α2,α3)使得 Q T A Q Λ [ λ 1 λ 2 λ 3 ] Q^{\mathrm{T}}AQ \Lambda \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} QTAQΛ λ1λ2λ3 。
所以有 A ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ λ 1 λ 2 λ 3 ] [ α 1 T α 2 T α 3 T ] λ 1 α 1 α 1 T λ 2 α 2 α 2 T λ 3 α 3 α 3 T A (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1^{\mathrm{T}} \\ \alpha_2^{\mathrm{T}} \\ \alpha_3^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} A(α1,α2,α3) λ1λ2λ3 α1Tα2Tα3T λ1α1α1Tλ2α2α2Tλ3α3α3T。
定理的运用 什么时候运用谱分解定理最方便 1当特征值出现 0 0 0 时运用定理可减少计算量参见解法一 2当特征值出现二重根 k k k 时可先运用定理计算出具体的 A − k E A-kE A−kE再算出实对称矩阵 A A A参见解法二 3运用该定理甚至不需要求出所有的特征向量 【例】设 3 3 3 阶实对称矩阵 A A A 的秩为 2 2 2 λ 1 λ 2 6 \lambda_1\lambda_26 λ1λ26 是 A A A 的二重特征值若 α 1 ( 1 , 1 , 0 ) T , α 2 ( 2 , 1 , 1 ) T , α 3 ( − 1 , 2 , − 3 ) T \alpha_1(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2(2,1,1)^{\mathrm{T}},\alpha_3(-1,2,-3)^{\mathrm{T}} α1(1,1,0)T,α2(2,1,1)T,α3(−1,2,−3)T都是 A A A 属于特征值 6 6 6 的特征向量求矩阵 A A A。
【解法一】由 r ( A ) 2 r(A)2 r(A)2 可得特征值 λ 1 λ 2 6 , λ 3 0 \lambda_1\lambda_26, \lambda_30 λ1λ26,λ30将 α 1 ( 1 , 1 , 0 ) T , α 2 ( 2 , 1 , 1 ) T \alpha_1(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2(2,1,1)^{\mathrm{T}} α1(1,1,0)T,α2(2,1,1)T 进行单位正交化得 ξ 1 1 2 ( 1 , 1 , 0 ) T , ξ 2 1 6 ( 1 , − 1 , 2 ) T \xi_1 \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0)^{\mathrm{T}},\xi_2 \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^{\mathrm{T}} ξ12 1(1,1,0)T,ξ26 1(1,−1,2)T。
运用谱分解定理 A λ 1 ξ 1 ξ 1 T λ 2 ξ 2 ξ 2 T 3 ξ 1 ξ 1 T ξ 2 ξ 2 T 3 [ 1 1 0 ] ( 1 , 1 , 0 ) [ 1 − 1 2 ] ( 1 , − 1 , 2 ) [ 4 2 2 2 4 − 2 2 − 2 4 ] \begin{aligned} A \lambda_1 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} \lambda_2 \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ 3 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (1,1,0) \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} (1,-1,2) \\ \begin{bmatrix} 4 2 2 \\ 2 4 -2 \\ 2 -2 4 \end{bmatrix} \end{aligned} Aλ1ξ1ξ1Tλ2ξ2ξ2T3ξ1ξ1Tξ2ξ2T3 110 (1,1,0) 1−12 (1,−1,2) 42224−22−24
【解法二】先求出 A A A 的另一特征值和对应的特征向量 λ 3 0 , α 3 ( − 1 , 1 , 1 ) T \lambda_30,\alpha_3(-1,1,1)^{\mathrm{T}} λ30,α3(−1,1,1)T进行单位正交化 ξ 3 1 3 ( − 1 , 1 , 1 ) T \xi_3\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^{\mathrm{T}} ξ33 1(−1,1,1)T。
由于 A A A 的特征值为 λ 1 λ 2 6 , λ 3 0 \lambda_1\lambda_26, \lambda_30 λ1λ26,λ30所以 A − 6 E A-6E A−6E 的特征值为 λ 1 λ 2 0 , λ 3 − 6 \lambda_1\lambda_20, \lambda_3-6 λ1λ20,λ3−6注意到其对应的特征向量仍然不变因此可以先求出 A − 6 E A-6E A−6E运用谱分解定理 A − 6 E λ 3 ξ 3 ξ 3 T − 2 [ − 1 1 1 ] ( − 1 , 1 , 1 ) [ − 2 2 2 2 − 2 − 2 2 − 2 − 2 ] \begin{aligned} A-6E \lambda_3 \xi_3 \xi_3^{\mathrm{T}} \\ -2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (-1,1,1) \\ \begin{bmatrix} -2 2 2 \\ 2 -2 -2 \\ 2 -2 -2 \end{bmatrix} \end{aligned} A−6Eλ3ξ3ξ3T−2 −111 (−1,1,1) −2222−2−22−2−2
所以有 A ( A − 6 E ) 6 E [ − 2 2 2 2 − 2 − 2 2 − 2 − 2 ] [ 6 6 6 ] [ 4 2 2 2 4 − 2 2 − 2 4 ] \begin{aligned} A (A-6E) 6E \\ \begin{bmatrix} -2 2 2 \\ 2 -2 -2 \\ 2 -2 -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 4 2 2 \\ 2 4 -2 \\ 2 -2 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A(A−6E)6E −2222−2−22−2−2 666 42224−22−24
